６.2 排列数的计算 （第2课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第6章 计数原理 ６.２排列数的计算（第2课时） 1 ２ 排列数的计算 怎样计算从n个不同元素中取出m 个元素的排列的个 数？一般地，我们有下面的定义 定义 从n个互不相同的元素中，取出 个不同元 素的所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m 个元素的排列 数，用符号 表示 例如，问题１中的选法数可以表示为 ；问题 ２中的抛物线个数可以表示为 下面研究排列数 的计算公式 求排列数 ，可以这样考虑：假定有排好顺序的３个位子 （图６-２-４），从n个互不相同的元素 中任取３个 填空，一个位子填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过 来，任何一个排列都可以由这样的一种填法得到．因此，所有不 同填法的总数就是排列数 为了计算 可以分成以下三个步骤： 第一步，确定１号位上的元素，这可以从狀个互不相同的元 素中任取一个填空，有狀种方法； 第二步，确定２号位上的元素，这可以从剩下的 个互 不相同的元素中任取一个填空，有 种方法； 第三步，确定３号位上的元素，这可以从剩下的 个互 不相同的元素中任取一个填空，有 种方法． 根据乘法原理，可以得到排列数为 同样，求 ，可以这样考虑：假定有排好顺序的m 个位子 （图６-２-５），从n个互不相同的元素 中任取m 个填空，一个位子填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反 过来，任何一个排列都可以由这样的一种填法得到．因此，所有 不同填法的总数就是排列数 为了计算 ，可以分成以下m 个步骤： 第一步，确定１号位上的元素，这可以从n个互不相同的元 素中任取一个填空，有n种方法； 第二步，确定２号位上的元素，这可以从剩下的 个互 不相同的元素中任取一个填空，有 种方法； 第三步，确定３号位上的元素，这可以从剩下的 个互 不相同的元素中任取一个填空，有 种方法； 以此类推，当前面的 个位子都被填好后，m 号位可以 从余下的 个互不相同的元素中任取一个填空，有 种方法 根据乘法原理，可以得到排列数为 其中m 及n是正整数，且 ．这个公式叫做排列数公式 例４ 用０、１、２、３、４、５这６个数字，可以组成多少 个没有重复数字的三位数？ 解 解法一：用０到５这６个数字组成一个三位数，可以看 成从这６个数字中任取３个的一个排列（０排在百位的除外）．由 于百位上的数字不能是０，因此可以分两个步骤考虑：先排百位 上的数字，再排十位和个位上的数字． 百位上的数字从１到５这５个数字中任取１个，有 种情 形；十位和个位上的数字，可以从余下的５个数字中任取２个， 有 种情形．根据乘法原理，所求的三位数的个数为 解法二：从０到５这６个数字中任取３个数字的排列数，减 去其中以０为排头的排列数，就是用这６个数字组成的没有重复 数字的三位数的个数． 从０到５这６个数字中任取３个数字的排列数为 ，其中以０为 排头的排列数为 因此所求的三位数的个数为 解法三：由于０不能出现在百位上，因此可以根据数码中是 否有０和０出现在哪一位上进行分类讨论． 满足条件的三位数可以分成三类： 每一位数字都不是０的三位数有 个； 个位数字是０的三位数有 个； 十位数字是０的三位数有 个． 根据加法原理，符合条件的三位数的个数为 例５ （１）７个人站成一排．若甲和乙不能相邻排列，有 多少种不同的排法