第十九章 函数（单元自测·提升卷）数学新教材冀教版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．小明有80元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是(   ) A．时间 B．小明 C．80元 D．现在他有的钱 2．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列两个变量之间不具备函数关系的是（    ） A．某地一天的温度T与时间t B．正数b和它的平方根a C．某班学生的身高y与学生的学号x D．圆的面积s和半径r 4．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子：①；②；③；④.其中是的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某工程队正在对一湿地公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(m)2与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(   ) A．70m2 B．50m2 C．45m2 D．40m2 7．下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 8．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数与轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限； ④若，是该函数上两点，当时，一定有． ⑤该函数图象关于轴对称． 其中说法正确的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 10．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（      ） A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ 12．如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，第15题第一空2分，第二空1分） 13．一个正方形的边长为3，它的边长减少后，得到新正方形的周长为，与之间的函数表达式为 ． 14．函数的自变量的取值范围是 ． 15．点P（x，y）在第一象限，且，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．用含x的式子表示S为 ，当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为 ． 16．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号） ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题 （1）求当y＝0，x的值是多少？ （2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？ 18．（8分）如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 19．（8分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值： 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）上表所反映的变化过程中的两个变量，______是自变量，______是因变量；（请用文字语言描述） （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 20．（8分）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 21．（8分）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 22．（10分）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______；由图像知，______，______． (2)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (4)若小明共付车费21.5元，那么出租车共行驶了多少千米？ 23．（10分）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． (1)当时，求的度数； (2)设，，求与的关系式； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 24．（12分）请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）函数自变量x的取值范围是 　 　． （2）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （3）在直角坐标系中画出该函数图象． （4）观察图象： ①当x　 　时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B D C B C C A B B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，第15题第一空2分，第二空1分） 13．y=-4x+12 14． 15．S＝24－3x/S＝－3x+24 9 16．①③ 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分） 【解析】解：（1）由图示知，当y=0时，x=-3、-1或4．（6分） （2）由图示知， 当-2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大．（8分） 18．（8分） 【解析】（1）解：图象反映了散步的时间与离开家的距离两个变量之间的关系， 故答案为：散步的时间与离开家的距离；（2分） （2）解：老师晚上分从家里出发，经过45分后回到家，则老师晚上回到家 故答案为：；（4分） （3）解：根据图象，老师散步时最远离家900米， 故答案为：900；（6分） （4）解：依题意，（米/分），（米/分） 答：老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分．（8分） 19．(8分) 【解析】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； 故答案为：所挂物体质量，弹簧长度；（2分） （2）由表格可得：当所挂物体重量为1千克时，弹簧长4厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米， 则y与x的关系式为：y=4x+18； 故答案为：y=4x+18；（5分） （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时， 50=4x+18， 解得x=8， 答：所挂重物的质量为8kg．（8分） 20．(8分) 【解析】（1）解：由图象可知，当点运动到点时，的值为6； 故答案为：6；（2分） （2）由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，，； ∵， ∴当时，； 故所填答案为：4；6；2；（5分） （3）的值为3，理由如下： 当时，此时点在上，如图： 由题意，可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴， 解得：； ∴的值为3．（8分） 21．（8分） 【解析】（1）解：由题意得，， ； 综上所述，；（4分） （2）解：当， ∴第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度，（6分） 在中，当时，，当时，，当时，， ， 答：小王家第一季度共用电度．（8分） 22．（10分） 【解析】（1）解：∵乘车费随行驶路程的变化而变化， ∴自变量是行驶路程，因变量是乘车费， 由函数图象可得：，， 故答案为：行驶路程，乘车费，8，3；（4分） （2）解：由函数图象得：， ∴行驶21千米应付乘车费为：（元）；（6分） （3）解：由（1）（2）知：起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费1.5元， ∴；（8分） （4）解：把代入得：， 解得：， 答：出租车共行驶了12千米．（10分） 23．（10分） 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴；（3分） （2）∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即与的关系式为；（6分） （3）设，， ①若， 则， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， 解得，， ∴；（7分） ②若， 则， ∵，， ∴，即， 由（2）知，， 解得，， ∴；（8分） ③若， 则，， ∵，，， ∴，即， 由（2）知，， 解得，，不符合题意，（9分） 综上：当是等腰三角形时，的度数为或．（10分） 24．（12分） 【解析】解：（1）由绝对值的定义可知，x-3可取全体实数， ∴x的取值范围是全体实数， 故填：全体实数；（2分） {2）当x=1时，m=2×|1-3|-1=3； 当x=6时，n=2×|6-3|-1=5， 故填：3，5；（6分） （3）根据表中数据，描点，连线如下图所示： （8分） （4）①由图可知，当x≤3时，y随x的增大而减小， 故填≤3；（10分） ∵关于x的方程2|x-3|-1=a有两个不同的实数根， ∴函数y=2|x-3|-1与函数y=a的函数图象有两个不同的交点， ∴a>-1． 故填a>-1．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．小明有80元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是(   ) A．时间 B．小明 C．80元 D．现在他有的钱 【答案】A 【详解】解：小明有80元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化， 在上述过程中，自变量是时间． 故选：A． 2．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 解得． 故选D． 3．下列两个变量之间不具备函数关系的是（    ） A．某地一天的温度T与时间t B．正数b和它的平方根a C．某班学生的身高y与学生的学号x D．圆的面积s和半径r 【答案】B 【详解】解：A、某地一天的温度T随时间t的变化而变化，故不符合题意； B、正数b和它的平方根a不符合函数关系，故符合题意； C、某班学生的身高y与学生的学号x符合函数关系，故不符合题意； D、圆的面积s和半径r符合函数关系，故不符合题意； 故选B． 4．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数定义知，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的y值与之对应，体现在函数图象上，作与x轴垂直的直线与函数图象一定有唯一的交点，而选项D的图象与x轴垂直的直线可以有两个不同的交点，故它不是函数的图象，从而y不是x的图象． 故选：D． 5．下列式子：①；②；③；④.其中是的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①y=3x-5，y是x的函数； ②y2=x，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数； ③y=|x|，y是x的函数． ④，y是x的函数． 以上是的函数的个数是3个. 故选C． 6．某工程队正在对一湿地公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(m)2与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(   ) A．70m2 B．50m2 C．45m2 D．40m2 【答案】B 【详解】根据图像可得休息后一共干了4-2=2（h） 绿化的面积为170-70=100（平方米） 所以休息后园林队每小时绿化面积为(平方米/h) 故选B. 7．下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】C 【详解】解：A．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； B．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； C．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； D．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数与轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限； ④若，是该函数上两点，当时，一定有． ⑤该函数图象关于轴对称． 其中说法正确的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：①：函数的等号右边为分式， ∴， ∴，故①正确； ②：当时，， ∴该函数与轴交于点，故②正确； ③：由得， ∴时，， ∴该函数图象不经过第四象限，故③正确； ④：当时，取，则， ∴不满足，故④错误； ⑤：若该函数图象关于轴对称，则函数图象上的每一个点都关于轴对称， 当，，当，， 而与不关于轴对称，故⑤错误， ∴说法正确的有3个， 故选：C． 9．已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．表格中的三组的对应值均满足，因此选项A符合题意； B．表格中满足，但与不满足，因此选项B不符合题意； C．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项C不符合题意； D．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项D不符合题意； 故选：A． 10．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】①当点P在线段上移动， 即时，； ②当点P在线段上移动， 即时，； ③当点P在线段上移动， 即时，； ④当点P在线段上移动， 即时，， 点P的运动轨迹以16为单位循环， 当时，， 此时， 故答案为：B． 11．关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（      ） A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【详解】解：① 是无理数， 当时，； 故①符合题意； ②、是互不相等且不为0的有理数， 设，则， 设，则， ，则， 故②不符合题意； ③时，或或， 故③不符合题意； ④ ， 一定是有理数，且， 设，则， ， ， 的可能取值为1，2，3， 当时，可以取2023，2024，共2个， 当时，可以取4047，共1个， 当时，可以取6070，6071，共2个， 的自变量的取值共有5个， 故④符合题意； 故选：C 12．如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 【答案】A 【详解】解：当点在点位置时， ，， ， 点的纵坐标为， 故甲错； 当点在点位置时，如下图所示， ， 在中，，， ， ， 点的纵坐标为， 故乙对； 如下图所示， 作点关于的对称点，连接，， 则，， ， 点的纵坐标为， 故丙对． 综上所述，甲错，乙、丙对， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，第15题第一空2分，第二空1分） 13．一个正方形的边长为3，它的边长减少后，得到新正方形的周长为，与之间的函数表达式为 ． 【答案】y=-4x+12 【详解】解：根据正方形的周长公式，y=4（3－x）=-4x+12 故答案为：y=-4x+12 14．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：要使有意义得到，得． 故答案为：． 15．点P（x，y）在第一象限，且，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．用含x的式子表示S为 ，当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为 ． 【答案】 S＝24－3x/S＝－3x+24 9 【详解】∵点P的坐标为（x，y）且在第一象限，点A的坐标为（6，0）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点P的横坐标为5即时，， 故答案为：S＝24－3x；9． 16．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 【答案】①③ 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动，当，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 故答案为：①③． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题 （1）求当y＝0，x的值是多少？ （2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？ 【答案】（1）-3、-1或4；（2）y随x的增大而增大． 【详解】解：（1）由图示知，当y=0时，x=-3、-1或4． （2）由图示知， 当-2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大． 18．（8分）如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 【答案】(1)散步的时间与离开家的距离 (2) (3)900 (4)老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分 【详解】（1）解：图象反映了散步的时间与离开家的距离两个变量之间的关系， 故答案为：散步的时间与离开家的距离； （2）解：老师晚上分从家里出发，经过45分后回到家，则老师晚上回到家 故答案为：； （3）解：根据图象，老师散步时最远离家900米， 故答案为：900； （4）解：依题意，（米/分），（米/分） 答：老师离开家后的20分钟内的平均速度为45米/分，返回家一段的平均速度为60米/分． 19．（8分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值： 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）上表所反映的变化过程中的两个变量，______是自变量，______是因变量；（请用文字语言描述） （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 【答案】（1）所挂物体质量，弹簧长度；（2）y=4x+18；（3）8kg 【详解】解：（1）上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量； 故答案为：所挂物体质量，弹簧长度； （2）由表格可得：当所挂物体重量为1千克时，弹簧长4厘米；当不挂重物时，弹簧长18厘米， 则y与x的关系式为：y=4x+18； 故答案为：y=4x+18； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时， 50=4x+18， 解得x=8， 答：所挂重物的质量为8kg． 20．（8分）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)6 (2)4；6；2； (3)3 【详解】（1）解：由图象可知，当点运动到点时，的值为6； 故答案为：6； （2）由图象可知，当时，点与点重合，当时，点与点重合，当时，点与点重合， ∴，，； ∵， ∴当时，； 故所填答案为：4；6；2； （3）的值为3，理由如下： 当时，此时点在上，如图： 由题意，可知：， 由勾股定理，得：， ∴， ∴， 解得：； ∴的值为3． 21．（8分）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 【答案】(1) (2)小王家第一季度共用电度 【详解】（1）解：由题意得，， ； 综上所述，； （2）解：当， ∴第一季度三个月每个月的用电量都超过了100度， 在中，当时，，当时，，当时，， ， 答：小王家第一季度共用电度． 22．（10分）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______；由图像知，______，______． (2)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (4)若小明共付车费21.5元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)行驶路程，乘车费，8，3； (2)35元； (3)； (4)出租车共行驶了12千米． 【详解】（1）解：∵乘车费随行驶路程的变化而变化， ∴自变量是行驶路程，因变量是乘车费， 由函数图象可得：，， 故答案为：行驶路程，乘车费，8，3； （2）解：由函数图象得：， ∴行驶21千米应付乘车费为：（元）； （3）解：由（1）（2）知：起步价为8元，超过3千米时，超过部分每千米收费1.5元， ∴； （4）解：把代入得：， 解得：， 答：出租车共行驶了12千米． 23．（10分）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变．    (1)当时，求的度数； (2)设，，求与的关系式； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即与的关系式为； （3）设，， ①若， 则， 由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，， 解得，， ∴； ②若， 则， ∵，， ∴，即， 由（2）知，， 解得，， ∴； ③若， 则，， ∵，，， ∴，即， 由（2）知，， 解得，，不符合题意， 综上：当是等腰三角形时，的度数为或． 24．（12分）请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）函数自变量x的取值范围是 　 　． （2）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （3）在直角坐标系中画出该函数图象． （4）观察图象： ①当x　 　时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　． 【答案】（1）全体实数；（2）3，5；（3）见解析；（4）①≤3；②a＞－1． 【详解】解：（1）由绝对值的定义可知，x-3可取全体实数， ∴x的取值范围是全体实数， 故填：全体实数； {2）当x=1时，m=2×|1-3|-1=3； 当x=6时，n=2×|6-3|-1=5， 故填：3，5； （3）根据表中数据，描点，连线如下图所示： （4）①由图可知，当x≤3时，y随x的增大而减小， 故填≤3； ∵关于x的方程2|x-3|-1=a有两个不同的实数根， ∴函数y=2|x-3|-1与函数y=a的函数图象有两个不同的交点， ∴a>-1． 故填a>-1． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第十九章 函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．小明有80元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是(   ) A．时间 B．小明 C．80元 D．现在他有的钱 2．函数中，自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．下列两个变量之间不具备函数关系的是（    ） A．某地一天的温度T与时间t B．正数b和它的平方根a C．某班学生的身高y与学生的学号x D．圆的面积s和半径r 4．下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子：①；②；③；④.其中是的函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某工程队正在对一湿地公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(m)2与工作时间t(h)的函数关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为(   ) A．70m2 B．50m2 C．45m2 D．40m2 7．下列说法中，正确的是（   ） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 8．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为； ②该函数与轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限； ④若，是该函数上两点，当时，一定有． ⑤该函数图象关于轴对称． 其中说法正确的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 9．已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示： x 0 2 y 3 1 那么y关于x的函数解析式可能是(　　) A． B． C． D． 10．在边长为4的正方形的边上有一个动点P，从A出发沿折线移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，的面积为y．请结合右侧函数图象分析当时，y的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．关于的新函数定义如下： （1）当时， （2）当是正整数，是整数，，且，不含除1以外的公因数）时，； （3）当为无理数时，． 例：当时，；当时，． 以下结论：①当时，； ②若、是互不相等且不为0的有理数，当时，函数值记为，当时，函数值记为，当时，函数值记为，则一定有 ③若，则对应的自变量有且只有四种不同的取值； ④若，则满足的自变量的取值共有5个． 正确的个数有（      ） A．①③④ B．②④ C．①④ D．②③ 12．如图，在中，，，点在上，，点为上一动点．连接，．设，，图是点从点运动到点的过程中与之间的函数图象，为最低点．甲、乙、丙三名同学分别对点，，进行了如下研究： 甲：点的纵坐标为； 乙：点的纵坐标为； 丙：点的纵坐标为． 则下列判断正确的为（    ） A．甲错，乙、丙都对 B．甲、丙都错，乙对 C．甲、乙、丙都对 D．甲、乙、丙都错 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，第15题第一空2分，第二空1分） 13．一个正方形的边长为3，它的边长减少后，得到新正方形的周长为，与之间的函数表达式为 ． 14．函数的自变量的取值范围是 ． 15．点P（x，y）在第一象限，且，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．用含x的式子表示S为 ，当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为 ． 16．已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有： （填写正确的序号） ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题 （1）求当y＝0，x的值是多少？ （2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？ 18．（8分）如图所示，数学老师每天晚饭后从家中出发去散步的时间与离开家的距离之间的关系的图象，请根据图象解答下列问题： (1)如图反映了哪两个变量之间的关系？________； (2)如果老师晚上分从家里出发，那么老师晚上________点回到家？ (3)老师散步时最远离家________米． (4)分别计算老师离开家后的20分钟内和返回家一段的平均速度． 19．（8分）小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值： 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）上表所反映的变化过程中的两个变量，______是自变量，______是因变量；（请用文字语言描述） （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 20．（8分）如图1，，点从出发以每秒的速度沿路线运动，到停止，运动时间为秒．如图2是的面积与（秒）的图像． (1)当点运动到点时，的值为___________； (2)图1中的___________，___________，___________．并求图2中的的值： (3)当时，直接写出的值． 21．（8分）某市电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度元计费；每月用电超过100度时，其中超过部分按每度元计费． (1)设每月用电x度时，应交电费y元，当和时，分别写出y关于x的关系式； (2)小王家第一季度交纳电费如下表所示： 月份 一月份 二月份 三月份 交费金额 76元 63元 45元6角 问小王家第一季度共用电多少度？ 22．（10分）某市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)图中的自变量是______，因变量是______；由图像知，______，______． (2)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ (3)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (4)若小明共付车费21.5元，那么出租车共行驶了多少千米？ 23．（10分）如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点P．当的大小变化时，的形状也随之改变． (1)当时，求的度数； (2)设，，求与的关系式； (3)当是等腰三角形时，求的度数． 24．（12分）请根据函数相关知识，对函数y＝2|x﹣3|﹣1的图象与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 5 m 1 ﹣1 1 3 n 7 … （1）函数自变量x的取值范围是 　 　． （2）表格中：m＝　 　，n＝　 　． （3）在直角坐标系中画出该函数图象． （4）观察图象： ①当x　 　时，y随x的增大而减小； ②若关于x的方程2|x﹣3|﹣1＝a有两个不同的实数根，则a的取值范围是 　 　． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $