专题7.3&7.4 特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

专题7.3&7.4 特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角 教学目标 1．理解30°、45°、60°三角函数值的推导原理，熟记其正弦、余弦、正切的具体数值 2．掌握0°~90°间正、余弦和正切的增减规律，能运用规律比较三角函数值的大小 3．熟练掌握计算器由三角函数值求锐角的操作步骤，能完成度与度分秒的单位转换 4．能运用特殊角三角函数值和增减性，解决基础的计算、大小比较类数学问题 教学重难点 重点： 30°、45°、60° 三角函数值的准确记忆，以及结合直角三角形的推导方法 0°~90°角三角函数增减性的理解，能直接运用规律比较函数值大小 用计算器由三角函数值求锐角的规范按键流程，及度分秒的转换操作 难点： 灵活结合含特殊角的直角三角形，推导验证三角函数值 综合运用特殊角的函数值和增减性，解决综合性的比较、计算问题 依据不同计算器的操作差异，正确完成三角函数值与锐角的互求 知识点01 30°、45°、60°特殊角三角函数值表 锐角 30° 45° 60° 特殊角三角函数值的记忆与推导 核心要求：30°、45°、60°的三角函数值需熟记，作为解题基础； 推导方法：记忆不准确时，结合含特殊角的直角三角形，利用三角函数定义推导，无需死记。 特殊角的直角三角形有：①45°直角三角形：两直角边为1，斜边为； ②30°/60°直角三角形：30°对的直角边为1，斜边为2，另一直角边为。 【即学即练】 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故选：C． 2．若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：按下键，再按键，再按下即可，A项符合题意 故选：A． 知识点02 0°~90°角三角函数的增减性 角度在0°到90°之间变化时，函数值随角度变化有固定规律： 正弦值：随角度增大而增大，随角度减小而减小； 余弦值：随角度增大而减小，随角度减小而增大； 正切值：随角度增大而增大，随角度减小而减小。 【即学即练】 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 知识点03 用计算器由三角函数值求锐角大小 通用按键步骤: ①开机按ON键；②按2ndF（第二功能键）；③按对应函数键sin/cos/tan；④输入已知的正弦/余弦/正切值；⑤按）和＝，得出锐角度数。 【即学即练】 5．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．用计算器计算下列各式（精确到0.0001）： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 题型01 特殊角的三角函数值的混合运算 【例1】的值等于 ． 【答案】/ 【详解】∵， ∴． 故答案为． 【例2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-1】式子的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵ ∴原式 故选：C. 【变式1-2】计算： 【答案】0 【详解】解：原式 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型02 已知三角函数值，求特殊锐角 【例3】在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∵，内角和为， ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【例4】如果是直角三角形的一个锐角，且的值是方程的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D．或者 【答案】B 【详解】解：∵解方程， 配方得， ∴， ∵是直角三角形的锐角，， ∴， ∴， ∵直角三角形的两个锐角互余， ∴另一个锐角的度数为． 故选：B． 【变式2-1】在锐角中，，，则 ． 【答案】 /度 【详解】解：在锐角中，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】已知为锐角，当时，求的值． 【答案】2 【详解】解：， ， ， 为锐角， ， ． 【变式2-3】如图，已知在中，，．请用尺规作图法在边上求作点P，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【详解】解：如图，即为所求； 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】解：，， 又， 且， 由，得：， 是等腰三角形， 由，得：， 锐角， 又是等腰三角形， 是等边三角形． 故选：C． 【例6】在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 【变式3-1】若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【详解】解：∵若，是一个三角形的两个锐角，且满足， ∴， ∴， ∴三角形中另外一个角为， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【变式3-2】在中，若，，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形 【变式3-3】在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】直角三角形，见解析 【详解】解：由题意得，， 解得：， ， 则． 故为直角三角形． 题型04 用计算器计算锐角三角函数值、角的度数 【例7】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】解：按下键，再按键，再按下0.1890即可，A项符合题意 故选：A． 【例8】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用科学计算器上反正弦按键求的度数时，按键顺序为． 故选：B． 【变式4-1】已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：已知，用计算器求锐角A的大小，按键顺序“”，“”，“”，“＝”． 故选：A． 【变式4-2】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，， ∴，即 故选：B. 【变式4-3】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：用科学计算器求这条斜坡倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：A． 题型05 判断锐角的取值范围 【例9】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 【例10】锐角满足，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴正弦值随着角度（该角度是为锐角）的增大而增大，，， ∴， 故选：． 【变式5-2】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】若为锐角，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为为锐角， 所以， 即． 解不等式，得：． 解不等式，得． 所以m的取值范围是． 故答案为：． 一、单选题 1．计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．在中，若，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∵中，，， ∴，或， 若，则（钝角）， 若，则为钝角， 综上，是钝角三角形， 故选：． 3．已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 4．下列三角函数的值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，是无理数，故A不符合题意． ，是无理数，故B不符合题意． ，是有理数，故C符合题意． ，是无理数，故D不符合题意． 故选C． 5．若，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：A． 6．如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 7．如图，一块平行四边形玻璃，已知，，，则这块玻璃的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：平行四边形的高为：， 平行四边形的面积为：． 故选：D ． 二、填空题 8． ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 9．在中，已知为锐角，，则的度数是 ． 【答案】60 【详解】解：∵，且在中，是锐角，， ∴． 故答案为：60． 10．如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 11．如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】 【详解】解：如图，过点作交x轴于点． ， ，， ， ∴， ， 的长度为：． 故填：． 12．在半径为3的中，弦的长为，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】/度 【分析】 【详解】解：如图所示， 连接，过O作，则， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： 13．在平面直角坐标系中的位置如图，点C在x轴上，弦，若点A的坐标是，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵， ∴点A的坐标是， ∵弦， ∴平分， ∴x轴垂直平分， 即点A、点B关于x轴对称， ∴点B的坐标是． 故答案为：． 14．如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：∵半径于点，的长为， ∴， ∵的半径长为， ∴， 在中，， ∴， ∴扇形的面积是， 故答案为：． 三、解答题 15．计算题：． 【答案】． 【详解】解： ． 16．已知α是锐角，且，计算∶ 【答案】 【详解】解：∵α是锐角，且， ∴， ∴， ∴ 17．求满足下列条件的锐角 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵为锐角， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴﹒ 18．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3&7.4 特殊角的三角函数及由三角函数值求锐角 教学目标 1．理解30°、45°、60°三角函数值的推导原理，熟记其正弦、余弦、正切的具体数值 2．掌握0°~90°间正、余弦和正切的增减规律，能运用规律比较三角函数值的大小 3．熟练掌握计算器由三角函数值求锐角的操作步骤，能完成度与度分秒的单位转换 4．能运用特殊角三角函数值和增减性，解决基础的计算、大小比较类数学问题 教学重难点 重点： 30°、45°、60° 三角函数值的准确记忆，以及结合直角三角形的推导方法 0°~90°角三角函数增减性的理解，能直接运用规律比较函数值大小 用计算器由三角函数值求锐角的规范按键流程，及度分秒的转换操作 难点： 灵活结合含特殊角的直角三角形，推导验证三角函数值 综合运用特殊角的函数值和增减性，解决综合性的比较、计算问题 依据不同计算器的操作差异，正确完成三角函数值与锐角的互求 知识点01 30°、45°、60°特殊角三角函数值表 锐角 30° _____ _____ _____ 45° _____ _____ _____ 60° _____ _____ _____ 特殊角三角函数值的记忆与推导 核心要求：30°、45°、60°的三角函数值需熟记，作为解题基础； 推导方法：记忆不准确时，结合含特殊角的直角三角形，利用三角函数定义推导，无需死记。 特殊角的直角三角形有：①45°直角三角形：两直角边为_____，斜边为_____； ②30°/60°直角三角形：30°对的直角边为_____，斜边为_____，另一直角边为_____。 【即学即练】 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 0°~90°角三角函数的增减性 角度在0°到90°之间变化时，函数值随角度变化有固定规律： 正弦值：随角度增大而_____，随角度减小而_____； 余弦值：随角度增大而_____，随角度减小而_____； 正切值：随角度增大而_____，随角度减小而_____。 【即学即练】 3．比较大小： （填“”、“”或“”）． 4．若锐角满足，则的取值范围是 ． 知识点03 用计算器由三角函数值求锐角大小 通用按键步骤: ①开机按ON键；②按2ndF（第二功能键）；③按对应函数键sin/cos/tan；④输入已知的正弦/余弦/正切值；⑤按）和＝，得出锐角度数。 【即学即练】 5． 计算：． 6．用计算器计算下列各式（精确到0.0001）： (1)． (2)． 题型01 特殊角的三角函数值的混合运算 【例1】的值等于 ． 【例2】计算：． 【变式1-1】式子的值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-2】计算： 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 题型02 已知三角函数值，求特殊锐角 【例3】在中，若，，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【例4】如果是直角三角形的一个锐角，且的值是方程的一个根，那么三角形的另一个锐角的度数是（   ） A． B． C． D．或者 【变式2-1】在锐角中，，，则 ． 【变式2-2】已知为锐角，当时，求的值． 【变式2-3】如图，已知在中，，．请用尺规作图法在边上求作点P，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型03 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】在中，的对边分别为，若，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【例6】在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是 ． 【变式3-1】若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是 ． 【变式3-2】在中，若，，则的形状为 ． 【变式3-3】在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 题型04 用计算器计算锐角三角函数值、角的度数 【例7】若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【例8】如图，在中，，在用教材上的科学计算器求的度数时，下列操作正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，用计算器求的大小，下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，，，，若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 题型05 判断锐角的取值范围 【例9】若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【例10】锐角满足，且，则的取值范围为 ． 【变式5-1】若锐角满足，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是 ． 【变式5-3】若为锐角，且，则的取值范围是 ． 一、单选题 1．计算的值为（   ） A． B． C．3 D． 2．在中，若，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 3．已知公式，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．下列三角函数的值是有理数的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的大小是（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，一块平行四边形玻璃，已知，，，则这块玻璃的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8． ． 9．在中，已知为锐角，，则的度数是 ． 10．如图，在中，，，，则的长为 ．    11．如图，在平面直角坐标系中，以点为旋转中心，将点按顺时针方向旋转到点的位置，则的长为 ． 12．在半径为3的中，弦的长为，则弦所对的圆心角的度数是 ． 13．在平面直角坐标系中的位置如图，点C在x轴上，弦，若点A的坐标是，则点B的坐标是 ． 14．如图，是的弦，半径于点D，连结．若的半径长为，的长为，则扇形的面积是 （结果保留）． 三、解答题 15．计算题：． 16．已知α是锐角，且，计算∶ 17．求满足下列条件的锐角 (1)； (2)． 18．(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $