20.1勾股定理及其应用（第2课时勾股定理的应用）同步培优讲义（4知识点+12题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

20.1勾股定理及其应用（第2课时 勾股定理的应用）同步培优讲义 （4知识点+12题型+过关检测） 目录 【知识点一 勾股定理的应用】 1 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 2 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 2 【知识点四 易错点提醒】 4 【题型1 求梯子滑落高度】 4 【题型2 求旗杆高度】 7 【题型3 求小鸟飞行距离】 10 【题型4 求大树折断前的高度】 13 【题型5 解决水杯中筷子问题】 14 【题型6 解决航海问题】 17 【题型7 求河宽】 20 【题型8 求台阶上地毯长度】 22 【题型9 判断汽车是否超速】 24 【题型10 判断是否受台风影响】 26 【题型11 选址到两地距离相等】 30 【题型12 求最短路径】 32 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 03 知识•梳理 【知识点一 勾股定理的应用】 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 注意 勾股定理是直角三角形的性质，因此应用勾股定理，必须先找到或构造直角三角形. 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 画长为 的线段 当直角三角形的两直角边长分别为1，1时，斜边长为 即 ；当两直角边长分别为 ，1时，斜边长为 ,即( )² 依此规律可以画出长为 …的线段 在数轴上表示 构造两条直角边长都是 1 的直角三角形，使用勾股定 理得到斜边长为 ，再用圆 规截取的方法在数轴上画 出表示 的点；构造两直角边长分别为 ，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边长为 ，再用圆规截取的方法在数轴上画出表示 点.依此规律可以在数轴上画出表示 ..的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点；若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段. 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 题型序号 题型名称 核心解题公式/思路 公式说明/关键要点 1 求梯子滑落高度 设梯子长度为c，初始竖直高度a₁，水平距离b₁；滑落後水平距离b₂，竖直高度a₂。① c = ② a₂ = ③ 滑落高度Δh = |a₁ - a₂| 梯子长度为斜边，始终不变；墙与地面垂直，构成直角三角形 2 求旗杆高度 设旗杆高h，测角点到旗杆底部距离a，测角点到旗杆顶端的绳长/视线长c。h = 旗杆垂直地面，h和a为直角边，绳长/视线长为斜边 3 求小鸟飞行距离 设小鸟从点A到点B，水平距离a，竖直高度差b。飞行距离c = 水平与竖直方向垂直，飞行路径为直角三角形斜边 4 求大树折断前的高度 设树折断后，底部到折断点的竖直段为a，折断部分（斜边）为c，顶端到树底的水平距离为b。① a = )② 原高度H = a + c 折断后形成直角三角形，a、b为直角边，c为斜边 5 解决水杯中筷子问题 设水杯底面直径为d，高为h，筷子在杯内的长度为L。① 筷子最短长度（竖直）：L短 = h② 筷子最长长度（斜放）：L长 = 水杯为圆柱体，底面直径与高垂直，斜放筷子为斜边 6 解决航海问题 设轮船从A到B沿正北/正南行a，再沿正东/正西行b，到C点。总航程AC = 正北/正南与正东/正西方向垂直，构成直角三角形 7 求河宽 设河岸上一点A，对岸对应点B，沿河岸取点C，使AC⊥AB，测AC = a，BC = c。河宽AB = AB为河宽（直角边），AC为河岸线段（直角边），BC为斜边 8 求台阶上地毯长度 设台阶总高度为h，总水平长度为l。地毯长度L = h + l 地毯铺台阶可展平，长度为竖直高度与水平长度之和（勾股定理推导：展平后为直角三角形两直角边和） 9 判断汽车是否超速 设汽车刹车痕迹为c，刹车时的竖直/水平距离为a，求行驶距离b = ；速度v = bt，与限速比较。 刹车轨迹为斜边，结合时间求速度，判断是否超速 10 判断是否受台风影响 设台风中心移动路径为直线，某点到路径的垂直距离为d，台风影响半径为r。① d =（c为点到路径上某点距离，a为该点到垂足距离）② 若d ≤ r，受影响；若d > r，不受影响 垂直距离为最短距离，是判断核心 11 选址到两地距离相等 设两地为A、B，选址在直线l上的点P，作AB的垂直平分线，与l交于P；用勾股定理：PA² = PB²，即= 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合勾股定理列方程 12 求最短路径 1. 平面：两点之间线段最短，结合勾股定理求长度c = )2. 立体（长方体正方体）：展平表面，直角边为(长+宽)和高，最短距离 = √[(长+宽)² + 高²]3. 立体（圆柱）：展平为长方形，直角边为πr（底面半周长）和h（高），最短距离 = 立体图形需展平为平面，连接两点的线段为最短路径，利用勾股定理求解 【知识点四 易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用 “a2+c2=b2”（应是b2=c2−a2）。 3.勾股数概念错误：将非正整数（如1，​,​）误认为勾股数。 04 题型•汇总 【题型1 求梯子滑落高度】 【解题关键】梯子滑落前后，梯子长度不变（始终为直角三角形的斜边），滑落前、后分别构造直角三角形，利用勾股定理求未知高度。 【典例1】．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设梯子底端到墙的距离为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设梯子底端到墙的距离为，则梯子长度为， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则， ∴梯子长度为， 故选：C． 跟随训练1-1．“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据已知求得，在中，根据勾股定理，即可求得的长； （2）根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】（1），， ． 在中， （米） 答：云梯底部到楼房的距离为米． （2）由题意，得， 由（1）可知 ． 在中， 米 由（1）可知 米 答：云梯底部需沿方向前进米． 跟随训练1-2．阅读相关材料，完成问题解决． 用勾股定理解析梯子作业“”安全法则 背景材料 国际职业安全与健康标准规定：梯子作业需遵循“安全倾斜法则”，即梯子底端的离墙距离等于顶端离地高度的，该法则的作用在于通过精准控制梯子的倾斜度，防范各类作业安全隐患． 问题情境 工人师傅要安装高的室内灯带，现有两架长度分别为，的梯子． 问题解决 （1）当采用长度为的梯子时，若梯子顶端刚好达到高度，请通过计算说明梯子作业是否符合“安全倾斜法则”； （2）在满足“安全倾斜法则”的前提下，请通过计算说明长度为的梯子顶端能否抵达高的灯带位置． 【答案】（1）不符合法则；（2）梯子顶端能抵达高的灯带位置 【分析】此题考查了勾股定理的应用和算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是关键． （1）利用勾股定理求出梯子底端的离墙距离，再按“安全倾斜法则”求出梯子底端的离墙距离，比较后即可得到结论； （2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为． 由勾股定理，得．比较后即可得到答案． 【详解】解：（1）由题意，得梯子底端的离墙距离． 按“安全倾斜法则”，梯子底端的离墙距离应为． 因为，所以，不符合法则． （2）设梯子顶端离地高度为，按“安全倾斜法则”，则底端离墙距离为． 由勾股定理，得． 解得， 则． 因为，所以． 所以，梯子顶端能抵达2.4m高的灯带位置． 【题型2 求旗杆高度】 【解题关键】旗杆垂直于地面（构成直角三角形的一条直角边），绳子、旗杆、地面组成直角三角形，绳子为斜边，利用勾股定理求旗杆高度（或绳子长度）。 【典例2】．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 跟随训练2-1．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 跟随训练2-2．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【解题关键】小鸟飞行的直线距离为直角三角形的斜边，将两个物体的位置转化为直角三角形的两个直角顶点，利用勾股定理求斜边长度。 【典例3】．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接， ∴，，， 在中，， ∴小鸟至少飞行． 故答案为：． 跟随训练3-1．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解答本题的关键是明确题意，构造直角三角形，利用数形结合的思想解答． 根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：如图所示，    由题意可得，（米），米， ， （米）， 即小鸟至少飞行米， 故答案为：． 跟随训练3-2．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 【题型4 求大树折断前的高度】 【解题关键】大树折断后，折断部分（斜边）、剩余部分（一条直角边）、地面（另一条直角边）组成直角三角形，先求折断部分长度，再求折断前总高度。 【典例4】．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 跟随训练4-1．如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握直角三角形边长之间的关系是解题的关键． 假设的长度为米，故长度为米，根据勾股定理，可求出的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知三角形为直角三角形， 根据勾股定理，得， 设的长度为米，故长度为米，结合米， 可得方程， 解得， 故的长度为米， 故答案为：． 跟随训练4-2．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺， 由勾股定理得： ， 解得 ， 即折断处离地面的高度是尺． 故选：D． 【题型5 解决水杯中筷子问题】 【解题关键】筷子在水杯中，水面以上部分、水面以下部分（水杯内）、水杯的直径（或边长）组成直角三角形，筷子总长度 = 水面以上部分 + 水面以下部分（斜边）。 【典例5】．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 跟随训练5-1．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并能求出箭在投壶内部的最大长度是解题的关键．先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度不可能为． 故选：． 跟随训练5-2．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 在中，， ∴， 解得， ∴尺，尺， 即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺， 故选：C． 【题型6 解决航海问题】 【解题关键】航海中，两船行驶方向垂直（或可构造直角三角形），行驶的距离为直角边，两船之间的距离为斜边，结合行驶时间、速度求未知量。 【典例6】．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理的应用； 根据题意，海岛B位于海岛A南偏东30°方向30海里处，轮船C和D均在海岛B的正北方向．轮船D与海岛B相距40海里，因此位置唯一确定；轮船C与海岛A相距20海里，且在B的正北方向，求出，可知满足条件的点有两个，因此位置不能唯一确定． 【详解】解：如图，海岛A为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向．海岛B在南偏东30°方向30海里处， ∴B点坐标：，． ∵轮船D在海岛B正北方向且距B40海里， ∴D点坐标唯一：． ∵轮船C在海岛B正北方向且距A20海里，设C点坐标为，则， ∴ ∴C点有两个可能的位置，位置不能唯一确定， 故选：C． 跟随训练6-1．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形解答．根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可． 【详解】解：由题意可得：，，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ． 跟随训练6-2．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 【题型7 求河宽】 【解题关键】通过作辅助线（如在河对岸取一点，连接岸边两点，构造直角三角形），将河宽转化为直角三角形的一条直角边，利用勾股定理求解。 【典例7】．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 跟随训练7-1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 【答案】24 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：在中，根据勾股定理得到， 即， 解得， 故答案为：24． 跟随训练7-2．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点作交桥洞于点，连接，结合勾股定理求出的长度，计算其与水面的高度，进行比较即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴, ∴， ∴． （2）解：取中点，由题知：， 过点作交桥洞于点，连接，如下图所示： ∴， ∴在中，， ∴， ∴可以安全通过． 【题型8 求台阶上地毯长度】 【解题关键】台阶的地毯长度 = 台阶的水平总长度 + 台阶的垂直总高度（将地毯展开，可转化为直角三角形的两条直角边之和，或直接构造直角三角形求斜边）。 【典例8】．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要 平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 【详解】解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 跟随训练8-1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 跟随训练8-2．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 【题型9 判断汽车是否超速】 【解题关键】先根据勾股定理求出汽车行驶的实际距离，再结合行驶时间求出实际速度，与限速对比，判断是否超速。 【典例9】．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 跟随训练9-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 跟随训练9-2．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 【题型10 判断是否受台风影响】 【解题关键】求观测点到台风移动路线的垂直距离（直角边），与台风影响半径（斜边）对比：垂直距离 ≤ 影响半径 → 受影响；垂直距离 > 影响半径 → 不受影响。 【典例10】．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：，， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为， 故答案为：． 跟随训练10-1．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 跟随训练10-2．如图，为某公园的平面图，经测量米，，． (1)求公园的面积； (2)一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1)平方米； (2)A点处一共能听到分钟的宣传． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）作于点，得是等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理可求得，据此求解即可； （2）在上取两点E、F使得米，连接，作于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【详解】（1）解：作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积平方米； （2）解：宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处能听到，理由如下： 如图所示，在上取两点E、F使得米，连接，作于点， ∴， ∴， ， ∴A点处一共能听到分钟的宣传． 【题型11 选址到两地距离相等】 【解题关键】到两地距离相等的点，在这两地连线的垂直平分线上，结合直角三角形，利用勾股定理求选址点的位置或距离。 【典例11】．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 跟随训练11-1．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 跟随训练11-2．如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【答案】E站应建在距A点处 【分析】本题考查了勾股定理的应用； 设，则，然后根据，利用勾股定理构建方程，求解即可． 【详解】解：设，则， ∵于A，于B， ∴， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， 答：E站应建在距A点处． 【题型12 求最短路径】 【解题关键】将立体图形（如长方体、圆柱）表面展开，转化为平面图形，利用勾股定理求平面上两点之间的最短距离（两点之间，线段最短）。 【典例12】．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用．由勾股定理可得出答案． 【详解】解：由题意知米，米， ∴（米）， 故选：C． 跟随训练12-1．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图以及勾股定理，先将圆柱侧面展开，找出棉线绕圆柱侧面3圈的路径在展开图中的表示，然后利用勾股定理求出这条路径的长度，就是棉线的最短长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵底面半径为， ∴底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是：， 即， ， ∴最短为． 故选：A． 跟随训练12-2．如图，正方体的所有面都分成个边长为的小正方形．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面A处沿表面爬行至右侧B处，至少需要 秒钟． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用； 分两种情况，将立体图形展开成平面图形，根据两点之间线段最短，利用勾股定理分别求出蚂蚁爬行的距离，然后可得答案． 【详解】解∶①展开底面右面，由勾股定理得， ②展开前面右面，由勾股定理得， ∵， 所以最短路径长为，用时最少为秒， 故答案为：． 05 过关•检测 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并学会应用是解题的关键． 根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，再由勾股定理即可顶端距离地面的高度． 【详解】解：根据题意得顶端距离地面的高度， 故选：D 2．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：，， ， 设秋千的绳索长为，则， 在中，，， ∴， 解得：， 即绳索的长度是． 故选：B． 3．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺， 由勾股定理得：， 即 ， 解得． 