小升初奥数培优：周期工程问题（轮流工作）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《周期工程问题（轮流工作）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握的工程问题基础上，今天我们将进入一个更加贴近实际、更具思维挑战的专题——周期工程问题之“轮流工作”。这类问题模拟的是现实生活中常见的协作模式：多人按顺序、周期性地完成任务，如甲做一天、乙做一天，循环推进，直到工程结束。 它不仅考查你对“工作总量=工作效率×工作时间”这一基本关系的理解，更强调对周期规律、余数处理、逻辑推理的综合运用能力。看似复杂，但只要掌握“找周期、算总量、析余数”三大核心步骤，就能化繁为简，轻松破解。 本讲义将从基础出发，循序渐进，通过典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题模型，提升数学思维品质。希望你在学习中做到：画图辅助、列表分析、归纳周期、精准计算。相信通过这份讲义的学习，你不仅能攻克“轮流工作”难题，还能为小升初数学竞赛打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题基本模型 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 通常将总工程量设为“1”（单位“1”思想） 个人工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间 例如：甲单独做需12天，则甲的工作效率为 （2）轮流工作问题的本质 当多人按固定顺序轮流工作（如甲→乙→甲→乙……），每轮完成的工作量是固定的，形成“周期”。 每轮工作时间：各人工作时间之和（通常每人一天） 每轮完成工作量：各人效率 × 工作时间之和 总工作量 = 完整周期数 × 每周期工作量 + 剩余工作量 （3）核心解题步骤 第一步：确定工作周期（谁先谁后，周期长度） 第二步：计算每周期完成的工作量 第三步：用总工作量除以每周期工作量，得到完整周期数和余数 第四步：分析余数部分由谁完成，需要多少时间 第五步：总时间 = 完整周期时间 + 余数部分时间 （4）关键技巧与注意事项 若题目未说明总工作量，可设为“1”或效率分母的最小公倍数（便于计算） 注意“每人工作一天”是否等时，通常默认每天工作时间相同 余数部分要严格按照轮流顺序分配，不能跳过 有时最后一轮可能不需要完整周期，要具体分析 答案中的“天数”一般取完成工程的实际天数，若不足一天也按一天计算（除非特别说明可分段） 2、常见题型分类 （1）两人轮流，每人一天：最常见模型，周期为2天 （2）多人轮流，周期更长：如甲、乙、丙轮流，周期为3天 （3）不等时工作：如甲做2天，乙做1天，周期为3天 （4）结合休息日或间隔：如每工作2天休息1天，需考虑实际工作日（本讲义暂不拓展） 3、解题策略与技巧 （1）列表法：列出每轮工作量，便于观察规律 （2）设数法：设总工程量为效率分母的最小公倍数，避免分数运算 （3）画图法：用线段图表示工作进度 （4）余数分析法：重点分析“最后不足一个周期”的部分 例题讲解 【例题1】（基础轮流工作） 题目：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲、乙两人按甲先做一天、乙再做一天的顺序轮流工作。问这项工程共需多少天完成？ 解析： 设工作总量为1 甲效率 = ，乙效率 = 一个周期（2天）完成工作量： 计算完整周期数： → 完整6个周期 6个周期完成工作量： 剩余工作量： 第13天由甲做：甲一天做 ，而 ，所以甲做一天后还剩 第14天由乙做：乙效率 ，做 需要 天 总时间 = 6×2 + 1 + 0.25 = 13.25 天？但工程在第14天完成 更优解法（设数法）： 设总工作量为60（12和15的最小公倍数） 甲效率 = 5（60÷12），乙效率 = 4（60÷15） 一个周期（2天）完成：5 + 4 = 9 60 ÷ 9 = 6……6 → 完整6个周期，完成54，剩6 第13天甲做：5，剩1 第14天乙做：效率4，做1需 天 工程在第14天完成 答：共需 14天 完成。 【跟踪训练】 题目：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。甲、乙按甲先、乙后的顺序轮流工作，每天一人做一天。问共需多少天完成？ 答案与解析： 设总量为30（10和15最小公倍数） 甲效率 = 3，乙效率 = 2 周期完成量 = 3 + 2 = 5，周期2天 30 ÷ 5 = 6 → 正好6个周期 总时间 = 6 × 2 = 12 天 答：共需 12天。 【例题2】（余数处理） 题目：一项工程，甲做需18天，乙做需12天。甲、乙按甲先、乙后的顺序轮流工作。问第几天能完成？ 解析： 设总量为36（18和12最小公倍数） 甲效率 = 2，乙效率 = 3 周期完成量 = 2 + 3 = 5，周期2天 36 ÷ 5 = 7……1 → 7个周期完成35，剩1 第15天由甲做：甲一天做2 > 1，所以只需半天 总时间 = 14 + 0.5 = 14.5 天 → 第15天完成 答：第 15天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做工程需20天，乙需30天，按甲先乙后轮流工作。问共需多少天完成？ 答案与解析： 设总量为60 甲效率 = 3，乙效率 = 2 周期完成 = 5，周期2天 60 ÷ 5 = 12 → 正好12个周期 总时间 = 24 天 答： 24天。 【例题3】（三人轮流） 题目：甲、乙、丙三人做一项工程，单独做分别需10天、15天、30天。现按甲、乙、丙顺序每人轮流做一天。问几天完成？ 解析： 设总量为30 甲效率 = 3，乙 = 2，丙 = 1 周期（3天）完成 = 3 + 2 + 1 = 6 30 ÷ 6 = 5 → 正好5个周期 总时间 = 5 × 3 = 15 天 答： 15天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲、乙、丙单独做工程分别需12天、18天、36天，按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 答案与解析： 设总量为36 甲效率 = 3，乙 = 2，丙 = 1 周期完成 = 6，周期3天 36 ÷ 6 = 6 → 6个周期 总时间 = 18 天 答： 18天。 【例题4】（不等时工作） 题目：一项工程，甲做需24天，乙做需18天。现按“甲做2天，乙做1天”顺序循环。问几天完成？ 解析： 设总量为72 甲效率 = 3，乙效率 = 4 一个周期（3天）完成：3×2 + 4×1 = 6 + 4 = 10 72 ÷ 10 = 7……2 → 7个周期完成70，剩2 下一轮：甲做第1天，做3 > 2，所以只需 天 总时间 = 7×3 + = 21 + 0.67 ≈ 21.67 天 → 第22天完成 答：第 22天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲做工程需30天，乙需20天，按“甲做1天，乙做2天”循环。问共需几天？ 答案与解析： 设总量为60 甲效率 = 2，乙效率 = 3 周期（3天）完成：2×1 + 3×2 = 2 + 6 = 8 60 ÷ 8 = 7……4 7个周期完成56，剩4 下一轮：甲做1天，做2，剩2 乙做：效率3，做2需 天 总时间 = 21 + 1 + = 22.67 天 → 第23天完成 答：第 23天 完成。 提升练习 1.一项工程，甲做需20天，乙需12天，按“乙先做1天，甲做1天”循环。问第几天完成？ 2.甲、乙、丙单独做分别需6天、12天、18天，按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 3.甲做需25天，乙需15天，按“甲做2天，乙做1天”循环。问几天完成？ 答案及解析 1.12天（设60，甲3，乙5，周期8，7周期剩4，甲做1天剩1，乙做 天，总15天？需重算） 设60，甲3，乙5，周期8，60÷8=7…4，第15天乙做，需 天 → 第16天完成？ 实际：7周期14天，剩4，第15天甲做3，剩1，第16天乙做，需 天 → 第16天完成 答案：16天 2.9天（设18，甲3，乙1.5，丙1，周期5.5，18÷5.5=3…1.5，第10天乙做1.5，刚好完成 → 10天？需统一） 更好设36：甲6，乙3，丙2，周期11，36÷11=3…3，第10天甲做6>3，需0.5天 → 第10.5天 → 第11天完成 答案：11天 3.设150，甲6，乙10，周期：6×2+10=22，150÷22=6…18，下一轮甲做2天12，剩6，甲还需1天？甲做2天为单位，但可中断 实际：6周期18天，剩18，甲做第1天6，剩12，甲做第2天6，剩6，乙做1天10>6，需0.6天 → 总18+2+0.6=20.6 → 第21天 答案：21天 模拟赛场 1.甲、乙、丙效率比为3:2:1，单独做总工程需30天。现按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 2.一项工程，甲做需24天，乙需18天，按“甲做1天，乙做2天”循环。问几天完成？ 3.甲、乙轮流工作，甲效率为 ，乙为 ，总工程量为1。若甲先做，问完成时共用多少天？ 4.甲、乙、丙三人按顺序轮流工作，每人做一天。甲做3天可完成工程的 ，乙做5天完成 ，丙效率未知。若6个周期后工程完成，求丙单独做需几天？ 5.一项工程，甲、乙按“甲做2天，乙做1天”循环工作。甲效率是乙的1.5倍，共用21天完成。求乙单独做需几天？ 答案及解析 1.设总量30，甲效率3，乙2，丙1，周期6，30÷6=5 → 15天 2.设72，甲3，乙4，周期：3×1 + 4×2 = 11，72÷11=6…6，下一轮甲做1天3，剩3，乙做 天 → 总18+1+0.75=19.75 → 第20天 3.周期 ，1÷ =7.2 → 7周期14天，剩 ，甲做需 天 → 第15天 4.甲效率： ，乙： ，6周期完成1，则每周期完成 ，甲+乙+丙= ，丙= → 丙单独做需15天 5.设乙效率x，甲1.5x，周期：1.5x×2 + x×1 = 4x，总时间21天 → 7个周期（21÷3=7），完成7×4x=28x=1 → x= → 乙单独做需28天 学科网（北京）股份有限公司 $ 《周期工程问题（轮流工作）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握的工程问题基础上，今天我们将进入一个更加贴近实际、更具思维挑战的专题——周期工程问题之“轮流工作”。这类问题模拟的是现实生活中常见的协作模式：多人按顺序、周期性地完成任务，如甲做一天、乙做一天，循环推进，直到工程结束。 它不仅考查你对“工作总量=工作效率×工作时间”这一基本关系的理解，更强调对周期规律、余数处理、逻辑推理的综合运用能力。看似复杂，但只要掌握“找周期、算总量、析余数”三大核心步骤，就能化繁为简，轻松破解。 本讲义将从基础出发，循序渐进，通过典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题模型，提升数学思维品质。希望你在学习中做到：画图辅助、列表分析、归纳周期、精准计算。相信通过这份讲义的学习，你不仅能攻克“轮流工作”难题，还能为小升初数学竞赛打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题基本模型 工作总量 = 工作效率 × 工作时间 通常将总工程量设为“1”（单位“1”思想） 个人工作效率 = 1 ÷ 单独完成所需时间 例如：甲单独做需12天，则甲的工作效率为 （2）轮流工作问题的本质 当多人按固定顺序轮流工作（如甲→乙→甲→乙……），每轮完成的工作量是固定的，形成“周期”。 每轮工作时间：各人工作时间之和（通常每人一天） 每轮完成工作量：各人效率 × 工作时间之和 总工作量 = 完整周期数 × 每周期工作量 + 剩余工作量 （3）核心解题步骤 第一步：确定工作周期（谁先谁后，周期长度） 第二步：计算每周期完成的工作量 第三步：用总工作量除以每周期工作量，得到完整周期数和余数 第四步：分析余数部分由谁完成，需要多少时间 第五步：总时间 = 完整周期时间 + 余数部分时间 （4）关键技巧与注意事项 若题目未说明总工作量，可设为“1”或效率分母的最小公倍数（便于计算） 注意“每人工作一天”是否等时，通常默认每天工作时间相同 余数部分要严格按照轮流顺序分配，不能跳过 有时最后一轮可能不需要完整周期，要具体分析 答案中的“天数”一般取完成工程的实际天数，若不足一天也按一天计算（除非特别说明可分段） 2、常见题型分类 （1）两人轮流，每人一天：最常见模型，周期为2天 （2）多人轮流，周期更长：如甲、乙、丙轮流，周期为3天 （3）不等时工作：如甲做2天，乙做1天，周期为3天 （4）结合休息日或间隔：如每工作2天休息1天，需考虑实际工作日（本讲义暂不拓展） 3、解题策略与技巧 （1）列表法：列出每轮工作量，便于观察规律 （2）设数法：设总工程量为效率分母的最小公倍数，避免分数运算 （3）画图法：用线段图表示工作进度 （4）余数分析法：重点分析“最后不足一个周期”的部分 例题讲解 【例题1】（基础轮流工作） 题目：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲、乙两人按甲先做一天、乙再做一天的顺序轮流工作。问这项工程共需多少天完成？ 解析： 设工作总量为1 甲效率 = ，乙效率 = 一个周期（2天）完成工作量： 计算完整周期数： → 完整6个周期 6个周期完成工作量： 剩余工作量： 第13天由甲做：甲一天做 ，而 ，所以甲做一天后还剩 第14天由乙做：乙效率 ，做 需要 天 总时间 = 6×2 + 1 + 0.25 = 13.25 天？但工程在第14天完成 更优解法（设数法）： 设总工作量为60（12和15的最小公倍数） 甲效率 = 5（60÷12），乙效率 = 4（60÷15） 一个周期（2天）完成：5 + 4 = 9 60 ÷ 9 = 6……6 → 完整6个周期，完成54，剩6 第13天甲做：5，剩1 第14天乙做：效率4，做1需 天 工程在第14天完成 答：共需 14天 完成。 【跟踪训练】 题目：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。甲、乙按甲先、乙后的顺序轮流工作，每天一人做一天。问共需多少天完成？ 【例题2】（余数处理） 题目：一项工程，甲做需18天，乙做需12天。甲、乙按甲先、乙后的顺序轮流工作。问第几天能完成？ 解析： 设总量为36（18和12最小公倍数） 甲效率 = 2，乙效率 = 3 周期完成量 = 2 + 3 = 5，周期2天 36 ÷ 5 = 7……1 → 7个周期完成35，剩1 第15天由甲做：甲一天做2 > 1，所以只需半天 总时间 = 14 + 0.5 = 14.5 天 → 第15天完成 答：第 15天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做工程需20天，乙需30天，按甲先乙后轮流工作。问共需多少天完成？ 【例题3】（三人轮流） 题目：甲、乙、丙三人做一项工程，单独做分别需10天、15天、30天。现按甲、乙、丙顺序每人轮流做一天。问几天完成？ 解析： 设总量为30 甲效率 = 3，乙 = 2，丙 = 1 周期（3天）完成 = 3 + 2 + 1 = 6 30 ÷ 6 = 5 → 正好5个周期 总时间 = 5 × 3 = 15 天 答： 15天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲、乙、丙单独做工程分别需12天、18天、36天，按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 【例题4】（不等时工作） 题目：一项工程，甲做需24天，乙做需18天。现按“甲做2天，乙做1天”顺序循环。问几天完成？ 解析： 设总量为72 甲效率 = 3，乙效率 = 4 一个周期（3天）完成：3×2 + 4×1 = 6 + 4 = 10 72 ÷ 10 = 7……2 → 7个周期完成70，剩2 下一轮：甲做第1天，做3 > 2，所以只需 天 总时间 = 7×3 + = 21 + 0.67 ≈ 21.67 天 → 第22天完成 答：第 22天 完成。 【跟踪训练】 题目：甲做工程需30天，乙需20天，按“甲做1天，乙做2天”循环。问共需几天？ 提升练习 1.一项工程，甲做需20天，乙需12天，按“乙先做1天，甲做1天”循环。问第几天完成？ 2.甲、乙、丙单独做分别需6天、12天、18天，按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 3.甲做需25天，乙需15天，按“甲做2天，乙做1天”循环。问几天完成？ 模拟赛场 1.甲、乙、丙效率比为3:2:1，单独做总工程需30天。现按甲、乙、丙顺序轮流工作。问共需几天？ 2.一项工程，甲做需24天，乙需18天，按“甲做1天，乙做2天”循环。问几天完成？ 3.甲、乙轮流工作，甲效率为 ，乙为 ，总工程量为1。若甲先做，问完成时共用多少天？ 4.甲、乙、丙三人按顺序轮流工作，每人做一天。甲做3天可完成工程的 ，乙做5天完成 ，丙效率未知。若6个周期后工程完成，求丙单独做需几天？ 5.一项工程，甲、乙按“甲做2天，乙做1天”循环工作。甲效率是乙的1.5倍，共用21天完成。求乙单独做需几天？ 学科网（北京）股份有限公司 $