小升初奥数培优：水管问题（注水与排水）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《水管问题（注水与排水）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，水是生命之源，而与水相关的工程问题也常常出现在数学世界中。今天，我们将一起走进一个既贴近生活又充满思维挑战的奥数专题——水管问题（注水与排水）。 这类问题模拟的是水池、水箱等容器中，通过进水管注水、出水管排水，共同作用下完成充水或排空的过程。它不仅是对“工作效率”概念的延伸，更是对正负抵消、合作效率、时间与总量关系的综合考查。看似简单，实则暗藏玄机：当注水与排水同时进行时，如何判断水位变化？多个水管交替工作时，如何计算总时间？ 本讲义将从基础出发，层层递进，通过典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题模型，掌握“设总量、算效率、列方程、析过程”的核心方法。希望你在学习中做到：理解题意、画图辅助、列表分析、精准计算。相信通过这份讲义的学习，你不仅能轻松应对各类水管问题，还能提升逻辑思维与实际应用能力，为小升初数学竞赛打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题的基本模型迁移 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 在水管问题中，“工作总量”通常指水池的总容量，可设为“1”或最小公倍数 注水管效率 = 排水管效率 = （注意：排水为“负工作”） （2）合作效率的计算 多个注水管同时工作：效率相加 例如：甲管注满需6小时，乙管需8小时，则合注效率为 注水与排水同时进行：效率相减（排水效率为负） 例如：甲注水 ，乙排水 ，则净效率为 （3）核心解题步骤 第一步：设水池总容量为“1”或最小公倍数（便于计算） 第二步：分别计算各水管的注水或排水效率 第三步：根据工作方式（同时、交替、分段）计算净效率或分段工作量 第四步：用“总量 ÷ 净效率”求时间，或分段累加时间 第五步：检查是否溢出、是否排空、是否有空池开始等细节 （4）关键技巧与注意事项 若题目未说明总容量，可设为效率分母的最小公倍数（避免分数运算） 注水效率为正，排水效率为负，注意符号 当注水与排水同时进行时，若排水效率大于注水效率，则水位下降 交替工作问题需分析“周期”与“余数” 实际问题中，水池不能“负水量”，也不能“超满”，需注意边界条件 2、常见题型分类 （1）同时注水或排水：多个水管同时工作，求合注或合排时间 （2）注水与排水同时进行：一边注水一边排水，求满池时间 （3）交替工作：如甲注1小时、乙排1小时，循环进行 （4）分段过程：先单独注水，再同时排水，再合注等复合过程 3、解题策略与技巧 （1）设数法：设总容量为时间的最小公倍数，化分数为整数 （2）列表法：列出每阶段的工作效率、时间、工作量 （3）画图法：用线段图表示水位变化过程 （4）周期分析法：用于交替工作问题，先算周期净变化 例题讲解 【例题1】（基础注水问题） 题目：一个水池，甲管单独注水需12小时注满，乙管单独注水需18小时注满。若两管同时打开，多少小时可以注满？ 解析： 设水池总容量为1 甲效率 = ，乙效率 = 合注效率 = 注满时间 = 小时 换算为小时分钟：0.2小时 = 12分钟，即 7小时12分钟 答：两管同时打开，7.2小时（或7小时12分钟）可以注满。 【跟踪训练】 题目：甲管单独注满水池需15小时，乙管需10小时。两管同时注水，多少小时可以注满？ 【例题2】（注水与排水同时进行） 题目：一个水池，甲管注水需20小时注满，乙管排水需30小时排空。若水池为空，同时打开甲管注水和乙管排水，多少小时可以注满？ 解析： 设总量为1 甲注水效率 = ，乙排水效率 = 净效率 = 注满时间 = 小时 答：同时打开，60小时可以注满。 【跟踪训练】 题目：甲管注满需24小时，乙管排空需18小时。空池同时开甲注水、乙排水，多少小时后水池被注满？ 【例题3】（交替工作问题） 题目：一个水池，甲管注水需12小时注满，乙管排水需18小时排空。现按“甲注水1小时，乙排水1小时”的顺序交替进行。水池初始为空，问多少小时后水池第一次被注满？ 解析： 设总量为36（12和18的最小公倍数） 甲效率 = 3（36÷12），乙排水效率 = 2（36÷18） 一个周期（2小时）：注3，排2 → 净增1 经过n个周期后，水量为n×1 当水量接近36时，需单独分析最后阶段 36 ÷ 1 = 36 → 36个周期后水量为36？但注意：每个周期净增1，但最后一步可能是甲注水直接注满，无需乙排水 关键点：当某次甲注水后水量达到或超过36，即完成 每周期净增1，经过35个周期（70小时），水量 = 35 第71小时：甲注水3 → 水量 = 35 + 3 = 38 > 36，但只需注1即可满 注1需时间 = 小时 总时间 = 70 + = 70.333... 小时 答：70 小时（即70小时20分钟）后水池第一次被注满。 【跟踪训练】 题目：甲注水需15小时，乙排水需10小时，按“甲注1小时，乙排1小时”交替进行，空池开始。问多少小时后水池第一次被注满？ 【例题4】（分段过程问题） 题目：一个水池，甲管注水需10小时注满，乙管排水需15小时排空。先单独开甲管注水2小时，然后同时开甲、乙两管。问从开始到注满共需多少小时？ 解析： 设总量为1 甲效率 = ，乙排水效率 = 第一阶段（2小时）：甲单独注水 注水量 = 剩余水量 = 第二阶段：甲注乙排，净效率 = 注满剩余部分时间 = 小时 总时间 = 2 + 24 = 26 小时 答：共需 26小时。 【跟踪训练】 题目：甲管注水需12小时，乙管排水需18小时。先开甲管注水3小时，然后同时开甲、乙两管。问共需多少小时注满？ 提升练习 1.甲管注满需8小时，乙管需12小时，两管同时注水，多少小时可以注满？ 2.甲注水需20小时，乙排水需25小时，同时打开，多少小时可以注满？ 3.甲注水需9小时，乙排水需6小时，按“甲注1小时，乙排1小时”交替进行，空池开始。问能否注满？若能，需多少小时？ 4.甲注水需15小时，乙排水需10小时，先单独开甲3小时，然后同时开甲、乙。问共需多少小时？ 5.一个水池，甲、乙两管合注需6小时注满，乙管单独排空需15小时。求甲管单独注满需几小时？ 6.甲、乙两管同时注水需10小时注满，甲、丙同时注水需12小时注满，乙、丙同时注水需15小时注满。求三管同时注水需几小时？ 模拟赛场 1.甲注水需12小时，乙需18小时，丙排水需24小时。三管同时打开，多少小时可以注满？ 2.按“甲注2小时，乙排1小时”循环，甲注满需18小时，乙排空需12小时。空池开始，多少小时后第一次注满？ 3.甲注水效率是乙的2倍，乙注满需30小时。丙排水效率是甲的 。三管同时打开，多少小时可以注满？ 4.甲、乙、丙三管按“甲注1小时，乙注1小时，丙排1小时”循环。甲需10小时注满，乙需15小时，丙需30小时排空。问多少小时后第一次注满？ 5.甲、乙两管合注需8小时注满，乙、丙合排需12小时排空，甲、丙合注需6小时注满。求三管同时注水需几小时？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《水管问题（注水与排水）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，水是生命之源，而与水相关的工程问题也常常出现在数学世界中。今天，我们将一起走进一个既贴近生活又充满思维挑战的奥数专题——水管问题（注水与排水）。 这类问题模拟的是水池、水箱等容器中，通过进水管注水、出水管排水，共同作用下完成充水或排空的过程。它不仅是对“工作效率”概念的延伸，更是对正负抵消、合作效率、时间与总量关系的综合考查。看似简单，实则暗藏玄机：当注水与排水同时进行时，如何判断水位变化？多个水管交替工作时，如何计算总时间？ 本讲义将从基础出发，层层递进，通过典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题模型，掌握“设总量、算效率、列方程、析过程”的核心方法。希望你在学习中做到：理解题意、画图辅助、列表分析、精准计算。相信通过这份讲义的学习，你不仅能轻松应对各类水管问题，还能提升逻辑思维与实际应用能力，为小升初数学竞赛打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题的基本模型迁移 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 在水管问题中，“工作总量”通常指水池的总容量，可设为“1”或最小公倍数 注水管效率 = 排水管效率 = （注意：排水为“负工作”） （2）合作效率的计算 多个注水管同时工作：效率相加 例如：甲管注满需6小时，乙管需8小时，则合注效率为 注水与排水同时进行：效率相减（排水效率为负） 例如：甲注水 ，乙排水 ，则净效率为 （3）核心解题步骤 第一步：设水池总容量为“1”或最小公倍数（便于计算） 第二步：分别计算各水管的注水或排水效率 第三步：根据工作方式（同时、交替、分段）计算净效率或分段工作量 第四步：用“总量 ÷ 净效率”求时间，或分段累加时间 第五步：检查是否溢出、是否排空、是否有空池开始等细节 （4）关键技巧与注意事项 若题目未说明总容量，可设为效率分母的最小公倍数（避免分数运算） 注水效率为正，排水效率为负，注意符号 当注水与排水同时进行时，若排水效率大于注水效率，则水位下降 交替工作问题需分析“周期”与“余数” 实际问题中，水池不能“负水量”，也不能“超满”，需注意边界条件 2、常见题型分类 （1）同时注水或排水：多个水管同时工作，求合注或合排时间 （2）注水与排水同时进行：一边注水一边排水，求满池时间 （3）交替工作：如甲注1小时、乙排1小时，循环进行 （4）分段过程：先单独注水，再同时排水，再合注等复合过程 3、解题策略与技巧 （1）设数法：设总容量为时间的最小公倍数，化分数为整数 （2）列表法：列出每阶段的工作效率、时间、工作量 （3）画图法：用线段图表示水位变化过程 （4）周期分析法：用于交替工作问题，先算周期净变化 例题讲解 【例题1】（基础注水问题） 题目：一个水池，甲管单独注水需12小时注满，乙管单独注水需18小时注满。若两管同时打开，多少小时可以注满？ 解析： 设水池总容量为1 甲效率 = ，乙效率 = 合注效率 = 注满时间 = 小时 换算为小时分钟：0.2小时 = 12分钟，即 7小时12分钟 答：两管同时打开，7.2小时（或7小时12分钟）可以注满。 【跟踪训练】 题目：甲管单独注满水池需15小时，乙管需10小时。两管同时注水，多少小时可以注满？ 答案及解析 甲效率 = ，乙效率 = 合注效率 = 时间 = 小时 答：6小时可以注满。 【例题2】（注水与排水同时进行） 题目：一个水池，甲管注水需20小时注满，乙管排水需30小时排空。若水池为空，同时打开甲管注水和乙管排水，多少小时可以注满？ 解析： 设总量为1 甲注水效率 = ，乙排水效率 = 净效率 = 注满时间 = 小时 答：同时打开，60小时可以注满。 【跟踪训练】 题目：甲管注满需24小时，乙管排空需18小时。空池同时开甲注水、乙排水，多少小时后水池被注满？ 答案及解析 注水效率 = ，排水效率 = 净效率 = 净效率为负，说明水位下降，永远无法注满 答：水池无法注满，反而会逐渐排空。 【例题3】（交替工作问题） 题目：一个水池，甲管注水需12小时注满，乙管排水需18小时排空。现按“甲注水1小时，乙排水1小时”的顺序交替进行。水池初始为空，问多少小时后水池第一次被注满？ 解析： 设总量为36（12和18的最小公倍数） 甲效率 = 3（36÷12），乙排水效率 = 2（36÷18） 一个周期（2小时）：注3，排2 → 净增1 经过n个周期后，水量为n×1 当水量接近36时，需单独分析最后阶段 36 ÷ 1 = 36 → 36个周期后水量为36？但注意：每个周期净增1，但最后一步可能是甲注水直接注满，无需乙排水 关键点：当某次甲注水后水量达到或超过36，即完成 每周期净增1，经过35个周期（70小时），水量 = 35 第71小时：甲注水3 → 水量 = 35 + 3 = 38 > 36，但只需注1即可满 注1需时间 = 小时 总时间 = 70 + = 70.333... 小时 答：70 小时（即70小时20分钟）后水池第一次被注满。 【跟踪训练】 题目：甲注水需15小时，乙排水需10小时，按“甲注1小时，乙排1小时”交替进行，空池开始。问多少小时后水池第一次被注满？ 答案及解析 设总量为30（15和10的最小公倍数） 甲效率 = 2，乙排水效率 = 3 周期净变化 = 2 - 3 = -1（每2小时减少1） 水位下降，永远无法注满 答：水池无法注满，反而会逐渐排空。 【例题4】（分段过程问题） 题目：一个水池，甲管注水需10小时注满，乙管排水需15小时排空。先单独开甲管注水2小时，然后同时开甲、乙两管。问从开始到注满共需多少小时？ 解析： 设总量为1 甲效率 = ，乙排水效率 = 第一阶段（2小时）：甲单独注水 注水量 = 剩余水量 = 第二阶段：甲注乙排，净效率 = 注满剩余部分时间 = 小时 总时间 = 2 + 24 = 26 小时 答：共需 26小时。 【跟踪训练】 题目：甲管注水需12小时，乙管排水需18小时。先开甲管注水3小时，然后同时开甲、乙两管。问共需多少小时注满？ 答案及解析 设总量为1 甲效率 = ，乙效率 = 3小时注水量 = 剩余 = 净效率 = 时间 = 小时 总时间 = 3 + 27 = 30 小时 答：共需 30小时。 提升练习 1.甲管注满需8小时，乙管需12小时，两管同时注水，多少小时可以注满？ 2.甲注水需20小时，乙排水需25小时，同时打开，多少小时可以注满？ 3.甲注水需9小时，乙排水需6小时，按“甲注1小时，乙排1小时”交替进行，空池开始。问能否注满？若能，需多少小时？ 4.甲注水需15小时，乙排水需10小时，先单独开甲3小时，然后同时开甲、乙。问共需多少小时？ 5.一个水池，甲、乙两管合注需6小时注满，乙管单独排空需15小时。求甲管单独注满需几小时？ 6.甲、乙两管同时注水需10小时注满，甲、丙同时注水需12小时注满，乙、丙同时注水需15小时注满。求三管同时注水需几小时？ 答案及解析 1.解析： ，时间 = 小时 答：4.8小时 2.解析： ，时间 = 100 小时 答：100小时 3.解析：设总量为18，甲效率=2，乙排水=3，周期净增=2-3=-1，水位下降 答：无法注满 4.解析：3小时注 ，剩余 ，净效率 ，净效率为负，无法注满 答：无法注满 5.解析：设总量1，甲+乙效率 = ，乙排水效率 = ，则甲效率 = ，时间 = 小时 答： 小时 6.解析：设甲、乙、丙效率分别为a、b、c a + b = ，a + c = ，b + c = 三式相加：2(a + b + c) = → a + b + c = ，时间 = 8 小时 答：8小时 模拟赛场 1.甲注水需12小时，乙需18小时，丙排水需24小时。三管同时打开，多少小时可以注满？ 2.按“甲注2小时，乙排1小时”循环，甲注满需18小时，乙排空需12小时。空池开始，多少小时后第一次注满？ 3.甲注水效率是乙的2倍，乙注满需30小时。丙排水效率是甲的 。三管同时打开，多少小时可以注满？ 4.甲、乙、丙三管按“甲注1小时，乙注1小时，丙排1小时”循环。甲需10小时注满，乙需15小时，丙需30小时排空。问多少小时后第一次注满？ 5.甲、乙两管合注需8小时注满，乙、丙合排需12小时排空，甲、丙合注需6小时注满。求三管同时注水需几小时？ 答案及解析 1.解析：效率和 = ，时间 = 小时 答： 小时 2.解析：设总量36，甲效率=2，乙排水=3。每周期（3小时）：注4，排3 → 净增1。35个周期后水量35，第36小时甲注2 → 满。总时间 = 35×3 + 1 = 106 小时 答：106小时 3.解析：乙效率 = ，甲 = ，丙排水 = ，净效率 = ，时间 = 小时 答： 小时 4.解析：设总量30，甲效率=3，乙=2，丙排水=1。周期3小时：注3+2-1=4。7个周期（21小时）注28，第22小时甲注3 → 31 > 30，只需注2，时间 = 小时。总时间 = 21 + = 小时 答： 小时 5.解析：设效率 a + b = ，b + c = （排空），a + c = 三式相加：2a + 2b + 2c = → a + b + c = ，时间 = 小时 答：9.6小时 学科网（北京）股份有限公司 $