小升初奥数培优：十字交叉法（浓度配比）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《十字交叉法（浓度配比）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在日常生活中，我们常常会遇到“浓度”问题：比如糖水甜不甜、酒精消毒液的浓度是否合适、农药稀释的比例对不对……这些问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理——浓度配比问题。它是小学奥数中“溶液问题”的核心内容，也是小升初考试和各类竞赛的常考题型。 本讲义将带你走进“十字交叉法”的世界。这是一种高效、直观、逻辑清晰的解题工具，专门用于解决两种不同浓度的溶液混合后求比例或浓度的问题。它不仅能简化复杂的分数运算，还能帮助你建立“加权平均”的初步思维，为初中化学和物理学习打下基础。 学习本讲内容时，请记住三个关键词：浓度 = 溶质 ÷ 溶液、混合前后溶质总量不变、十字交叉是比例的桥梁。只要你理解了这些本质，再配合系统的例题训练，一定能掌握这一“奥数利器”。 希望你在学习过程中保持好奇、勤于思考、善于总结。相信通过这份讲义的学习，你不仅能解决浓度问题，更能提升分析问题、建模解题的综合能力！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）溶液、溶质、溶剂 溶液：被溶解的物质（溶质）与溶解它的液体（溶剂）混合而成的整体。如糖水。 溶质：被溶解的物质，如糖。 溶剂：用来溶解溶质的液体，如水。 （2）浓度的定义与计算 浓度通常用百分数表示，指溶质占溶液总量的比率。 公式： 浓度 = 溶质质量÷ 溶液质量 × 100% 或写作： （3）浓度问题的基本类型 已知浓度和溶液质量，求溶质质量： 已知溶质和浓度，求溶液质量： 混合问题：两种不同浓度的溶液混合，求混合后浓度或混合比例 2、十字交叉法的原理与应用 （1）适用条件 仅适用于两种不同浓度的溶液混合，且混合过程中无化学反应、无蒸发、无沉淀。 混合前后溶质总量守恒。 （2）十字交叉法的基本形式 设有两种溶液： 溶液A：浓度为 ，质量为 溶液B：浓度为 ，质量为 混合后浓度为 则有： 整理得： （注意：分子分母均为绝对值） 这正是“十字交叉法”的数学依据。 （3）十字交叉法的操作步骤 1.写出两种原溶液的浓度 、 （设 ） 2.写出混合后的目标浓度 3.计算差值： （大减中） （中减小） 4.质量比为： 5.即：所需质量比 =（中－小）:（大－中） （4）注意事项 浓度必须用小数或分数形式参与计算，不能用百分号 质量比是溶液总质量之比，不是溶质或溶剂之比 若结果为分数，可化为最简整数比 十字交叉法仅适用于线性混合，不适用于多次混合或非均匀混合 例题讲解 【例题1】（基础应用） 题目：将浓度为20%的糖水与浓度为5%的糖水混合，配制成浓度为10%的糖水。问两种糖水应按怎样的质量比混合？ 解析： ， ， 使用十字交叉法： 质量比 答：应按 1:2 的质量比混合（20%:5%）。 【跟踪训练】 题目：用浓度为15%和5%的盐水配制成10%的盐水，应按怎样的质量比混合？ 答案及解析 ， ， 答：按 1:1 的质量比混合。 【例题2】（已知比例求浓度） 题目：将浓度为25%的酒精和浓度为10%的酒精按质量比 2:3 混合，求混合后酒精的浓度。 解析： 设25%酒精质量为2份，10%酒精质量为3份 总溶质 = 总溶液 = 2 + 3 = 5 份 混合浓度 = 答：混合后浓度为 16%。 【跟踪训练】 题目：将浓度为30%和12%的果汁按质量比 1:4 混合，求混合后浓度。 答案及解析 设30%果汁1份，12%果汁4份 溶质 = 总质量 = 5 浓度 = 答：混合后浓度为 15.6%。 【例题3】（十字交叉反向应用） 题目：用浓度为20%和5%的两种酒精溶液混合，配制成15%的酒精600克。问各需多少克？ 解析： 使用十字交叉法： ， ， 质量比 总份数 = 2 + 1 = 3 20%酒精质量 = 克 5%酒精质量 = 克 答：需20%酒精 400克，5%酒精 200克。 【跟踪训练】 题目：用浓度为30%和10%的盐水配制成20%的盐水900克，各需多少克？ 答案及解析 ， ， ， 质量比 = 总份数 = 2 各需 克 答：各需 450克。 提升练习 1.将浓度为40%和20%的糖水按质量比 3:2 混合，求混合后浓度。 2.用浓度为25%和15%的酒精配制成20%的酒精800克，各需多少克？ 3.现有浓度为18%的盐水300克，要蒸发掉多少克水，才能使浓度变为30%？ 4.将浓度为10%的糖水500克与浓度为30%的糖水混合，得到浓度为22%的糖水。问加入了多少克30%的糖水？ 答案及解析 1.设40%糖水3份，20%糖水2份 溶质 = 总质量 = 5，浓度 = 2.十字交叉： ，各需400克 3.溶质不变： 克 浓度30%时溶液质量 = 克 蒸发水 = 300 - 180 = 120 克 4.设加入 克30%糖水 ， 克 模拟赛场 1.两种酒精溶液，浓度分别为40%和10%，按质量比 2:3 混合，求混合后浓度。 2.用浓度为35%和15%的盐水配制成25%的盐水1200克，各需多少克？ 3.现有浓度为24%的糖水400克，加入多少克水后，浓度变为16%？ 4.将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配制成12%的盐水。问两种盐水的质量比是多少？ 5.甲容器有浓度为30%的盐水200克，乙容器有浓度为10%的盐水300克。将两者混合后，再蒸发掉100克水，求最终浓度。 6.用浓度为45%和25%的两种酒精溶液混合，得到浓度为33%的酒精。问两种溶液的质量比是多少？ 答案及解析 1.设40%为2份，10%为3份 溶质 = 总质量 = 5，浓度 = 2.十字交叉： ，各600克 3.溶质 = 克 浓度16%时溶液质量 = 克 加水 = 600 - 400 = 200 克 4.十字交叉： 5.混合后溶质 = 克 混合后质量 = 500 克 蒸发后质量 = 400 克 浓度 = 6.十字交叉： ，即 2:3 学科网（北京）股份有限公司 $ 《十字交叉法（浓度配比）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在日常生活中，我们常常会遇到“浓度”问题：比如糖水甜不甜、酒精消毒液的浓度是否合适、农药稀释的比例对不对……这些问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理——浓度配比问题。它是小学奥数中“溶液问题”的核心内容，也是小升初考试和各类竞赛的常考题型。 本讲义将带你走进“十字交叉法”的世界。这是一种高效、直观、逻辑清晰的解题工具，专门用于解决两种不同浓度的溶液混合后求比例或浓度的问题。它不仅能简化复杂的分数运算，还能帮助你建立“加权平均”的初步思维，为初中化学和物理学习打下基础。 学习本讲内容时，请记住三个关键词：浓度 = 溶质 ÷ 溶液、混合前后溶质总量不变、十字交叉是比例的桥梁。只要你理解了这些本质，再配合系统的例题训练，一定能掌握这一“奥数利器”。 希望你在学习过程中保持好奇、勤于思考、善于总结。相信通过这份讲义的学习，你不仅能解决浓度问题，更能提升分析问题、建模解题的综合能力！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）溶液、溶质、溶剂 溶液：被溶解的物质（溶质）与溶解它的液体（溶剂）混合而成的整体。如糖水。 溶质：被溶解的物质，如糖。 溶剂：用来溶解溶质的液体，如水。 （2）浓度的定义与计算 浓度通常用百分数表示，指溶质占溶液总量的比率。 公式： 浓度 = 溶质质量÷ 溶液质量 × 100% 或写作： （3）浓度问题的基本类型 已知浓度和溶液质量，求溶质质量： 已知溶质和浓度，求溶液质量： 混合问题：两种不同浓度的溶液混合，求混合后浓度或混合比例 2、十字交叉法的原理与应用 （1）适用条件 仅适用于两种不同浓度的溶液混合，且混合过程中无化学反应、无蒸发、无沉淀。 混合前后溶质总量守恒。 （2）十字交叉法的基本形式 设有两种溶液： 溶液A：浓度为 ，质量为 溶液B：浓度为 ，质量为 混合后浓度为 则有： 整理得： （注意：分子分母均为绝对值） 这正是“十字交叉法”的数学依据。 （3）十字交叉法的操作步骤 1.写出两种原溶液的浓度 、 （设 ） 2.写出混合后的目标浓度 3.计算差值： （大减中） （中减小） 4.质量比为： 5.即：所需质量比 =（中－小）:（大－中） （4）注意事项 浓度必须用小数或分数形式参与计算，不能用百分号 质量比是溶液总质量之比，不是溶质或溶剂之比 若结果为分数，可化为最简整数比 十字交叉法仅适用于线性混合，不适用于多次混合或非均匀混合 例题讲解 【例题1】（基础应用） 题目：将浓度为20%的糖水与浓度为5%的糖水混合，配制成浓度为10%的糖水。问两种糖水应按怎样的质量比混合？ 解析： ， ， 使用十字交叉法： 质量比 答：应按 1:2 的质量比混合（20%:5%）。 【跟踪训练】 题目：用浓度为15%和5%的盐水配制成10%的盐水，应按怎样的质量比混合？ 【例题2】（已知比例求浓度） 题目：将浓度为25%的酒精和浓度为10%的酒精按质量比 2:3 混合，求混合后酒精的浓度。 解析： 设25%酒精质量为2份，10%酒精质量为3份 总溶质 = 总溶液 = 2 + 3 = 5 份 混合浓度 = 答：混合后浓度为 16%。 【跟踪训练】 题目：将浓度为30%和12%的果汁按质量比 1:4 混合，求混合后浓度。 【例题3】（十字交叉反向应用） 题目：用浓度为20%和5%的两种酒精溶液混合，配制成15%的酒精600克。问各需多少克？ 解析： 使用十字交叉法： ， ， 质量比 总份数 = 2 + 1 = 3 20%酒精质量 = 克 5%酒精质量 = 克 答：需20%酒精 400克，5%酒精 200克。 【跟踪训练】 题目：用浓度为30%和10%的盐水配制成20%的盐水900克，各需多少克？ 提升练习 1.将浓度为40%和20%的糖水按质量比 3:2 混合，求混合后浓度。 2.用浓度为25%和15%的酒精配制成20%的酒精800克，各需多少克？ 3.现有浓度为18%的盐水300克，要蒸发掉多少克水，才能使浓度变为30%？ 4.将浓度为10%的糖水500克与浓度为30%的糖水混合，得到浓度为22%的糖水。问加入了多少克30%的糖水？ 模拟赛场 1.两种酒精溶液，浓度分别为40%和10%，按质量比 2:3 混合，求混合后浓度。 2.用浓度为35%和15%的盐水配制成25%的盐水1200克，各需多少克？ 3.现有浓度为24%的糖水400克，加入多少克水后，浓度变为16%？ 4.将浓度为20%的盐水与浓度为5%的盐水混合，配制成12%的盐水。问两种盐水的质量比是多少？ 5.甲容器有浓度为30%的盐水200克，乙容器有浓度为10%的盐水300克。将两者混合后，再蒸发掉100克水，求最终浓度。 6.用浓度为45%和25%的两种酒精溶液混合，得到浓度为33%的酒精。问两种溶液的质量比是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $