6.3.1 组合的定义（教学课件）数学沪教版选择性必修第二册

6.3 组合 第六章 计数原理 6.3.1组合的定义 沪教版选择性必修第二册·高二 学 习 目 标 1 2 理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系 会用组合知识解决一些简单的组合问题. 1 章前导读 1 章前导读 在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表，问共有多少种选择方案？ 这样的问题就是本节课要重点研究的问题． 问题　如何解决上述情境中的问题？ 提示　从5名候选人中选取3人担任代表，共有10种不同的选择方法． 2 新知探究 从甲、乙、丙3名学生中任选2名，一名担任正班长，另一名担任副班长共有多少种不同的排法？ 1 从甲、乙、丙3名学生中任选2名组成一个小队，共有多少种不同的选法？ 排列问题 不需要排序，不是排列问题 2 新知探究 若小唐在这一天上午、下午各参观游览一个地方，则共有多少种不同的参观游览的走法？ 2 若不计小唐在这一大参观游览的次序，则共有多少种不同的走法？ 排列问题 不需要排序，不是排列问题 上海是一座拥有文化底蕴和众多历史古迹的城市.小唐同学想从中华艺术宫、中共一大会址、上海大剧院、城隍庙四个地方中任选两地在某一天参观游览 3 举例分析 例1 给出下列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，____是排列问题，______不是排列问题． 3 举例分析 例1 解析　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，不是排列问题． (2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题． (3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同活动，没有顺序，不是排列问题． 答案　　(2)(3) (1)(4) 4 新知讲授 组合的定义： 从n个互不相同的元素中，取出m(m≤n)个不同元素 作为一组， 叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合. 从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，这个是共同点，但排列与元素的顺序______，而组合与元素的顺序______，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的，而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的． 思考：排列与组合之间的联系与区别 有关 无关 5 举例应用 例1 例3 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ 解　因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题. 5 举例应用 例1 例3 (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生. 解　由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题. 解　从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题. 5 举例应用 例1 例4 在A，B，C，D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； 5 举例应用 例1 例4 在A，B，C，D四位候选人中. (1)如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； 5 举例应用 例1 例4 (2)如果选举两人负责班级工作，共有几种选法？写出所有可能的选举结果； 5 举例应用 例1 例5 有5名教师，其中3名男教师，2名女教师． (1)现要从中选2名去参加会议，有__________种不同的选法； (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法； (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有__________种不同的选法． 5 举例应用 例1 例5 解析　(1)从5名教师中选2名去参加会议的选法种数，通过列举法可得共有10种不同的方法． (2)可把问题分两类情况： 第1类，选出的2名是男教师，有3种方法； 第2类，选出的2名是女教师，有1种方法． 根据分类加法计数原理，共有3＋1＝4(种)不同选法． (3)从3名男教师中选2名的选法有3种，从2名女教师中选2名的选法有1种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法3×1＝3(种)． 答案　(1)10　(2)4　(3)3 6 巩固练习 1．给出下列问题： ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？ ③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中是组合问题的是(　　) A.① B．② ③ C．①③ D．没有 解析　①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B. 6 巩固练习 2．有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有______种． 解析　从4名男医生中选2人，有6种选法．从3名女医生中选1人，有3种选法．由分步乘法计数原理知，所求选法种数为6×3＝18. 6 巩固练习 3.一个口袋内装有大小相同的4个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的5个球中取出3个球，取法种数是10. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是需要从4个白球中取出2个，取法种数是6. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从4个白球中取出3个球，取法种数是4. 课堂小结 排列的定义 方法归纳 数学抽象 逻辑推理 从n个互不相同的元素中，取出m（m≤n)个不同元素，组成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合. 7 补充强化练 1.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　) A．25种 B．35种 C．820种 D．840种 解析　分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；男生甲不参加，女生乙参加，只需在其余5人中选3人，有10种选法；两人都不参加，只需在其余5人中选4人，有5种选法．所以共有10＋10＋5＝25(种)不同的选派方案． 答案　A 7 补充强化练 2.某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求两类课程中各至少选1门，则不同的选法共有(　　) A．15种 B．30种 C．45种 D．90种 解析　分两类，A类选修课选1门，B选修课选2门，或者A类选修课选2门，B类选修课选1门，因此，共有3×10＋3×5＝45(种)选法． 答案　C 7 补充强化练 3．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有(　　) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 7 补充强化练 4．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成__________条线段；如果是有向线段，共有__________条． 感谢聆听! 沪教版选择性必修第二册·高二 解　从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. 解　从四位候选人中选举正、副班长各一人是排列问题，有A＝12(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. 解　从四位候选人中选举两人负责班级工作是组合问题，有6(种)选法，所有可能的选举结果：AB，AC，AD，BC，BD，CD. 解析　若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故在三个奇数中选二个共有3种选法，在两个偶数中选一个有2种选法，然后对三个数字全排列，共有3×2×Aeq \o\al(3,3)＝36(个)． 答案　A 解析　从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有10(条)．再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是Aeq \o\al(2,5)＝20.所以有向线段共有20条． 答案　10　20 $