6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质（题型专练）数学沪教版选择性必修第二册

6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质 题型一 排列数计算 1．若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 即9个连续正整数相乘，且最大值为， 故， 故选：D 2．不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，解得， 又，且n是正整数，则或． 故选：C. 3．若排列数，则 . 【答案】 【解析】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 4．已知为正整数，且，则 ． 【答案】6 【解析】，解得或（舍去）. 故答案为：6 5．关于正整数的方程是，则 ． 【答案】5 【解析】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 6．已知，则正整数 ． 【答案】6 【解析】因为，则，可得， 整理可得，解得或， 且，可得. 故答案为：6. 7．解关于正整数x的不等式． 【答案】 【解析】由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 8．已知n是正整数，且．求n的值． 【答案】15 【解析】因为，所以，即， 所以，即， 整理得，解得或（舍）. 9．解不等式：． 【答案】 【解析】由题意可知，且， 因为，，， 于是原不等式可化为，整理得，解得， 所以，所以原不等式的解集为． 10．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 题型二 排列数的性质 11．关于的不等式的解集是 . 【答案】/ 【解析】由排列数的性质得，且， 当时，，不符合题意，当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 综上可得，原不等式的解集为. 故答案为： 题型一 优先问题 12．若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有 种不同的排法. 【答案】96 【解析】因甲不能站排头，则先从除排头外的其他4个位置安排甲有4种排法，再在剩下的4个位置安排其他4名同学，有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种不同的排法. 故答案为：96. 13．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 【答案】504 【解析】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 14．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【解析】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 15．某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（    ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 【答案】D 【解析】根据题意，先安排甲，甲只能安排到周一或周二，有2种情况， 再安排乙，学生乙不能安排在周五，甲已经安排，则乙有3种情况， 最后对其他的3人分析，将其安排在剩余的3天即可，有种情况， 由分步计数原理，可得共有种情况. 故选：D. 16．用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 【答案】(1)300 (2)156 (3)237 【解析】（1）方法一  先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 方法二  当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）． 题型二 相邻与不相邻问题 17．行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 【答案】 【解析】将陈老师和姜老师捆绑到一起有种方法， 然后把他们看成一个大元素与剩下的名老师排成一排共有种方法， 则总共有种方法. 故答案为： 18．有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为 . 【答案】 【解析】先将个男孩排序，然后将个女孩插入个男孩形成的个空位中的个空位， 由插空法可知，不同的站法种数为. 故答案为：. 19．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 【答案】 【解析】2位女生不相邻，且3位男生相邻，则只能3位男生一起站中间，2名女生站两端， 故总的排法有, 故答案为：12 20．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是 . 【答案】144 【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种， 然后与“礼”､“数”进行排序，共有种， 最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种， 由于是分步进行，所以共有种. 故答案为：144. 21．将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有 种排法. 【答案】4 【解析】将两位红衣服同学视为一个元素，与蓝衣服的同学进行排列，此时相当于排列两个元素，则其排列数为， 复合元素内部的两位红衣服同学可交换位置，则排列数为，所以共种. 故答案为：4. 22．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 【答案】A 【解析】把甲、乙捆绑在一起，相当于一个人，再与剩下的五人一起全排列， 所以不同的安排方案共有种， 故选：A 23．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 【答案】B 【解析】环排问题线排策略，增加一个凳子． 九个凳子排一排，甲放一号和九号，中间剩余七个位置可选，再将其他五人放入中间有种． 甲、乙、丙两两不相邻．乙、丙只能放中间四空中共有种， 由分步计数原理得总数种． 故选：B. 24．这6位同学站成一排照相，要求与相邻，且排在的左边，与不相邻，则这6位同学站队的不同排法数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【解析】依题意：因与相邻，且排在的左边，把与看成一个元素与先排有种排法， 因与不相邻，把、采用插空法有种排法，则共有， 故选：A． 25．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】D 【解析】由题意知讲座只能安排在第一或最后一场，安排A有种排法， 因为讲座和必须相邻，所以安排BC及其余三场讲座共有种排法， 根据分步计数原理知共有种排法. 故选：D． 26．某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为 【答案】 【解析】先让甲、乙相邻共有种情况，再将甲、乙捆绑与其他三人排列共种情况， 所以甲、乙相邻共种情况. 甲、乙相邻且甲站在两端时：若甲在首位，则乙在第二位，其他三人全排列，有种排法；若甲在末位，则乙在倒数第二位，其他三人全排列，有种排法. 故共有种情况. 所以甲、乙相邻，且甲不站在两端，不同的排法种数为. 故答案为：. 题型三 定序问题 27．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 【答案】D 【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误. 故选：D. 28．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中： (1)若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ (2)若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【答案】(1)840 (2)35 【解析】（1）将1，3，5，7,先在七个位置上进行排列，即，再按次序填上2，4，6,即可，所以有. （2）从7个位置选4个，按次序放好1，3，5，7，即，剩下的按次序放2，4，6，即可，所以有. 题型四 直接法与间接法 29．某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 . 【答案】6 【解析】根据题意，体育不排在第一、四节，则体育必须排在第二、三节，则分两种情况讨论： 若体育排在第二节,语文可以排在第三、四节,有2种情况,数学、外语排在剩下的两节,有种情况， 则此种情况下共有种排课方案； 若体育排在第三节,语文可以排在第四节,有1种情况,数学、外语排在剩下的两节,有种情况， 则此种情况下共有种排课方案； 则共有种不同排课方案. 故答案为：6. 30．有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 【答案】24；12 【解析】四个停车位，停放四辆不同的车，是4个元素进行全排列，即种不同的停法； 其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，特殊元素先安排，再排其他的， 即种不同的停法. 31．用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 【答案】(1)240 (2)252 【解析】（1）第一类：组成的四位数不包含1，这样的四位数有：个； 第二类：组成的四位数包含1，若1在十位，则这样的四位数有：个； 若1在百位，则这样的四位数有：个. 根据分类加法计数原理，满足条件的四位数共有：个. （2）（方法一：间接法）用6个数字可以组成个，其中：1在各位的有个，6在千位的有个，1在个位且6在千位的有个，所以满足条件的四位数有：个. （方法二：直接法）第一类：若1在千位，这样的四位数有：个； 第二类：若1不在千位，则1可以在十位或百位，有2种排法，再从2，3，4，5中任选1个排在千位，有4种排法，剩余的两个位置可从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，这样的四位数有：个； 第三类：若组成的四位数不含1，则千位有4种排法，后三位有种排法，所以这样的四位数有：个. 所以满足条件的四位数有：个. 32．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【答案】119 【解析】由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种， 而球的编号与盒子编号全相同只有1种， 所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种. 33．互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 【答案】48 【解析】设， 由，可得， 因为是互不相同的正整数，故是互不相同的整数， 因为乘积为6，可得负因数的个数为偶数个， 可得或， 则对应的也有两组， 故符合条件数有2组，故符合条件的的所有有序实数对是这两个组的数的全排列， 即. 故答案为：. 34．若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 【答案】960 【解析】因为，，均只有一个元素，且，作出韦恩图，    则从的5个元素中选择3个元素均分给，，三个位置，共有种不同排法， 剩余2个元素，每个均有4个位置可以排，共有有种不同排法； 所以“有序子集列”共有个. 故答案为：960. 35．是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为 ． 【答案】 【解析】由题意可知的全排列有种， 因为没有比大的数，所以只能排在第一位或者第五位， 当排在第一位时，若排在第二位，此时排列可以是，，，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 当排在第一位时，若排在第二位，此时没有比大的数，故只能排在第五位， 此时排列可以是，共种情况； 由上可知，当排在第一位时，共有种情况， 同理可得，当排在第五位时，也有种情况满足条件， 综上所述，共有种排列满足条件， 所以对应概率为． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质 题型一 排列数计算 1．D 2．C. 3．3. 4．6 5．5. 6．6. 7． 【解析】由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 8．【解析】因为，所以，即， 所以，即， 整理得，解得或（舍）. 9．【解析】由题意可知，且， 因为，，， 于是原不等式可化为，整理得，解得， 所以，所以原不等式的解集为． 10．析】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 题型二 排列数的性质 11． 题型一 优先问题 12．96. 13．504 14．288 15．D 16．【解析】（1）方法一  先从1，2，5，6，7中选1个数字放在千位，有种方法， 再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法， 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． 方法二  当四位数中不含数字0时，有种方法；当四位数中含数字0时，有种方法． 故可以组成没有重复数字的四位数的个数为． （2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时， 没有重复数字的四位数有（个）． 当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法， 满足条件的四位数有（个）． 所以共有个偶数． （3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6，7，共3个， 当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1，5，7，共3个， 当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1，5，6，共3个， 当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法， 当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法， 当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法， 当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法． 综上所述，比2026大的数共有（个）． 题型二 相邻与不相邻问题 17． 18． 19．12 20．144. 21．4. 22．A 23．B. 24．A． 25．D． 26．. 题型三 定序问题 27．D. 28．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中： (1)若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ (2)若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【解析】（1）将1，3，5，7,先在七个位置上进行排列，即，再按次序填上2，4，6,即可，所以有. （2）从7个位置选4个，按次序放好1，3，5，7，即，剩下的按次序放2，4，6，即可，所以有. 题型四 直接法与间接法 29．6. 30．有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 【解析】四个停车位，停放四辆不同的车，是4个元素进行全排列，即种不同的停法； 其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，特殊元素先安排，再排其他的， 即种不同的停法. 31．用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 【解析】（1）第一类：组成的四位数不包含1，这样的四位数有：个； 第二类：组成的四位数包含1，若1在十位，则这样的四位数有：个； 若1在百位，则这样的四位数有：个. 根据分类加法计数原理，满足条件的四位数共有：个. （2）（方法一：间接法）用6个数字可以组成个，其中：1在各位的有个，6在千位的有个，1在个位且6在千位的有个，所以满足条件的四位数有：个. （方法二：直接法）第一类：若1在千位，这样的四位数有：个； 第二类：若1不在千位，则1可以在十位或百位，有2种排法，再从2，3，4，5中任选1个排在千位，有4种排法，剩余的两个位置可从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排法，根据分步乘法计数原理，这样的四位数有：个； 第三类：若组成的四位数不含1，则千位有4种排法，后三位有种排法，所以这样的四位数有：个. 所以满足条件的四位数有：个. 32．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 【解析】由题意可得，没有一个盒子空着，相当于5个元素排列在5个位置上，有种， 而球的编号与盒子编号全相同只有1种， 所以没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同的投法有种. 33．. 34．960 35． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2-6.2.3 排列数的计算与性质 题型一 排列数计算 1．若m为正整数，且，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 3．若排列数，则 . 4．已知为正整数，且，则 ． 5．关于正整数的方程是，则 ． 6．已知，则正整数 ． 7．解关于正整数x的不等式． 8．已知n是正整数，且．求n的值． 9．解不等式：． 10．已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 题型二 排列数的性质 11．关于的不等式的解集是 . 题型一 优先问题 12．若有5名同学排成一排，其中甲不能站排头，共有 种不同的排法. 13．将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有 种. 14．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 15．某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（    ） A．288种 B．72种 C．42种 D．36种 16．用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数． (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ (3)比2026大的数有多少个？ 题型二 相邻与不相邻问题 17．行知中学高二有 6 名数学老师排成一排照相，陈老师和姜老师相邻的排法种数为 . 18．有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为 . 19．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻，且3位男生相邻的排法共有 种． 20．中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是 . 21．将2位穿红衣服的同学和1位穿蓝衣服的同学随机排成一行，若要求2位穿红衣服的同学相邻，则有 种排法. 22．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 23．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（    ） A．720种 B．1440种 C．2880种 D．4320种 24．这6位同学站成一排照相，要求与相邻，且排在的左边，与不相邻，则这6位同学站队的不同排法数为（    ） A．72 B．48 C．36 D．24 25．某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座只能安排在第一或最后一场，讲座和必须相邻，问不同的安排方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 26．某校的5位老师甲、乙、丙、丁、戊排成一排照相，其中甲、乙必须相邻，且甲不站在两端，则不同的排法种数为 题型三 定序问题 27．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（    ） A．10 B．20 C．24 D．30 28．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中： (1)若偶数2，4，6次序一定，有多少个？ (2)若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 题型四 直接法与间接法 29．某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为 . 30．有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？ 31．用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 (1)数字1不排在个位和千位 (2)数字1不在个位，数字6不在千位． 32．设有编号为的五个球和编号为的五个盒子，现将这五个球放入个盒子内，没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 33．互不相同的正整数满足，满足条件的有序实数对有 组（结果用数值表示）. 34．若集合，满足都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”，若有5个元素，则有多少个“有序子集列” . 35．是的全排列，如果对任意的与中至少有一项大于的概率为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $