第09讲 特殊角的三角函数+由三角函数值求锐角（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏科版）数学九年级下册

本讲义聚焦特殊角三角函数值及由值求锐角的核心知识点，先通过表格梳理30°、45°、60°的正弦余弦正切值，结合巧记口诀夯实基础，再延伸到基础计算、三角形形状判断的应用，最后拓展至创新探究及计算器求锐角，构建递进式学习支架。 资料设计亮点突出，记忆口诀助力抽象能力培养，典例含变式训练提升运算能力与推理意识，创新探究题如规律探究、作图题发展几何直观与创新意识。课中辅助教师分层教学，课后习题分题型巩固，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第09讲 特殊角的三角函数+由三角函数值求锐角（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：特殊角的三角函数 知识点02：根据特殊角的三角函数值求锐角 知识点03：已知三角函数值，用计算器求锐角的大小 典例分析 （举三反三） 考点1：根据特殊角的三角函数值计算 考点2：根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 考点3：有关锐角三角函数值的创新探究题 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（3） 三、解答题（5） 【知识点01】特殊角的三角函数 1. 30°、45°、60°角的三角函数值 三角函数值 α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2. 30°、45°、60°角的三角函数值的记忆法 巧记特殊角的三角函数值： 三十、四十五、六十度，三角函数要记住，分母弦二切是三，分子要把根号添， 一二三来三二一，切值三、九、二十七，正弦正切递增值，余弦递减恰相反. 口诀释义： 理解口诀前需将特殊角的三角函数值的分子放入二次根号中，此时，弦函数值的分母都是2，若将切函数值的分母改为3，则函数值分别变为、、；按照30°、45°、60°的顺序，正弦函数值分子根号内的数分别是1、2、3，余弦函数值对应的分别是3、2、1，正切函数值对应的分别是3、9、27. 正弦、正切函数值随角度的增大而增大，余弦函数值则相反. 【知识点02】根据特殊角的三角函数值求锐角 由于锐角与它的各个三角函数值是一一对应的，根据逆向思维，若已知锐角三角函数值的大小，则可根据特殊角的三角函数值写出相应的锐角的度数，如已知sin α＝，则∠α＝45°；已知tan A＝，则∠A＝30°. 【知识点03】已知三角函数值，用计算器求锐角的大小 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 步骤 “ ”→函数键→函数值→“ ”，显示的结果的单位是度，如果要将单位化为“度、分、秒”的形式，应再按“ ”键. 牢记 解读：(1)要用到 键的第二功能 键，这时就需要先按功能键“ ”，有的型号的计算器上找不到“ ”键，而是用“ ”键代替. (2)不同的计算器操作程序可能不同，按键规定也可能不一样. 【题型一】根据特殊角的三角函数值计算 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，直接代入已知值进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：0． 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的记忆和基本运算能力，包括乘法、加法和减法；解题的关键是正确回忆并代入特殊角（如，，）的三角函数值，并遵循运算顺序． 【详解】（1） （2） 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）计算 (1)， (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出特殊角的三角函数，再进行实数的混合运算即可； （2）先求出特殊角的三角函数，再进行实数的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）计算： ； 【答案】− 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据特殊角的三角函数化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）计算算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值即可． 本题考查特殊角的三角函数值等． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算． （1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值计算即可； （3）根据特殊角的三角函数值计算即可； （4）根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型二】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 【典例2-2】在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，理解绝对值和偶次幂的非负性，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 【典例2-3】在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，，进而得出答案． 【详解】解：在中， ，， 且，都是锐角， ，， 是等边三角形． 故答案为：等边． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记住特殊角的三角函数是解题关键． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏徐州·月考）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值求出、的度数，然后判断的形状． 【详解】解：在中， ， ， ， 故为等腰直角三角形． 故选：B． 【变式2-2】△ABC中，且＝0，则∠C＝ ． 【答案】105° 【分析】直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值求出∠A＝30°，∠B＝45°，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：∵（tanA﹣）2+（﹣cosB）2＝0， ∴tanA＝，cosB＝， 则∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 故答案为：105°． 【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知30°及45°的三角函数值. 【变式2-3】若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【题型三】有关锐角三角函数值的创新探究题 【典例3-1】如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）． 【答案】 ， . 【分析】作CH⊥BA4于H，根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公式求出CH、A4H，根据正切的概念求出tan∠BA4C，总结规律解答． 【详解】试题解析：作CH⊥BA4于H， 由勾股定理得，BA4=，A4C=， △BA4C的面积=4-2-=， ∴××CH=， 解得，CH=， 则A4H==， ∴tan∠BA4C==， 1=12-1+1， ，3=22-2+1， ，7=32-3+1， ∴tan∠BAnC=. 故答案为: ， . 【点睛】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）作图与探究： (1)尺规作图：如图，点是外一点，过点作的一条切线，切点为； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，如果，的半径为1，那么线段和围成的图形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定定理，圆周角定理，扇形面积公式，三角函数． （1）根据要求作图，根据“直径所对的圆周角是直角”以及“过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”进行证明即可； （1）用的面积减去扇形的面积即可 【详解】（1）解：作法：①连接，作线段的垂直平分线交于点T； ②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A，； ③作直线，， 则直线，就是所求作的的切线（任作一条即可）； 证明：连接． ∵是的直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）． ∴， 又∵为的半径， ∴直线是的切线 （过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）． 同理可证，直线也是的切线； （2）解：如图， ∵，的半径为1， ∴， ∴，， ∴ ∴线段和围成的图形的面积 ． 故答案为：． 【典例3-3】【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【答案】(1)；； (2)， 【分析】此题考查了解直角三角形，一元二次方程根与系数的关系，以及特殊角的三角函数值，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）仿照已知定义将各式变形，利用特殊角的三角函数值求出值即可； （2）先求出三个内角，根据一元二次方程根与系数的关系得到，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； （2）解：∵一个三角形的三个内角的比是， ∴三个内角分别为：， ∵、是方程的两个不相等的实数根， ∴， 当，则、， ∴，解得：； 当，则、， 不满足，故舍； 当，则、， 不满足，故舍， 综上所述：，． 【变式3-1】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点， 于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质和直角三角形的两个锐角互余进行代换，得出，即可求解； （2）利用直角三角形内所对的边为斜边的一半可得、，证明得，再利用勾股定理求出，结合三角函数求得，利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图所示，连接． 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）解：， ， 是的平分线，且， ，． ． 在和中， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，扇形的面积公式等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题关键． 【变式3-2】问题探究： （1）请仅用无刻度直尺在图①的正方形内，画出使的一个点； （2）请用无刻度直尺和圆规在图②的正方形边上，画出使的所有点． 问题解决： （3）如图③所示，现有一块矩形钢板，，，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且，此时裁得的长为________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； （3）或． 【分析】（1）根据正方形对角线互相垂直，连接、交于点，即为所求； （2）以的长为半径画弧，在正方形内交于点E，连接、，得到等边，作边、的垂直平分线交于点O，得到的外心，然后作的外接圆，根据同弧所对的圆周角相等，外接圆O与、的交点、即为所求； （3）根据（2）的做法，作出等边的外接圆，分两种情况讨论：①连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点B作交与点G，利用三角形的面积求出 ，再利用勾股定理求出，然后根据特殊的三角函数值求出，即可得到的长；②连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点A作交与点G，直接利用特殊的三角函数值即可求出的长． 【详解】解：（1）点即为所求； （2）点、即为所求； （3）如图，根据（2）的作法，等边的外接圆， ①连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点B作交与点G， ， ∵等边， ， ， ∵矩形，，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ； ②连接，外接圆与相交于点P，连接，在上取一点，使得，过点A作交与点G， 同理可证，，，， ， ， ， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了复杂作图，三角形的外接圆，勾股定理，特殊的三角函数值，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定等知识，熟练掌握基本作图方法，灵活运用相关性质解决问题是解题关键． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等角对等边得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点E，连接，．由是等腰直角三角形得，由直角三角形斜边中线的性质得，结合可得是等边三角形，推出，进而即可求解； （3）过点E作，且，连接，，证明，得出，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而解，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ，， ， ， ； （2）如图，取中点E，连接，． ，，点E是中点， ，， ∵，点E是中点， ， ∵， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图，过点E作，且，连接，， 是等腰直角三角形， ，， ∵在中，，， ，， ，，即， ， ， ∵为等边三角形，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ∵，，， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据题意可得，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且为锐角， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中，，且为锐角，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度以及三角形的分类，熟练掌握相关知识是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求出，从而可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，结合已知边和的长度，计算的值，再根据特殊角的三角函数值确定的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴为斜边， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，作出，求得相关线段的长度是解决问题的关键． 根据已知作出三角形的高线，进而得出，，，的长，即可得出三角形的面积． 【详解】解：过点作， ∵中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选C． 二、填空题 6．在中，若，，则是 三角形. 【答案】等腰直角 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，再结三角形的内角和定理可得出结论. 【详解】解：∵，， ∴∠A=∠B=45°. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°. 故是等腰直角三角形. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和等腰直角三角形的判定.记熟特殊角的三角函数值是解题的关键. 7．计算： ． 【答案】 【分析】直接代入特殊角的三角函数值，利用二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，则锐角的度数为 ． 【答案】80 【分析】本题考查了正弦，熟练掌握特殊角的正弦值是解题关键． 先判断出也是锐角，再根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵是锐角， ∴也是锐角， 由得：， ∴， ∴， 故答案为：80． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练计算是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值计算即可 【详解】解： ； 10．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）求锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的锐角三角函数值． （1）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可； （2）利用特殊角的锐角三角函数值进行求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值求解； （2）通过作高将转化为两个直角三角形，利用角的性质和勾股定理求出相关线段长度，再分两种情况计算的长度． 【详解】解：（1）在中，，， ∴； （2）如图，作于点， 在中，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴； 如图，作交的延长线于点， 在中，， ∴， ， 在中，, ∴， ∴； 综上，的长为或． 12．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入进行求解即可； （2）将特殊角的三角函数值代入进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 13．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)迁移探究： ①如图1，当点M在上时，___________°，___________°． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由． ③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． (2)拓展应用： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________． 【答案】(1)①30，15，②，见解析，③ (2)4或 【分析】（1）①根据正方形的性质和折叠性质证得，，，利用锐角三角函数可求得，进而可得，再由HL定理证明可求得； ②同样根据正方形的性质和折叠性质，以及定理证明得到； ③根据题意，可分点在线段上和点在线段上两种情况，利用正方形的性质和折叠性质分别求解即可； （2）可分两种情况：当点在上时，先证明四边形是平行四边形，再根据折叠性质得到；当点在上时，过作于，证明，进而可推得，为的中位线，设，则，由勾股定理可求得，则，求得即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图1，∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿折叠正方形， ∴，， ∵沿折叠，使点落在上的点处， ∴， ， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∴， 故答案为：30，15； ②，理由： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠性质得：，， ∴，，又， ∴， ∴； ③由折叠性质得：， 由得， 当点在线段上时，如图， 则，， ∴，又，， ∴由勾股定理得， 解得：； 当点在线段上时，如图 则，， ∴，又，， ∴由勾股定理得， 解得：， 故的长为或； （2）解：当点在上时，如图， ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴四边形时平行四边形， ∴， ∴，， 由折叠性质得：，， ∴， ∴； 当点在上时，如图，过作于，则， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴，， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线，则， 设，则， 在中，， 由得， 解得：， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识，涉及知识点较多，综合性强，解答的关键是灵活运用相关知识，学会运用数形结合和分类讨论思想解决问题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 特殊角的三角函数+由三角函数值求锐角（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：特殊角的三角函数 知识点02：根据特殊角的三角函数值求锐角 知识点03：已知三角函数值，用计算器求锐角的大小 典例分析 （举三反三） 考点1：根据特殊角的三角函数值计算 考点2：根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 考点3：有关锐角三角函数值的创新探究题 习题巩固 一、单选题（5） 二、填空题（3） 三、解答题（5） 【知识点01】特殊角的三角函数 1. 30°、45°、60°角的三角函数值 三角函数值 α 三角函数 30° 45° 60° sin α cos α tan α 1 2. 30°、45°、60°角的三角函数值的记忆法 巧记特殊角的三角函数值： 三十、四十五、六十度，三角函数要记住，分母弦二切是三，分子要把根号添， 一二三来三二一，切值三、九、二十七，正弦正切递增值，余弦递减恰相反. 口诀释义： 理解口诀前需将特殊角的三角函数值的分子放入二次根号中，此时，弦函数值的分母都是2，若将切函数值的分母改为3，则函数值分别变为、、；按照30°、45°、60°的顺序，正弦函数值分子根号内的数分别是1、2、3，余弦函数值对应的分别是3、2、1，正切函数值对应的分别是3、9、27. 正弦、正切函数值随角度的增大而增大，余弦函数值则相反. 【知识点02】根据特殊角的三角函数值求锐角 由于锐角与它的各个三角函数值是一一对应的，根据逆向思维，若已知锐角三角函数值的大小，则可根据特殊角的三角函数值写出相应的锐角的度数，如已知sin α＝，则∠α＝45°；已知tan A＝，则∠A＝30°. 【知识点03】已知三角函数值，用计算器求锐角的大小 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 步骤 “ ”→函数键→函数值→“ ”，显示的结果的单位是度，如果要将单位化为“度、分、秒”的形式，应再按“ ”键. 牢记 解读：(1)要用到 键的第二功能 键，这时就需要先按功能键“ ”，有的型号的计算器上找不到“ ”键，而是用“ ”键代替. (2)不同的计算器操作程序可能不同，按键规定也可能不一样. 【题型一】根据特殊角的三角函数值计算 【典例1-1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： 【典例1-2】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【典例1-3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）计算 (1)， (2)； 【变式1-1】（25-26九年级上·江苏南通·月考）计算： ； 【变式1-2】（25-26九年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1-3】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 【题型二】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 【典例2-1】（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【典例2-2】在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【典例2-3】在中，若，，，都是锐角，则是 三角形． 【变式2-1】（24-25九年级上·江苏徐州·月考）在中，若，，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形 【变式2-2】△ABC中，且＝0，则∠C＝ ． 【变式2-3】若，则以为内角的的形状是 ． 【题型三】有关锐角三角函数值的创新探究题 【典例3-1】如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）． 【典例3-2】（25-26九年级上·江苏常州·期中）作图与探究： (1)尺规作图：如图，点是外一点，过点作的一条切线，切点为； (2)在（1）的条件下，连接，交于点，如果，的半径为1，那么线段和围成的图形的面积是 ． 【典例3-3】【知识迁移】：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：，． (1)求，，的值； (2)若一个三角形的三个内角的比是，和是这个三角形的两个内角，且、是方程的两个不相等的实数根，求和的度数及m的值． 【变式3-1】（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点， 于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 【变式3-2】问题探究： （1）请仅用无刻度直尺在图①的正方形内，画出使的一个点； （2）请用无刻度直尺和圆规在图②的正方形边上，画出使的所有点． 问题解决： （3）如图③所示，现有一块矩形钢板，，，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且，此时裁得的长为________． 【变式3-3】（25-26九年级上·江苏淮安·月考）【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏南京·月考）的值是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）在中，，且为锐角，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，中，，则的面积是（    ） A． B．12 C．14 D．21 二、填空题 6．在中，若，，则是 三角形. 7．计算： ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在中，，则锐角的度数为 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）计算：； 10．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）求锐角： (1)； (2)． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）（1）在中，，求度数． （2）在中，，求长度． 12．（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) 13．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)迁移探究： ①如图1，当点M在上时，___________°，___________°． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图2，判断与的数量关系，并说明理由． ③已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． (2)拓展应用： 正方形的边长为8，点P在边上，将沿直线翻折，使得点A落在正方形内的点M处，连接并延长交正方形一边于点G．当时，则的长为___________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $