小升初奥数培优：效率变化问题-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《效率变化问题》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，效率不仅是一个生活中的常见词汇，更是解决实际问题的重要工具。我们常常会遇到这样的情况：一个人做一项工作需要若干天，中途加入帮手、改变工作方式，或者因为疲劳导致速度变慢……这些都会引起工作效率的变化。这类问题就是我们今天要深入学习的——效率变化问题。 它属于工程问题的进阶类型，既考察你对“工作总量=工作效率×工作时间”这一基本模型的理解，更强调对动态过程的分析能力：效率何时变？怎么变？变化前后如何衔接？是否分段计算？这些问题都需要我们细心审题、合理建模、精准计算。 本讲义将从基础出发，通过典型例题帮助你掌握“分段分析法”“设数法”“比例思维”等核心解题策略。希望你在学习过程中做到：读懂题意、抓住关键节点、画出时间线、列出各阶段效率与工作量。相信通过系统训练，你能轻松应对各种复杂情境下的效率变化问题，提升综合解题能力，为小升初奥数竞赛添砖加瓦！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题三要素 工作总量：通常设为“1”或最小公倍数（便于计算） 工作效率：单位时间内完成的工作量，如“每天完成 ” 工作时间：完成某项任务所需的时间 关系式： （2）效率变化的常见情形 中途加入人员或机器：总效率提高 有人请假或设备故障：效率降低 前后速度不同：如前一半时间快，后一半时间慢 按比例增减效率：如效率提高 或降低 交替工作或轮班制：不同时间段效率不同 （3）解题核心步骤 第一步：明确总工作量（设为1或公倍数） 第二步：划分工作阶段，找出每个阶段的效率和时间 第三步：分别计算各阶段完成的工作量 第四步：根据总工作量列方程或累加求解 第五步：检验结果是否合理（时间、效率、总量匹配） （4）关键技巧与注意事项 设数法：当效率用分数表示时，设总工作量为分母的最小公倍数，化繁为简 分段法：将整个过程按效率变化点分成若干段，逐段分析 比例法：效率变化可用倍数关系处理，如“效率提高 ”即变为原来的 倍 时间单位统一：注意“小时”“天”“分钟”的换算 避免遗漏阶段：特别注意“最后阶段可能不满一个周期” 2、典型模型分类 （1）前后效率不同型：同一人或团队，不同时段效率不同 （2）中途增减人员型：开始一人做，后来加入帮手 （3）效率增减百分比型：如效率提高20%、降低 等 （4）交替轮班型：甲做一段时间，乙接替，效率不同 3、解题策略总结 （1）画时间轴：标出效率变化的时间节点 （2）列表格：列出每阶段的效率、时间、工作量 （3）设未知数：对未知时间设x，列方程求解 （4）逆向思维：已知总时间求效率变化点，可反推 例题讲解 【例题1】（前后效率不同） 题目：一项工程，原计划每天完成 ，做了4天后，效率提高了 ，剩下的工程需要多少天完成？ 解析： 总工作量设为1 前4天效率 = ，完成工作量 = 剩余工作量 = 效率提高 ，即新效率 = 剩余时间 = 天 答：剩下的工程需要 6天 完成。 【跟踪训练】 题目：一项任务，原计划每天完成 ，做了5天后，效率提高了 ，剩下的任务需要多少天完成？ 答案及解析 前5天完成： 剩余： 新效率 = 时间 = 天 答：需要 8天 完成。 【例题2】（中途加入人员） 题目：甲单独完成一项工程需20天，乙单独需30天。工程开始由甲单独做，做了10天后乙加入，两人合作完成剩余部分。问共用了多少天？ 解析： 设总量为1 甲效率 = ，乙效率 = 甲独做10天完成： 剩余： 合作效率 = 合作时间 = 天 总时间 = 10 + 6 = 16 天 答：共用了 16天。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需24天，乙单独做需18天。甲先做6天，然后两人合作。问共需多少天完成？ 答案及解析 甲效率 = ，乙效率 = 甲6天完成： 剩余： 合作效率 = 合作时间 = 天 总时间 = 天 ≈ 13.71天 答：共需 天（或约13.71天）。 【例题3】（效率降低问题） 题目：一项工程，预计15天完成。工作3天后，因设备故障，工作效率降低了 ，问完成这项工程共需多少天？ 解析： 原效率 = 前3天完成： 剩余： 效率降低 ，即变为原来的 新效率 = 剩余时间 = 天 总时间 = 3 + 16 = 19 天 答：共需 19天。 【跟踪训练】 题目：一项任务原计划12天完成。做了4天后，效率降低了 ，问共需多少天完成？ 答案及解析 原效率 = 前4天完成： 剩余： 新效率 = 时间 = 天 总时间 = 4 + 10 = 14 天 答：共需 14天。 【例题4】（交替轮班型） 题目：甲单独做一项工程需10天，乙需15天。现按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始。问多少天后工程完成？ 解析： 设总量为30（10和15的最小公倍数） 甲效率 = 3，乙效率 = 2 一个周期（2天）完成：3 + 2 = 5 总量30 ÷ 5 = 6个周期 → 6 × 2 = 12天 恰好完成，无需额外时间 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需12天，乙需18天。按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始。问多少天完成？ 答案及解析 设总量为36（12和18的最小公倍数） 甲效率 = 3，乙效率 = 2 一个周期（2天）完成：3 + 2 = 5 36 ÷ 5 = 7 余 1 → 7个周期完成35，剩余1 第15天：甲做，效率3，完成剩余1需 天 总时间 = 14 + = 天 答：共需 天。 提升练习 1.一项工程，原计划每天完成 ，做了6天后，效率提高 ，剩下的需多少天完成？ 2.甲单独做需25天，乙需20天。甲先做5天，然后两人合作。共需多少天？ 3.一项任务原计划10天完成，做了3天后效率降低 ，共需多少天？ 4.甲需15天，乙需10天，按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始，多少天完成？ 答案及解析 1. 前6天完成： 剩余： 新效率 = 时间 = 天 答：10天 2. 甲5天完成： 剩余： 合作效率 = 时间 = 天 总时间 = 天 答： 天 3. 前3天完成： 剩余： 新效率 = 时间 = 天 总时间 = 3 + 10.5 = 13.5 天 答：13.5天 4. 设总量30，甲效率2，乙效率3 周期完成：2 + 3 = 5，需6个周期 → 12天 答：12天 模拟赛场 1.一项工程，甲单独做需16天，乙需24天。甲先做4天，然后乙加入合作。共需多少天完成？ 2.原计划每天完成 ，做了7天后效率提高 ，剩下的需多少天？ 3.甲效率为 ，乙为 ，按“甲做2天，乙做1天”循环，从甲开始。多少天完成？ 4.一项任务原计划12天完成，做了4天后效率降低 ，共需多少天？ 5.甲单独做需18天，乙需12天。甲做3天后乙加入，但乙只工作5天就离开，之后甲单独完成。共需多少天？ 6.某工程，甲做5天后效率提高 ，结果比原计划提前3天完成。原计划多少天？ 答案及解析 1. 甲4天完成： ，剩余 合作效率： 时间： 天 总：4 + 7.2 = 11.2 天 → 天 2. 前7天完成： ，剩余 新效率： 时间： 天 3. 设总量60，甲效率3，乙效率2 周期（3天）完成：3×2 + 2×1 = 8 60 ÷ 8 = 7 余 4 → 7周期（21天），剩余4 第22天甲做：完成3，剩1；第23天甲做：完成1需 天 → 总 天 4. 前4天完成： ，剩余 新效率： 时间： ，总：4 + 10.67 = 14.67 天 5. 甲3天： ，乙加入5天：合作效率 ，完成 总完成： ，剩余 甲单独： 天 总：3 + 5 + 2.5 = 10.5 天 6. 设原计划x天，总工作量1 前5天完成： 剩余时间：x - 5 - 3 = x - 8 天 新效率： 方程： 解得：x = 20 答：原计划20天 学科网（北京）股份有限公司 $ 《效率变化问题》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，效率不仅是一个生活中的常见词汇，更是解决实际问题的重要工具。我们常常会遇到这样的情况：一个人做一项工作需要若干天，中途加入帮手、改变工作方式，或者因为疲劳导致速度变慢……这些都会引起工作效率的变化。这类问题就是我们今天要深入学习的——效率变化问题。 它属于工程问题的进阶类型，既考察你对“工作总量=工作效率×工作时间”这一基本模型的理解，更强调对动态过程的分析能力：效率何时变？怎么变？变化前后如何衔接？是否分段计算？这些问题都需要我们细心审题、合理建模、精准计算。 本讲义将从基础出发，通过典型例题帮助你掌握“分段分析法”“设数法”“比例思维”等核心解题策略。希望你在学习过程中做到：读懂题意、抓住关键节点、画出时间线、列出各阶段效率与工作量。相信通过系统训练，你能轻松应对各种复杂情境下的效率变化问题，提升综合解题能力，为小升初奥数竞赛添砖加瓦！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）工程问题三要素 工作总量：通常设为“1”或最小公倍数（便于计算） 工作效率：单位时间内完成的工作量，如“每天完成 ” 工作时间：完成某项任务所需的时间 关系式： （2）效率变化的常见情形 中途加入人员或机器：总效率提高 有人请假或设备故障：效率降低 前后速度不同：如前一半时间快，后一半时间慢 按比例增减效率：如效率提高 或降低 交替工作或轮班制：不同时间段效率不同 （3）解题核心步骤 第一步：明确总工作量（设为1或公倍数） 第二步：划分工作阶段，找出每个阶段的效率和时间 第三步：分别计算各阶段完成的工作量 第四步：根据总工作量列方程或累加求解 第五步：检验结果是否合理（时间、效率、总量匹配） （4）关键技巧与注意事项 设数法：当效率用分数表示时，设总工作量为分母的最小公倍数，化繁为简 分段法：将整个过程按效率变化点分成若干段，逐段分析 比例法：效率变化可用倍数关系处理，如“效率提高 ”即变为原来的 倍 时间单位统一：注意“小时”“天”“分钟”的换算 避免遗漏阶段：特别注意“最后阶段可能不满一个周期” 2、典型模型分类 （1）前后效率不同型：同一人或团队，不同时段效率不同 （2）中途增减人员型：开始一人做，后来加入帮手 （3）效率增减百分比型：如效率提高20%、降低 等 （4）交替轮班型：甲做一段时间，乙接替，效率不同 3、解题策略总结 （1）画时间轴：标出效率变化的时间节点 （2）列表格：列出每阶段的效率、时间、工作量 （3）设未知数：对未知时间设x，列方程求解 （4）逆向思维：已知总时间求效率变化点，可反推 例题讲解 【例题1】（前后效率不同） 题目：一项工程，原计划每天完成 ，做了4天后，效率提高了 ，剩下的工程需要多少天完成？ 解析： 总工作量设为1 前4天效率 = ，完成工作量 = 剩余工作量 = 效率提高 ，即新效率 = 剩余时间 = 天 答：剩下的工程需要 6天 完成。 【跟踪训练】 题目：一项任务，原计划每天完成 ，做了5天后，效率提高了 ，剩下的任务需要多少天完成？ 【例题2】（中途加入人员） 题目：甲单独完成一项工程需20天，乙单独需30天。工程开始由甲单独做，做了10天后乙加入，两人合作完成剩余部分。问共用了多少天？ 解析： 设总量为1 甲效率 = ，乙效率 = 甲独做10天完成： 剩余： 合作效率 = 合作时间 = 天 总时间 = 10 + 6 = 16 天 答：共用了 16天。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需24天，乙单独做需18天。甲先做6天，然后两人合作。问共需多少天完成？ 【例题3】（效率降低问题） 题目：一项工程，预计15天完成。工作3天后，因设备故障，工作效率降低了 ，问完成这项工程共需多少天？ 解析： 原效率 = 前3天完成： 剩余： 效率降低 ，即变为原来的 新效率 = 剩余时间 = 天 总时间 = 3 + 16 = 19 天 答：共需 19天。 【跟踪训练】 题目：一项任务原计划12天完成。做了4天后，效率降低了 ，问共需多少天完成？ 【例题4】（交替轮班型） 题目：甲单独做一项工程需10天，乙需15天。现按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始。问多少天后工程完成？ 解析： 设总量为30（10和15的最小公倍数） 甲效率 = 3，乙效率 = 2 一个周期（2天）完成：3 + 2 = 5 总量30 ÷ 5 = 6个周期 → 6 × 2 = 12天 恰好完成，无需额外时间 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需12天，乙需18天。按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始。问多少天完成？ 提升练习 1.一项工程，原计划每天完成 ，做了6天后，效率提高 ，剩下的需多少天完成？ 2.甲单独做需25天，乙需20天。甲先做5天，然后两人合作。共需多少天？ 3.一项任务原计划10天完成，做了3天后效率降低 ，共需多少天？ 4.甲需15天，乙需10天，按“甲做1天，乙做1天”交替进行，从甲开始，多少天完成？ 模拟赛场 1.一项工程，甲单独做需16天，乙需24天。甲先做4天，然后乙加入合作。共需多少天完成？ 2.原计划每天完成 ，做了7天后效率提高 ，剩下的需多少天？ 3.甲效率为 ，乙为 ，按“甲做2天，乙做1天”循环，从甲开始。多少天完成？ 4.一项任务原计划12天完成，做了4天后效率降低 ，共需多少天？ 5.甲单独做需18天，乙需12天。甲做3天后乙加入，但乙只工作5天就离开，之后甲单独完成。共需多少天？ 6.某工程，甲做5天后效率提高 ，结果比原计划提前3天完成。原计划多少天？ 学科网（北京）股份有限公司 $