小升初奥数培优：抽屉原理（最不利原则）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《抽屉原理（最不利原则）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的奇妙世界里，有些问题看似没有直接的数据，也无法通过计算一步得出答案，但它们却隐藏着深刻的逻辑规律。今天我们要学习的《抽屉原理（最不利原则）》，就是一把打开“必然性”大门的钥匙。 你是否想过：为什么任意5个人中，至少有两个人的生日在同一个月？为什么从一副扑克牌中任意抽出几张，就一定能保证有两张花色相同？这些看似“巧合”的现象，其实都遵循着一个简单的数学原理——抽屉原理。 本讲义将带你从生活实例出发，深入理解“最不利情况”下的必然结果，掌握“至少……必定……”类问题的解题思路。通过学习，你会发现自己不仅能解决奥数难题，还能在生活中做出更聪明的判断。 请记住：数学不是死记硬背，而是思维的艺术。 愿你在“最坏情况”的推理中，找到“必然发生”的智慧！ 知识梳理 1、抽屉原理的基本概念 （1）定义 抽屉原理又称“鸽巢原理”，其基本思想是： 如果把 个物体放入 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里不少于 2 个物体。 例如：把4只苹果放进3个抽屉，无论怎么放，总有一个抽屉里至少有2只苹果。 （2）一般形式 把 个物体放入 个抽屉中（ ），则至少有一个抽屉里不少于 个物体。 （其中 表示不小于 的最小整数，即“向上取整”） （3）核心思想 不关注具体分配方式，而是研究“最平均”分配后仍无法避免的“集中”现象。 2、最不利原则 （1）定义 最不利原则是抽屉原理的重要应用，指的是： 为了保证某件事“必定发生”，我们需要考虑“最倒霉”或“最不利”的情况，在这种情况下仍能满足条件，那么其他情况就更一定能满足。 （2）解题关键 找出“最不利情况”（即离成功只差一步的情况）； 在此基础之上再加“1”，就能确保事件必然发生。 （3）典型句式 题目中常出现：“至少取出多少个，才能保证……”、“最少拿几次，必定有……”等，这类问题通常用最不利原则解决。 3、常见应用场景 （1）物品分类问题：如颜色、花色、型号等； （2）数字余数问题：如被某数除的余数； （3）生日、月份、星期等周期性问题； （4）比赛、抽签、抽奖中的保证性问题。 4、解题步骤总结 （1）明确“抽屉”是什么（分类标准）； （2）确定“物体”是什么（要分配的对象）； （3）分析“最不利情况”——尽可能不满足目标； （4）在最不利情况下加1，得到最小保证数。 例题讲解 【例题1】（基础抽屉原理） 题目：有4种不同颜色的球各若干个，至少取出多少个球，才能保证有2个球颜色相同？ 解析： 抽屉：4种颜色 → 4个抽屉； 最不利情况：每种颜色各取1个，共取了4个，仍未有重复； 再取1个，无论是什么颜色，都会与已有的某一个重复； 所以至少取 个。 答：至少取出5个球。 【跟踪训练】 题目：有5种不同口味的糖果各若干，至少取出多少颗，才能保证有2颗口味相同？ 答案及解析 抽屉：5种口味 → 5个抽屉； 最不利：每种各取1颗，共5颗，无重复； 第6颗无论什么口味，都会重复； 所以至少取 颗。 答：至少取出6颗糖果。 【例题2】（最不利原则应用） 题目：一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有3个球颜色相同？ 解析： 抽屉：3种颜色； 最不利情况：每种颜色各取2个（即红2、黄2、蓝2），共6个球，仍未有3个同色； 再取1个，无论什么颜色，都会使某一种颜色达到3个； 所以至少取 个。 答：至少取出7个球。 【跟踪训练】 题目：有黑、白、灰三种袜子各若干双，至少取出多少只袜子，才能保证有4只袜子颜色相同？ 答案及解析 抽屉：3种颜色； 最不利：每种各取3只（黑3、白3、灰3），共9只，仍未有4只同色； 再取1只，必使某一种达到4只； 所以至少取 只。 答：至少取出10只袜子。 【例题3】（余数分类应用） 题目：从1~100中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的差是7的倍数？ 解析： 关键：两个数差是7的倍数 → 它们除以7的余数相同； 抽屉：除以7的余数有0、1、2、3、4、5、6，共7种 → 7个抽屉； 最不利：每个余数类各取1个数，共7个，无两数同余； 第8个数必与某一个余数相同 → 差为7的倍数； 所以至少取 个。 答：至少取出8个数。 【跟踪训练】 题目：从1~50中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的差是5的倍数？ 答案及解析 除以5的余数有0、1、2、3、4，共5种； 最不利：每类各取1个，共5个； 第6个必与某一个同余 → 差为5的倍数； 所以至少取 个。 答：至少取出6个数。 【例题4】（综合应用——保证性问题） 题目：一次数学竞赛有5道题，评分标准为每题答对得1分，答错或不答得0分。至少有多少人参赛，才能保证有两人得分相同？ 解析： 可能得分：0、1、2、3、4、5，共6种不同分值； 抽屉：6个（代表6种得分）； 最不利：每种得分各1人，共6人，无重复； 第7人无论得多少分，都会与前面某人相同； 所以至少需要 人。 答：至少有7人参赛。 【跟踪训练】 题目：一次英语测试有4道选择题，每题答对得1分，答错或不答得0分。至少有多少人参加测试，才能保证有两人得分相同？ 答案及解析 可能得分：0、1、2、3、4，共5种； 最不利：每种分值各1人，共5人； 第6人必与某人得分相同； 所以至少需要 人。 答：至少有6人参加测试。 提升练习 1.有6种不同款式的文具盒，至少取出多少个，才能保证有3个是同一款式？ 2.一个箱子里有红、蓝两种球各20个，至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 3.从1~30中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数除以4的余数相同？ 4.有4位同学参加跳绳比赛，比赛轮次很多，每人得分都是整数。至少有多少人参赛，才能保证有两人总分相同？（假设最高分不超过10分） 5.一副扑克牌（不含大小王），至少抽出多少张，才能保证有3张花色相同？ 答案及解析 1.最不利：每种各取2个，共 个；再取1个 → 个。 2.最不利：红4、蓝4，共8个；再取1个 → 个。 3.除以4余数有0、1、2、3，共4种；最不利各取1个 → 4个；第5个必重复 → 至少取5个。 4.得分范围0~10，共11种；最不利各1人 → 11人；第12人必重复 → 至少12人。 5.花色4种；最不利每种各2张 → 张；再抽1张 → 张。 模拟赛场 1.有10个小朋友分糖果，每人至少分到1颗，共分了28颗。问：是否一定有人分到至少3颗糖果？说明理由。 2.一个口袋里有5种不同颜色的玻璃珠，每种颜色都有若干颗。至少取出多少颗，才能保证有4颗颜色相同？ 3.从1~100中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的和是偶数？ 4.某班有30名学生，他们的出生月份各不相同吗？至少有多少人出生在同一个月？ 5.一次考试有6道题，每题满分1分。至少有多少人考试，才能保证有3人得分相同？ 6.有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各若干个，至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 答案及解析 1.是。若每人最多2颗，最多分 颗，但实际28 > 20，所以至少有一人分到3颗或以上。 2.最不利：每种各取3颗，共 颗；再取1颗 → 颗。 3.和为偶数 → 两数同奇或同偶。奇偶性只有“奇”“偶”两类；最不利各取1个 → 第3个必与某一个同奇偶 → 和为偶数 → 至少取3个。 4.一年12个月； 余6 → 至少有 人同月出生（抽屉原理）。 5.得分0~6，共7种；要保证3人相同，最不利是每种2人 → 人；再加1人 → 人。 6.4种颜色；最不利每种各取4个 → 个；再取1个 → 个。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《抽屉原理（最不利原则）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的奇妙世界里，有些问题看似没有直接的数据，也无法通过计算一步得出答案，但它们却隐藏着深刻的逻辑规律。今天我们要学习的《抽屉原理（最不利原则）》，就是一把打开“必然性”大门的钥匙。 你是否想过：为什么任意5个人中，至少有两个人的生日在同一个月？为什么从一副扑克牌中任意抽出几张，就一定能保证有两张花色相同？这些看似“巧合”的现象，其实都遵循着一个简单的数学原理——抽屉原理。 本讲义将带你从生活实例出发，深入理解“最不利情况”下的必然结果，掌握“至少……必定……”类问题的解题思路。通过学习，你会发现自己不仅能解决奥数难题，还能在生活中做出更聪明的判断。 请记住：数学不是死记硬背，而是思维的艺术。 愿你在“最坏情况”的推理中，找到“必然发生”的智慧！ 知识梳理 1、抽屉原理的基本概念 （1）定义 抽屉原理又称“鸽巢原理”，其基本思想是： 如果把 个物体放入 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里不少于 2 个物体。 例如：把4只苹果放进3个抽屉，无论怎么放，总有一个抽屉里至少有2只苹果。 （2）一般形式 把 个物体放入 个抽屉中（ ），则至少有一个抽屉里不少于 个物体。 （其中 表示不小于 的最小整数，即“向上取整”） （3）核心思想 不关注具体分配方式，而是研究“最平均”分配后仍无法避免的“集中”现象。 2、最不利原则 （1）定义 最不利原则是抽屉原理的重要应用，指的是： 为了保证某件事“必定发生”，我们需要考虑“最倒霉”或“最不利”的情况，在这种情况下仍能满足条件，那么其他情况就更一定能满足。 （2）解题关键 找出“最不利情况”（即离成功只差一步的情况）； 在此基础之上再加“1”，就能确保事件必然发生。 （3）典型句式 题目中常出现：“至少取出多少个，才能保证……”、“最少拿几次，必定有……”等，这类问题通常用最不利原则解决。 3、常见应用场景 （1）物品分类问题：如颜色、花色、型号等； （2）数字余数问题：如被某数除的余数； （3）生日、月份、星期等周期性问题； （4）比赛、抽签、抽奖中的保证性问题。 4、解题步骤总结 （1）明确“抽屉”是什么（分类标准）； （2）确定“物体”是什么（要分配的对象）； （3）分析“最不利情况”——尽可能不满足目标； （4）在最不利情况下加1，得到最小保证数。 例题讲解 【例题1】（基础抽屉原理） 题目：有4种不同颜色的球各若干个，至少取出多少个球，才能保证有2个球颜色相同？ 解析： 抽屉：4种颜色 → 4个抽屉； 最不利情况：每种颜色各取1个，共取了4个，仍未有重复； 再取1个，无论是什么颜色，都会与已有的某一个重复； 所以至少取 个。 答：至少取出5个球。 【跟踪训练】 题目：有5种不同口味的糖果各若干，至少取出多少颗，才能保证有2颗口味相同？ 【例题2】（最不利原则应用） 题目：一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的球各10个。至少取出多少个球，才能保证有3个球颜色相同？ 解析： 抽屉：3种颜色； 最不利情况：每种颜色各取2个（即红2、黄2、蓝2），共6个球，仍未有3个同色； 再取1个，无论什么颜色，都会使某一种颜色达到3个； 所以至少取 个。 答：至少取出7个球。 【跟踪训练】 题目：有黑、白、灰三种袜子各若干双，至少取出多少只袜子，才能保证有4只袜子颜色相同？ 【例题3】（余数分类应用） 题目：从1~100中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的差是7的倍数？ 解析： 关键：两个数差是7的倍数 → 它们除以7的余数相同； 抽屉：除以7的余数有0、1、2、3、4、5、6，共7种 → 7个抽屉； 最不利：每个余数类各取1个数，共7个，无两数同余； 第8个数必与某一个余数相同 → 差为7的倍数； 所以至少取 个。 答：至少取出8个数。 【跟踪训练】 题目：从1~50中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的差是5的倍数？ 【例题4】（综合应用——保证性问题） 题目：一次数学竞赛有5道题，评分标准为每题答对得1分，答错或不答得0分。至少有多少人参赛，才能保证有两人得分相同？ 解析： 可能得分：0、1、2、3、4、5，共6种不同分值； 抽屉：6个（代表6种得分）； 最不利：每种得分各1人，共6人，无重复； 第7人无论得多少分，都会与前面某人相同； 所以至少需要 人。 答：至少有7人参赛。 【跟踪训练】 题目：一次英语测试有4道选择题，每题答对得1分，答错或不答得0分。至少有多少人参加测试，才能保证有两人得分相同？ 提升练习 1.有6种不同款式的文具盒，至少取出多少个，才能保证有3个是同一款式？ 2.一个箱子里有红、蓝两种球各20个，至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 3.从1~30中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数除以4的余数相同？ 4.有4位同学参加跳绳比赛，比赛轮次很多，每人得分都是整数。至少有多少人参赛，才能保证有两人总分相同？（假设最高分不超过10分） 5.一副扑克牌（不含大小王），至少抽出多少张，才能保证有3张花色相同？ 模拟赛场 1.有10个小朋友分糖果，每人至少分到1颗，共分了28颗。问：是否一定有人分到至少3颗糖果？说明理由。 2.一个口袋里有5种不同颜色的玻璃珠，每种颜色都有若干颗。至少取出多少颗，才能保证有4颗颜色相同？ 3.从1~100中任意取出若干个数，至少取出多少个数，才能保证有两个数的和是偶数？ 4.某班有30名学生，他们的出生月份各不相同吗？至少有多少人出生在同一个月？ 5.一次考试有6道题，每题满分1分。至少有多少人考试，才能保证有3人得分相同？ 6.有红、黄、蓝、绿四种颜色的球各若干个，至少取出多少个球，才能保证有5个球颜色相同？ 学科网（北京）股份有限公司 $