故折后竹尖离地面高度为4.55尺． 故选A． 4．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 先求出，尺，再设尺，则尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，（尺），尺， 设尺，则尺， 在中，，即， 解得， 即这根芦苇的长度是13尺， 故选：C． 5．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用与方向角的意义，关键是通过方向角的关系判断出为直角三角形，再利用勾股定理计算斜边的长度． 【详解】解：如图，直线， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵，， ∴， 故选：D． 6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，用平移的思想将不规则图形的计算转化为规则图形的计算是解决本题的关键. 先求出楼梯的水平宽度，根据题意可知，地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和. 【详解】解：楼梯的水平宽度=， ∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和， ∴地毯的长度至少为：3+4=7米， 故选D. 7．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    8．如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理．将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可． 【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图， ∵底面为直角三角形，其直角边长分别为，， ∴斜边长为， ∴，，， ∴， 故选：B． 9．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 【答案】8 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】解：在△中， 米，米， （米， 米，米， （米， （米， （米． 故答案为：8． 10．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由①得，绳子的长度比旗杆的高度多，设旗杆的高度为，则绳子的长度为，在中，由勾股定理得，列出方程，并解方程即可得到答案． 【详解】解：由①得，绳子的长度比旗杆的高度多， 设旗杆的高度为，则绳子的长度为， 在中，，， 由勾股定理得：，则， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为， 故答案为：． 11．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意设，则， 在中，，即， 解得； 故答案为：． 12．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 【答案】4 【分析】本题考查了解决水池中荷花问题（勾股定理的应用），设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为h尺，则： ， 解得：， 所以，水池的深度是4尺． 故答案为：4． 13．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 【答案】13 【分析】考查了利用台阶的平面展开图求最短路径问题，根据题意判断出长方形的长和宽是解题关键．只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个长方形，蚂蚁要从A点到B点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如下图， 因为， 所以， 所以， 所以蚂蚁爬行的最短线路为． 故答案为：． 14．生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为 米（旋梯宽度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、平移的性质等知识点，灵活运用勾股定理是解题的关键． 如图，此时B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，，，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值，再利用勾股定理求出的长，进而完成解答． 【详解】解：如图，B处为顶部扶手，A处为底部扶手，其中为平台，由题意可得：米， 将向左平移使得点C与点D重合，此时点A与点E重合，则，， 所以旋梯底部A到顶部B的扶手长度 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此扶手长度有最小值， ∵油罐底面圆半径约为米，高为12米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴旋梯的扶手长度的最小值为米． 故答案为：． 15．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 16．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组完成问题解决中的两个小问题． 【答案】（1）米；（2）8米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得： （米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.5米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 17．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 18．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 【答案】大树折断前高16米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键． 先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度． 【详解】解：∵米，米， 根据勾股定理可得（米）， ∴（米）． 答：大树折断前高16米． 19．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 20．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 【答案】海里 【分析】此题考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，过作于点，轴于点，连接，证明出是等腰直角三角形，求出海里， 海里，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，轴于点，连接． 由题意得（海里），（海里），， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴（海里）， （海里），（海里）， （海里）， 在中，海里． 21．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 22．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 23．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 24．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1)台风中心经过从B点移到D点 (2)A市受到台风影响的时间持续 【详解】（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 26．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用（第2课时 勾股定理的应用）同步培优讲义 （4知识点+12题型+过关检测） 目录 【知识点一 勾股定理的应用】 1 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 2 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 2 【知识点四 易错点提醒】 4 【题型1 求梯子滑落高度】 4 【题型2 求旗杆高度】 6 【题型3 求小鸟飞行距离】 7 【题型4 求大树折断前的高度】 8 【题型5 解决水杯中筷子问题】 9 【题型6 解决航海问题】 10 【题型7 求河宽】 11 【题型8 求台阶上地毯长度】 12 【题型9 判断汽车是否超速】 13 【题型10 判断是否受台风影响】 14 【题型11 选址到两地距离相等】 15 【题型12 求最短路径】 15 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长． 2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题． 3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题． 03 知识•梳理 【知识点一 勾股定理的应用】 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系.其主要应用如下： (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)构造方程(或方程组)计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题。 注意 勾股定理是直角三角形的性质，因此应用勾股定理，必须先找到或构造直角三角形. 【知识点二 作长为(n为大于1的整数)的线段】 画长为 的线段 当直角三角形的两直角边长分别为1，1时，斜边长为 即 ；当两直角边长分别为 ，1时，斜边长为 ,即( )² 依此规律可以画出长为 …的线段 在数轴上表示 构造两条直角边长都是 1 的直角三角形，使用勾股定 理得到斜边长为 ，再用圆 规截取的方法在数轴上画 出表示 的点；构造两直角边长分别为 ，1的直角三角形，用勾股定理得到斜边长为 ，再用圆规截取的方法在数轴上画出表示 点.依此规律可以在数轴上画出表示 ..的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到与它对应的点；若要在数轴上直接标出无理数对应的点则较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为(n为大于1的整数)的线段. 【知识点三 题型核心公式+关键要点】 题型序号 题型名称 核心解题公式/思路 公式说明/关键要点 1 求梯子滑落高度 设梯子长度为c，初始竖直高度a₁，水平距离b₁；滑落後水平距离b₂，竖直高度a₂。① c = ② a₂ = ③ 滑落高度Δh = |a₁ - a₂| 梯子长度为斜边，始终不变；墙与地面垂直，构成直角三角形 2 求旗杆高度 设旗杆高h，测角点到旗杆底部距离a，测角点到旗杆顶端的绳长/视线长c。h = 旗杆垂直地面，h和a为直角边，绳长/视线长为斜边 3 求小鸟飞行距离 设小鸟从点A到点B，水平距离a，竖直高度差b。飞行距离c = 水平与竖直方向垂直，飞行路径为直角三角形斜边 4 求大树折断前的高度 设树折断后，底部到折断点的竖直段为a，折断部分（斜边）为c，顶端到树底的水平距离为b。① a = )② 原高度H = a + c 折断后形成直角三角形，a、b为直角边，c为斜边 5 解决水杯中筷子问题 设水杯底面直径为d，高为h，筷子在杯内的长度为L。① 筷子最短长度（竖直）：L短 = h② 筷子最长长度（斜放）：L长 = 水杯为圆柱体，底面直径与高垂直，斜放筷子为斜边 6 解决航海问题 设轮船从A到B沿正北/正南行a，再沿正东/正西行b，到C点。总航程AC = 正北/正南与正东/正西方向垂直，构成直角三角形 7 求河宽 设河岸上一点A，对岸对应点B，沿河岸取点C，使AC⊥AB，测AC = a，BC = c。河宽AB = AB为河宽（直角边），AC为河岸线段（直角边），BC为斜边 8 求台阶上地毯长度 设台阶总高度为h，总水平长度为l。地毯长度L = h + l 地毯铺台阶可展平，长度为竖直高度与水平长度之和（勾股定理推导：展平后为直角三角形两直角边和） 9 判断汽车是否超速 设汽车刹车痕迹为c，刹车时的竖直/水平距离为a，求行驶距离b = ；速度v = bt，与限速比较。 刹车轨迹为斜边，结合时间求速度，判断是否超速 10 判断是否受台风影响 设台风中心移动路径为直线，某点到路径的垂直距离为d，台风影响半径为r。① d =（c为点到路径上某点距离，a为该点到垂足距离）② 若d ≤ r，受影响；若d > r，不受影响 垂直距离为最短距离，是判断核心 11 选址到两地距离相等 设两地为A、B，选址在直线l上的点P，作AB的垂直平分线，与l交于P；用勾股定理：PA² = PB²，即= 垂直平分线上的点到线段两端距离相等，结合勾股定理列方程 12 求最短路径 1. 平面：两点之间线段最短，结合勾股定理求长度c = )2. 立体（长方体正方体）：展平表面，直角边为(长+宽)和高，最短距离 = √[(长+宽)² + 高²]3. 立体（圆柱）：展平为长方形，直角边为πr（底面半周长）和h（高），最短距离 = 立体图形需展平为平面，连接两点的线段为最短路径，利用勾股定理求解 【知识点四 易错点提醒】 1.误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用公式。 2.混淆边的类型：求直角边时误用 “a2+c2=b2”（应是b2=c2−a2）。 3.勾股数概念错误：将非正整数（如1，​,​）误认为勾股数。 04 题型•汇总 【题型1 求梯子滑落高度】 【解题关键】梯子滑落前后，梯子长度不变（始终为直角三角形的斜边），滑落前、后分别构造直角三角形，利用勾股定理求未知高度。 【典例1】．生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地，则梯子长度约为（    ）． A． B． C． D． 跟随训练1-1．“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米． (1)求云梯底部到楼房的距离． (2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？ 跟随训练1-2．阅读相关材料，完成问题解决． 用勾股定理解析梯子作业“”安全法则 背景材料 国际职业安全与健康标准规定：梯子作业需遵循“安全倾斜法则”，即梯子底端的离墙距离等于顶端离地高度的，该法则的作用在于通过精准控制梯子的倾斜度，防范各类作业安全隐患． 问题情境 工人师傅要安装高的室内灯带，现有两架长度分别为，的梯子． 问题解决 （1）当采用长度为的梯子时，若梯子顶端刚好达到高度，请通过计算说明梯子作业是否符合“安全倾斜法则”； （2）在满足“安全倾斜法则”的前提下，请通过计算说明长度为的梯子顶端能否抵达高的灯带位置． 【题型2 求旗杆高度】 【解题关键】旗杆垂直于地面（构成直角三角形的一条直角边），绳子、旗杆、地面组成直角三角形，绳子为斜边，利用勾股定理求旗杆高度（或绳子长度）。 【典例2】．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为 米． 【题型3 求小鸟飞行距离】 【解题关键】小鸟飞行的直线距离为直角三角形的斜边，将两个物体的位置转化为直角三角形的两个直角顶点，利用勾股定理求斜边长度。 【典例3】．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞 米． 跟随训练3-1．如图，有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，问小鸟至少飞行 米． 跟随训练3-2．如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型4 求大树折断前的高度】 【解题关键】大树折断后，折断部分（斜边）、剩余部分（一条直角边）、地面（另一条直角边）组成直角三角形，先求折断部分长度，再求折断前总高度。 【典例4】．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为 尺． 跟随训练4-1．如图，受台风影响，一棵米高的树被风刮断了，树顶落在离树根米处，则折断处的高度为 米． 跟随训练4-2．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【题型5 解决水杯中筷子问题】 【解题关键】筷子在水杯中，水面以上部分、水面以下部分（水杯内）、水杯的直径（或边长）组成直角三角形，筷子总长度 = 水面以上部分 + 水面以下部分（斜边）。 【典例5】．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（  ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈尺） A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺 【题型6 解决航海问题】 【解题关键】航海中，两船行驶方向垂直（或可构造直角三角形），行驶的距离为直角边，两船之间的距离为斜边，结合行驶时间、速度求未知量。 【典例6】．从海岛A上观测，海岛B在海岛A的南偏东30°的位置，且距离为30海里．轮船C与轮船D均在海岛B的正北方向上，同时向海岛A发出燃料补给请求．此时轮船C与海岛A相距20海里，轮船D与海岛B相距40海里．补给船从海岛A出发向轮船C与轮船D运送燃料，下列有关轮船C与轮船D的位置说法正确的是（    ） A．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 B．轮船C的位置能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 C．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置能唯一确定 D．轮船C的位置不能唯一确定，轮船D的位置不能唯一确定 跟随训练6-1．如图，灯塔位于海岛的北偏西方向，且相距，一艘船从海岛出发，以的速度沿北偏东方向航行，经过小时到达处，此时，相距，求的值． 跟随训练6-2．春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【题型7 求河宽】 【解题关键】通过作辅助线（如在河对岸取一点，连接岸边两点，构造直角三角形），将河宽转化为直角三角形的一条直角边，利用勾股定理求解。 【典例7】．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行） ． 跟随训练7-1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为 米． 跟随训练7-2．勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形中，，、、三点共线，，请利用图1验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成，，近期雨水多，水位上涨至，水深米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高米，宽为米，请判断这艘货船能否安全通过此桥洞，并说明理由． 【题型8 求台阶上地毯长度】 【解题关键】台阶的地毯长度 = 台阶的水平总长度 + 台阶的垂直总高度（将地毯展开，可转化为直角三角形的两条直角边之和，或直接构造直角三角形求斜边）。 【典例8】．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要 平方米的地毯． 跟随训练8-1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 跟随训练8-2．如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【题型9 判断汽车是否超速】 【解题关键】先根据勾股定理求出汽车行驶的实际距离，再结合行驶时间求出实际速度，与限速对比，判断是否超速。 【典例9】．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 跟随训练9-1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 跟随训练9-2．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【题型10 判断是否受台风影响】 【解题关键】求观测点到台风移动路线的垂直距离（直角边），与台风影响半径（斜边）对比：垂直距离 ≤ 影响半径 → 受影响；垂直距离 > 影响半径 → 不受影响。 【典例10】．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为 ． 跟随训练10-1．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 跟随训练10-2．如图，为某公园的平面图，经测量米，，． (1)求公园的面积； (2)一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 【题型11 选址到两地距离相等】 【解题关键】到两地距离相等的点，在这两地连线的垂直平分线上，结合直角三角形，利用勾股定理求选址点的位置或距离。 【典例11】．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 跟随训练11-1．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是 ． 跟随训练11-2．如图所示，铁路上A、B，两点相距，C、D为两工厂，于A，于B，已知，，现要在上建一个货运中转站E，使得C、D两工厂到E站的距离相等，则E站应建在距A点多远处？ 【题型12 求最短路径】 【解题关键】将立体图形（如长方体、圆柱）表面展开，转化为平面图形，利用勾股定理求平面上两点之间的最短距离（两点之间，线段最短）。 【典例12】．“低空经济”是以各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态．某无人机从物流集散地A到收货点C的路线受阻而采用备用路线，先垂直起飞300米至B处，再水平飞行400米到达收货点C．若路线未受阻，此次无人机的最短飞行距离是（    ） A．400米 B．450米 C．500米 D．600米 跟随训练12-1．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．如图，正方体的所有面都分成个边长为的小正方形．若一只蚂蚁每秒爬行，则它从下底面A处沿表面爬行至右侧B处，至少需要 秒钟． 05 过关•检测 1．如图，小宇将米长的梯子搭在自己家的房屋外面的墙面上，此时梯子底端离屋底1米，则梯子顶端与地面的距离是（   ） A．米 B．米 C．2米 D．米 2．有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送 (即：水平距离)时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 4．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（    ） A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺 5．一次游学活动中，小杰从营地出发，沿北偏东方向走了米到达处，然后再沿北偏西方向走了米到达目的地处(如图所示)，那么，两地的距离是( ) A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（   ） A．4米 B．8米 C．9米 D．7米 7．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 8．如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为，底面为直角三角形，其直角边长分别为，，围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点镶有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（    ） A． B． C． D． 9．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问 米． 10．某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间测量校园内旗杆的高度．第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺量出的长度为．第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面上的点F处，用皮尺量出的长度为．则旗杆的高度为 m． 11．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为 ． 12．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺． 13．如图是一个三级台阶它的每一级的长、宽和高分别等于和，A和B这个的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，这只蚂蚁从A点出发，沿着面爬到B点，最短线路为 ． 14．生活中的旋梯随处可见．如图，油罐外有一段展开供操作人员上下使用的旋梯．油罐底面圆半径为米，高为12米，旋梯正中间有一段米的平台，则从旋梯底部A到顶部B的扶手长度至少为 米（旋梯宽度忽略不计）． 15．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 16．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12米，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组完成问题解决中的两个小问题． 17．综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 18．如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？ 19．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 20．如图，一艘海警船从港口出发，以每小时20海里的速度向正东方向航行，1.5小时后到达处，发现一艘可疑船只在其北偏东方向的处；随后海警船调整航向，以原速度向正北方向航行，航行至处时，测得可疑船只在其南偏东方向．已知、两点的距离为30海里，求可疑船只到港口的距离．（结果保留根号） 21．某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 22．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 23．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    24．广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 26．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $