专题7.2 正弦、余弦（高效培优讲义）数学苏科版九年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题7.2正弦、余弦 内容概览 教学目标、教学重难点 直线与圆的位置关系 切线的性质与判定定理 知识清单 切线长定理 三角形的内切圆和内心 直线与圆的位置关系 直线与圆的三种位置关系 切线的判定 切线的性质 切线的判定和性质的综合应用 题型精讲 用尺规作图过圆上一点或圆外一点作圆的切线 三角形的内切圆与内心 切线长定理 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，掌握书写形式，明确其取值范围与锐角 的关联 教学目标 2.掌握正弦、余弦值随锐角角度的变化规律，能根据角度大小比较函数值的大小 3.熟记互余两角的三角函数各类关系，能结合直角三角形灵活运用相关性质计算 4.明确锐角三角函数的范畴，理解其值仅与锐角大小有关、与三角形边长无关的特性 重点 1.直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，能结合三角形边长准确表示三角函数值 2.正弦、余弦的变化规律，以及互余两角的三角函数核心关系的理解与基础运用 教学重难点 难点 1. 理解三角函数值只与锐角大小有关，与三角形的形状、边长无关的本质特征 2. 灵活运用互余两角的三角函数关系，解决直角三角形中的三角函数计算问题 知识清单 1/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点01正弦、余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A的对边为a,邻边为b,斜边为c: 正弦：∠A的对边与斜边的比，记作snA=对边-号 斜边 余弦：∠A的边与组边的比，记作COsA--片 注意点： 仅适用于直角三角形的锐角，与三角形的边长大小无关，只与锐角的度数有关： 取值范围：0<sinA<1,0<cosA<1(锐角的正弦、余弦值均为大于0小于1的正数)； 【即学即练】 1.在RIAABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5,则sinA的值是() B 83 c D.5 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=5, 则sinA= BC 4 AB5' 故选：D, 2.在R△ABC中，∠C=90?,BC=12,4B的余弦值是子，那么B的长是 【答案】16 【详解】解：：∠B的余弦值是4LCE903 cos∠B=BC、3 AB4 :BC=12, 品 解得AB=16, 故答案为：16. 知识点02正弦、余弦值的变化规律 针对锐角α，角度与函数值的变化成固定趋势： 正弦值：随锐角角度的增大而增大，角度越小，正弦值越小： 2/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 余弦值：随锐角角度的增大而减小，角度越小，余弦值越大； 若两个锐角a>B,则sina>sinB,cosa<cosB。 互余两角的三角函数关系 在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°（∠A与∠B互余），核心关系如下： 互余关系：sinA=cosB,cosA=sinB(一个锐角的正弦等于它余角的余弦，余弦等于它余角的正弦)； 【即学即练】 3.比较大小：sin40° sin50°（填“>”、“<”或“=”）. 【答案】< 【详解】解：在锐角范围内(0°~90)，正弦函数值随角度的增大而增大， :40°<50°， sin40°<sin50°. 故答案为：<， 4.如图，梯子（长度不变)跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是() A.sina的值越大，梯子越陡 B.cosa的值越大，梯子越陡 C.tana的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠的函数值无关 【答案】A 【详解】解：A.sina的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.cosa的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C,tana的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意。 故选：A 题型精讲 题型01已知线段长求正弦、余弦值 【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AC=4,AB=5,则sinB的值是() 3/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B. c D. 【答案】D 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,AB=5, sinB=AC、4 AB=5' 故选：D 【例2】如图，在ABC中，AE、CD分别为BC、AB边上的高，AB=8,AE=6,则sin∠DCB的值为() A.3 B. c D. 万 4 4 【答案】B 【详解】解：：AE、CD分别为BC、AB边上的高， AE⊥BC,CD⊥AB, ∠CDB=LAEB=90°， LB+LBAE=LB+LDCB=90°， .∠BAE=∠DCB, .sin /DCB=sin∠BAE, 在Rt△ABE中，AB=8,AE=6, BE=VAB2-AE2=2√7， sin ZBAE=BE=2N万V万 AB 84 sin∠DCB= 4 故答案为：B, 【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=5,则下列三角函数表示正确的是() Asa4-号 12 B.cos4= 13 C.tand-j2 D.m吸-号 4/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=5 :由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=V52+122=√169=13 根据锐角三角函数定义： sind=BC_12 ,故A选项正确。 AB 13 cosA=AC、5 AB13,故B选项错误。 tanA= BC 12 AC5,故C选项错误. tanB BC12,故D选项错误。 AC 5 故选：A. 【变式1-2】如图，ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，CE⊥AB于点E,AD与CE相交 于点O,sin/BCE=() 4 A5 B. 34 c D. 【答案】D 【详解】解：：AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点， :BD-CD-1BC-3,AD L BC, 2 .∠BAD+∠B=90°， :CE⊥AB, .∠BCE+LB=90°， ∠BAD=LBCE, sin∠BCE=sin∠BAD=BD=3 AB5' 故选D 【变式1-3】如图，在ABC中，∠ACB=90°，AB=13,BC=5,CD是ABC的高，则cosLBCD的值是() 5/28 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A昌 B.13 C.2 3 D. 12 【答案】C 【详解】解：：∠ACB=90°，AB=13,BC=5 :AC=AB2-BC2 =12, 5-54c8C=d8.cn. Γ2 解得：CD=60 cos∠BCD= CD 12 BC13' 故选：C 题型2已知线段比例关系求正弦、余弦值 【例3】在直角三角形ABC中，若2AB=AC,则cosC的值为(） A.或25 B.或25 c.3或25 D.5或2 5 25 2 【答案】C 【详解】解：①当AC为直角边时， 2AB=AC, .BC=AB2+AC2=5AB, .'.cosC= AC 2AB 25 BC 5AB 5: ②当AC为斜边时， .2AB=AC, BC=AC2-AB2=3AB, :.cosC=BC=AB AC 2AB 2 综上：cosC=25或 51 2 故选C. 6/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【例4】在RtAABC中，若各边长都扩大5倍，则sinA的值() A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 【答案】C 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，知若各边长都扩大5倍，则∠A的大小没有变化，所以sA的值 不变 故选：C 【变式2-1】在ABC中，∠C=90°，AC:BC=1:√5，则sinB的值为() A.3 D.② 2 B.3 C. 【答案】C 【详解】解：设AC=k,则BC=k√5， :∠C=90°， B=VAC+BC:=k+(k3) =2k, :sinB=AC、k1 AB 2k 2 故选C 【变式2-2】 ABC中，∠C=90°，且c=3b,则cosA=(). A. 3 B.2V2 D. V10 3 c 3 【答案】C 【详解】在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=3b, bb 1 ∴.C0SA=2 c363 故选：C 【点晴】此题考查了锐角三角函数的定义及运用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键， 【变式2-3】第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦 图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形.若EF:AH=1:3, 则cos/ABE= D ICmE-14 图1 图2 7/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 【详解】解：根据题意，设EF=x,则AH=3x, :△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形， .AH BE =3x,EF HE =x, .AE=4x, :∠AEB=90°， .AB=AE2+BE2=5x cOS∠ABE= BE 3x 3 AB5x5' 故答案为： 3 方法技巧 根据比例设参数（如比为m:n,设边长为mk、nk,k>O),用勾股定理求出未知边的参数表达式，代入 三角函数定义求比值，参数会约去，结果与参数无关。 题型3根据互余关系求正弦、余弦值 2 【例5】在RtAABC中，∠C=90°，若cosB=二，则sinA的值为() B. 2 c.5 D.V53 2 【答案】A 【分析】 【详解】解：在RtAABC中，∠C=90°， .∠A+∠B=90°， .sinA cosB cosB=2 2 .SinA 3 故选：A 【例6】已知∠A,∠B,∠C是ABC的三个内角，则sin4+B等于() 2 B.sin C C 2 C.tan- 2 D.cos4+B 2 【答案】A 8/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：：LA+∠B+∠C=180°，∠A+LB=180-∠C, “sinA+B in 180-C=sin90-C C sin- =COS 2 2 2 2 故选：A 【点睛】本题考查了互余的两角三角函数的关系，解题的关键是了解互余的两角之间的关系. 【变式3-1】以下各数中，与sin13°的值相等的是() A.1 B.c0s77° C.sin77° D.c0s13° 【答案】B 【详解】解：：13°+77°=90 sinl3°=c0s77°. 故选：B. 【变式3-2】若sin28°=cosa,且a是锐角，则a=__度. 【答案】62 【详解】解：：90°-28°=62°，sin28°=c0sa,且a是锐角， a=62°. 故答案为：62. 【变式3-3】己知∠A,∠B都是锐角，且sinA=cosB,那么∠A与∠B之间满足的关系是() A.∠A=∠B B.∠A+∠B=90°C.∠A-∠B=90°D.∠B-∠A=90 【答案】B 【分析】 【详解】解：：sinA=cos90°-A),sinA=cosB, 90°-∠A=∠B, .∠A+∠B=90°， 故选：B 题型04已知正弦、余弦值求线段长 【例7】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= 3,则anB的值为() 2 A.5 c号 D. 【答案】A 【分析】 9/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图所示： C B A 在R△1C中，∠C=90,血4-日，则设8C=5,48=13, :由勾股定理可得AC=√AB2-BC2=12k, 则tanB=4C=12k_12 BC 5k5 故选：A 【例8】知图，在R△ABC中，∠A8C-90,8D上AC于点D,4C=10,QsC-号则CD的长为一 A D B 【答案】18 【详解】解：：LABC=90°，cosC= 3 BC_3 AC5' :AC=10, BC 3 .10=5 BC=6, :BD⊥AC, ∠BDC=90°， :cosC=CDCD 3 BC=6=5' c 故答案为： l8 5 10/28 专题7.2 正弦、余弦 教学目标 1．理解直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，掌握书写形式，明确其取值范围与锐角的关联 2．掌握正弦、余弦值随锐角角度的变化规律，能根据角度大小比较函数值的大小 3．熟记互余两角的三角函数各类关系，能结合直角三角形灵活运用相关性质计算 4．明确锐角三角函数的范畴，理解其值仅与锐角大小有关、与三角形边长无关的特性 教学重难点 重点 1．直角三角形中锐角正弦、余弦的定义，能结合三角形边长准确表示三角函数值 2．正弦、余弦的变化规律，以及互余两角的三角函数核心关系的理解与基础运用 难点 1．理解三角函数值只与锐角大小有关，与三角形的形状、边长无关的本质特征 2．灵活运用互余两角的三角函数关系，解决直角三角形中的三角函数计算问题 知识点01 正弦、余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A的对边为a，邻边为b，斜边为c： 正弦：∠A的________与________的比，记作 余弦：∠A的________与________的比，记作 注意点： 仅适用于________三角形的锐角，与三角形的边长大小无关，只与________的度数有关； 取值范围：，（锐角的正弦、余弦值均为大于0小于1的正数）； 【即学即练】 1．在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．在中，的余弦值是，那么的长是 ． 知识点02 正弦、余弦值的变化规律 针对锐角，角度与函数值的变化成固定趋势： 正弦值：随锐角角度的增大而________，角度越小，正弦值越________； 余弦值：随锐角角度的增大而________，角度越小，余弦值越________； 若两个锐角，则，。 互余两角的三角函数关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A+∠B=90°（∠A与∠B互余），核心关系如下： 互余关系：________，________（一个锐角的正弦等于它余角的________，余弦等于它余角的________）； 【即学即练】 3．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 4．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（    ） A．的值越大，梯子越陡 B．的值越大，梯子越陡 C．的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与的函数值无关 题型01 已知线段长求正弦、余弦值 【例1】如图，在中，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，分别为边上的高，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，中，，，为的中点，于点，与相交于点，（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型02 已知线段比例关系求正弦、余弦值 【例3】在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例4】在中，若各边长都扩大5倍，则的值（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【变式2-1】在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】中，，且，则（   ）． A． B． C． D． 【变式2-3】第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则 ． 根据比例设参数（如比为m:n，设边长为mk、nk，k>0），用勾股定理求出未知边的参数表达式，代入三角函数定义求比值，参数会约去，结果与参数无关。 题型03 根据互余关系求正弦、余弦值 【例5】在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例6】已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 【变式3-2】若，且是锐角，则 度． 【变式3-3】已知，都是锐角，且，那么与之间满足的关系是（   ） A． B． C． D． 题型04 已知正弦、余弦值求线段长 【例7】如图，在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例8】如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【变式4-1】如图，中，，，则的长为 ． 【变式4-2】在矩形中，，，垂足为，设，且，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 题型05 构造直角三角形求正弦、余弦值 【例9】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【例10】如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式5-1】在锐角中，是高，如果，，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式5-3】如图，在中， ，，，求、的长． 过非直角三角形的目标锐角的顶点作高，构造含该锐角的直角三角形，利用原图形的边长、角度关系，求出构造后直角三角形的各边长，套用定义求目标锐角的正、余弦值。 题型06 正余弦的互余关系与增减性综合比较大小 【例11】比较大小： ．（填“>”“=”或“<”） 【例12】下列是4个已知角度的三角函数，值最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】以下四个三角函数值中，最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】比较大小（用＜连接），，， ． 【变式6-3】三角函数，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若将各边长度都扩大为原来的倍，则的正弦值（    ） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在正方形网格的顶点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，、分别为、边上的高，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（    ） A． B． C． D．或 7．如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中，，则 ． 9．比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”） 10．在中，，，则的度数等于 ． 11．如图，在中，，，，则 ． 12．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则的值为 ． 13．经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为 ． 14．如图，将图1的七巧板，拼成图2所示的平行四边形，则的值为 ． 三、解答题 15．如图，如果中是锐角，，．证明：． 16．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 17．如图．在中，于点D，若． (1)求的长； (2)求的值． 18．在中，，，的对边分别是a，b，c， ，且，求的值． 19．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，其中，点在轴上，，． (1)求线段的长； (2)求点的坐标． 20．如图所示，在中，为边上的一点，，，，，求： (1)的余弦值； (2)边的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $