考点03 多项式乘多项式（11大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点03 多项式乘多项式 考点一：多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 注意点： （1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行. （2）在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应 是这两个多项式项数的积. （3）各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. （4）各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. （5）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”. （6）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果. 考点二：多项式乘多项式的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b）（m+n），也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn，所以(a+b)（m+n）=am+an+bm+bn. 考点三：特殊形式:(x + p）(x + q） 展开推导:(x + p)(x + q) = x•x + x •q + p•x + p•q = x²+ (p + q)x + pq， 规律总结：两个一次二项式相乘（首项都是x），结果是一个二次三项式，其中： 二次项系数为1； 一次项系数为两个常数项p、q的和（p+q）； 常数项为两个常数项p、q的积（pq）. 考点四：整式乘法混合运算 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行. 题型一：计算多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1） 不漏乘； （2）先定符号，再算数字：同号得正，异号得负，符号一错全错； （3）系数、字母都要乘：系数相乘，字母照抄，指数相加； （4）括号前是负号要特别小心：去括号时，每一项都要变号； （5）不要跳步． 【典例精讲】（2025秋•虹口区期末）计算：（2a﹣b）（a+3b）＝　　　　　　 ． 【分析】直接利用多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，进而求出即可． 【解答】解：（2a﹣b）（a+3b） ＝2a2+6ab﹣ab﹣3b2 ＝2a2+5ab﹣3b2． 故答案为：2a2+5ab﹣3b2． 【变式训练1】（2025秋•花都区期末）计算：（x+2）（x+3）． 【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到结果． 【解答】解：原式＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6． 【变式训练2】（2025秋•朝阳区校级月考）计算： （1）2a2•（3a2﹣5b）； （2）（x+5）（x﹣7）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则计算，即可求解； （2）根据多项式乘多项式法则计算，即可求解． 【解答】解：（1）2a2•（3a2﹣5b）＝6a4﹣10a2b； （2）原式＝x2﹣7x+5x﹣35 ＝x2﹣2x﹣35． 题型二：多项式乘多项式化简求值 （1）去括号，逐项相乘：一个一个乘，不漏乘、不错号； （2）定符号：同号得正，异号得负，先写符号，再写数字； （3）合并同类项：把次数相同的项合并，化成最简多项式； （4）代入数值：化简完，再把 x=… 带进去算结果． （1）顺序错：没化简就直接代入； （2）漏乘； （3）符号错； （4）括号前是负号，只变第一项； （5）系数忘记乘； （6）代入求值时漏括号、符号错． 【典例精讲】（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2； （2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值． 【分析】（1）先变形为（x+2﹣x）（x﹣3），再化简后代入计算即可求解； （2）先算同底数幂的乘法，再合并同类项即可求解． 【解答】解：（1）（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3） ＝（x+2﹣x）（x﹣3） ＝2（x﹣3）， 当x＝2时，原式＝2×（2﹣3）＝﹣2； （2）（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3 ＝﹣（x﹣y）3+（x﹣y）3 ＝0． 【变式训练1】先化简，再求值： （1）（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2，其中，x，y＝﹣1； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b），其中a＝﹣2，b＝3． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则、合并同类项法则化简原式，再将x、y的值代入计算可得； （2）先根据多项式乘多项式法则、合并同类项法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得． 【解答】解：（1）原式＝（x﹣2y）（x+2y）﹣（x﹣2y）+4y2 ＝x2﹣4y2﹣x+2y+4y2 ＝x2﹣x+2y， 当x，y＝﹣1时， 原式2＝﹣2； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b） ＝2a2﹣ab+2ab﹣b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2 ＝4a2﹣2ab﹣3b2， 当a＝﹣2，b＝3时， 原式＝4×4﹣2×（﹣2）×3﹣3×9 ＝16+12﹣27 ＝1． 【变式训练2】（1）先化简再求值；（2x+1）（x﹣5）﹣（3x+1）（5x﹣2），其中x＝﹣1 （2）解方程：（2x+3）（x﹣4）﹣（x+2）（x﹣3）＝x2+6 【分析】（1）先根据多项式乘以多项式法则进行乘法运算，再合并同类项； （2）先根据多项式乘以多项式法则进行去括号，合并同类项后移项，再合并同类项，x系数化为1即求出x． 【解答】解：（1）（2x+1）（x﹣5）﹣（3x+1）（5x﹣2） ＝2x2﹣10x+x﹣5﹣（15x2﹣6x+5x﹣2） ＝2x2﹣9x﹣5﹣15x2+x+2 ＝﹣13x2﹣8x﹣3 ∵x＝﹣1 ∴原式＝﹣13×1+8﹣3＝﹣8 （2）（2x+3）（x﹣4）﹣（x+2）（x﹣3）＝x2+6 2x2﹣8x+3x﹣12﹣（x2﹣3x+2x﹣6）＝x2+6 2x2﹣5x﹣12﹣x2+x+6＝x2+6 x2﹣4x﹣6＝x2+6 ﹣4x＝12 x＝﹣3 题型三：不含某一项 （1）先展开：把两个多项式乘开，一项一项乘，不跳步； （2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）； （3）找到“不含”的那一项 - 不含二次项 → 二次项系数 = 0； - 不含一次项 → 一次项系数 = 0； - 不含常数项 → 常数项 = 0； （4）令系数 = 0，解方程，求出字母的值． （1）合并同类项后再令系数为0：若展开后有多项是同一字母的同次幂，必须先合并，再令合并后的系数为0； （2）注意“不含”与“不含有”的区别； （3）参数的多解可能性：有时参数本身为0时，乘积恒为0，自然不含任何项． 【典例精讲】（2025秋•威远县期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 【分析】先根据已知式子，可找出所有含x的项，合并系数，令含x项的系数等于0，即可求m的值． 【解答】解：（x2﹣x+m）（x﹣8） ＝x3﹣8x2﹣x2+8x+mx﹣8m ＝x3﹣9x2+（8+m）x﹣8m， ∵不含x的一次项， ∴8+m＝0， 解得：m＝﹣8． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•安顺期末）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2 【分析】将原式展开后，令一次项的系数为零即可求出k的值． 【解答】解：原式＝x3+kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3+kx2+2x2+（2k+4）x+4k， 令2k+4＝0， ∴k＝﹣2， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•陕西校级期末）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2024n2025的值． 【分析】（1）先将原式括号展开，再合并同类项，最后根据不含x2和常数项得出2m+1＝0，﹣2+n＝0，即可解答； （2）根据幂的运算法则得出m2024n2025＝m2024•n2024•n＝（mn）2024•n，根据（1）中得出的m和n的值，即可解答． 【解答】解：（1）（mx﹣2）（2x+1）+x2+n ＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n ＝（2m+1）x2+（m﹣4）x﹣2+n， 由条件可知2m+1＝0，﹣2+n＝0， ∴，n＝2； （2）m2024n2025＝m2024•n2024•n＝（mn）2024•n， 由（1）知，，n＝2， ∴原式． 题型四：错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025秋•农安县校级期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【分析】（1）根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后根据多项式相等的条件列出关于a、b的二元一次方程，再求出a与b的值； （2）把a与b的值代入原式，进而确定出正确的算式及结果即可． 【解答】解：（1）由题意得（2x﹣a）（3x+b） ＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab ＝6x2+11x﹣10， （2x+a）（x+b） ＝2x2+（a+2b）x+ab ＝2x2﹣9x+10， 所以2b﹣3a＝11，① a+2b＝﹣9．② 由②得2b＝﹣9﹣a，代入①得﹣9﹣a﹣3a＝11， 所以a＝﹣5． 所以2b＝﹣4． 所以b＝﹣2． （2）当a＝﹣5，b＝﹣2时，由（1）得（2x+a）（3x+b）＝（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10． 【变式训练1】（2025秋•汉阴县期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题（4x﹣a）（5x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把﹣a抄成了+a，得到结果为20x2﹣2x﹣6；小明把第二个多项式中的5x抄成了x，得到结果为4x2﹣14x+6． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【分析】（1）运用多项式乘多项式知识求得a，b的值； （2）将代入原式进行计算、求解． 【解答】解：（1）由题意得， （4x+a）（5x+b） ＝20x2+4bx+5ax+ab ＝20x2+（5a+4b）x+ab ＝20x2﹣2x﹣6； （4x﹣a）（x+b） ＝4x2+4bx﹣ax﹣ab ＝x2+（﹣a+4b）x﹣ab ＝4x2﹣14x+6， ∴5a+4b＝﹣2且﹣a+4b＝﹣14， 解得a＝2，b＝﹣3； （2）将a＝2，b＝﹣3代入原式得， （4x﹣a）（5x+b） ＝（4x﹣2）（5x﹣3） ＝20x2﹣12x﹣10x+6 ＝20x2﹣22x+6． 【变式训练2】（2025春•余姚市校级期末）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果． 【分析】（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出a，b的值； （2）将（1）的a，b的值代入代数式求解即可． 【解答】解：（1）（2x+a）（x+6） ＝2x2+12x+ax+6a ＝2x2+（12+a）x+6a， ∵计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24， ∴6a＝﹣24， ∴a＝﹣4， （2x+4）（x+b） ＝2x2+2bx+4x+4b ＝2x2+（2b+4）x+4b， 由条件可知4b＝20， ∴b＝5． （2）（2x﹣4）（x+5） ＝2x2+10x﹣4x﹣20 ＝2x2+6x﹣20． 题型五：（x+p）（x+q）型 头乘头，尾乘尾，交叉相乘放中间，合并同类项． （1）只要有负号，一定要带着符号一起算； （2）漏写一次项 / 系数算错； （3）两个常数相乘，同号得正，异号得负； （4）展开后不合并同类项． 【典例精讲】（2025秋•衡山县期末）下列各运算中，结果等于x2﹣x﹣6的是（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 【分析】原式各项利用多项式乘多项式法则计算，合并得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，不合题意； B、（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x﹣6，符合题意； C、（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x﹣6，不合题意； D、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣3x﹣2x+6＝x2﹣5x+6，不合题意． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•西丰县期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　） A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6 【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解答】解：已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b， 利用多项式相等的条件得：a＝1，b＝﹣6， 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•公主岭市期末）已知x2﹣x﹣4＝0，则（x﹣3）（x+2）的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D． 【分析】由已知条件易得x2﹣x＝4，将原式利用多项式乘多项式法则展开并整理后代入已知数值计算即可． 【解答】解：∵x2﹣x﹣4＝0， ∴x2﹣x＝4， ∴（x﹣3）（x+2） ＝x2﹣3x+2x﹣6 ＝x2﹣x﹣6 ＝4﹣6 ＝﹣2， 故选：C． 题型六：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025秋•东阳市期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】已知（x+2）4＝x4+8x3+mx2+32x+16，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．24 【分析】根据题中“三乘”对应的展开式进行代入求解． 【解答】解：由题意得， mx2＝6×x2×22＝24x2， ∴m的值是24， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•珠海校级期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出（a+b）5展开式中a2b3项的系数为　　 ． 【分析】“杨辉三角”的特征为两条斜的边都是数字1组成，其余的数是等于它“肩”上的两数之和，即可填写括号内的数字，即可写出（a+b）5的展开式中各项系数，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，（　　）中可填入的数字依次为4，6，4， ∴（a+b）5的展开式中各项系数为1、5、10、10、5、1， ∴（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， ∴展开式中a2b3的系数是10． 故答案为：10． 【变式训练2】（2025秋•东西湖区校级月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为 　 　 ；（a+b）21展开式共有 　 　 项，第19项系数为 　　 　； （2）根据上面的规律，写出（a+b）7的展开式：　 　　 　； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 【分析】（1）根据表中数据特点即可求出括号内数字；先找出规律，再求解即可； （2）根据图示顺推即可得到（a+b）7展开式； （3）根据（a+b）5展开式，令a＝3，b＝﹣1时代入展开式即可得到所求代数式的值． 【解答】解：（1）此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律， 图中括号内的数为3+3＝6， （a+b）1＝a+b展开式有1+1＝2项， （a+b）2＝a2+2ab+b2，展开式有2+1＝3项， （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，展开式有3+1＝4项， （a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，展开式有4+1＝5项， （a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5展开式有5+1＝6项，第 4项为； ...； 以此类推，（a+b）n展开式中共有（n+1）项， ∴（a+b）21展开式共有 22项，第4项系数为，根据对称性可知第19项系数为1330， 故答案为：6；22；1330； （2）根据图示，（a+b）7＝a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7． 故答案为：a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； （3）∵（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 当a＝3，b＝﹣1时，（3﹣1）5＝35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1， ∴原式＝32． 题型七：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•薛城区期末）如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（　　） A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 C．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2 D．（a+b）（2a﹣b）＝2a2+ab﹣b2 【分析】根据题意可知大长方形的面积为（a+b）（a+2b），等于一个小正方形的面积a2加上三个长方形的面积3ab再加上两个正方形的面积2b2，可得答案． 【解答】解：根据题意可知，大长方形的面积为：（a+b）（a+2b）， 大长方形的面积为2个小正方向和3个小长方形的面积和，a2+3ab+2b2， 即（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2． 故选：A． 【变式训练1】（2025秋•福州校级期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起；制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（　　） A．纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x） B．纸盒的表面积为ab﹣4x2 C．纸盒的底面积为ab﹣2（a+b）x﹣4x2 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a＝b＝3x 【分析】A．观察图形，找出纸盒底面的长，宽，高，然后根据体积公式进行计算，再判断即可； B．根据纸盒的表面积＝边长为a，宽为b的长方形的面积﹣4个边长为x的正方形的面积列出代数式，进行判断即可； C．观察图形，找出纸盒底面的长，宽，然后根据面积公式进行计算，再判断即可； D．根据制成的纸盒是正方体，得到a﹣2x＝b﹣2x＝x，通过计算进行判断即可． 【解答】解：A．观察图形可知：纸盒的底面长为a﹣2x，宽为b﹣2x，高为x，∴纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x），∴此选项的说法正确，故不符合题意； B．观察图形可知：纸盒的表面积为ab﹣4x2，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．观察图形可知：纸盒的底面长为a﹣2x，宽为b﹣2x，∴纸盒的底面积为（a﹣2x）（b﹣2x）＝ab﹣2ax﹣2bx+4x2，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵若制成的纸盒是正方体，则a﹣2x＝b﹣2x＝x，∴a＝b＝3x，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•綦江区期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【分析】根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【解答】解：长方形的面积为： （2a+b）（a+3b） ＝2a2+7ab+3b2， ∴需要B类卡片的张数为7ab÷（ab）＝7（张）． 故选：C． 题型八：混合运算 先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行. （1）运算顺序不能乱； （2）括号前有负号，每一项都变号； （3）多项式相乘一定不漏乘； （4）结果一定要最简； （5）系数、符号一起算：系数相乘，符号先定，同号得正，异号得负． 【典例精讲】（2025秋•龙州县校级月考）计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）根据多项式乘多项式的运算法则展开，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2+10a3b3﹣2a2． （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y） ＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy ＝﹣3x2+xy﹣6y2． （3）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy×3x2+4xy×2xy﹣4xy×1 ＝12x3y+8x2y2﹣4xy． （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6） ＝（2x+4）（2x+3）﹣（3﹣3x）（x+6） ＝4x2+6x+8x+12﹣（3x+18﹣3x2﹣18x） ＝4x2+14x+12﹣（18﹣3x2﹣15x） ＝4x2+14x+12﹣18+3x2+15x ＝7x2+29x﹣6． 【变式训练1】（2025秋•德化县期末）计算：（x+2）（x﹣1）﹣x（x﹣3）． 【分析】根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行计算． 【解答】解：（x+2）（x﹣1）﹣x（x﹣3） ＝x2+2x﹣x﹣2﹣x2+3x ＝4x﹣2． 【变式训练2】（2025秋•丰台区期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣x（x﹣2y）． 【分析】先去括号，再合并同类项即可． 【解答】解：原式＝2x2﹣xy+4xy﹣2y2﹣x2+2xy ＝x2+5xy﹣2y2． 题型九：实际应用 对于多项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（多项式×多项式），然后按运算法则计算． （1）建模：将文字转化为代数式； （2）运算：展开并化简； （3）解释：将代数结果回归实际问题． （1）单位统一：实际问题中注意单位换算（如米/厘米，小时/分钟）； （2）意义检验：结果应为正数或符合实际范围（如人数为整数）； （3）逆向思维：有时已知结果求参数，需反推运算过程（参考“不含某一项”题型）． 【典例精讲】（2025秋•丰台区期末）如图，某小区准备在一个长为（4a+2b）m，宽为（3a+2b）m的长方形草坪上修建两条宽为bm的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为　　 m2． 【分析】根据题意列出算式（3a+2b﹣b）（4a+2b﹣b），再化简，再根据多项式乘多项式法则计算即可． 【解答】解：根据题意得草坪（阴影部分）的总面积为（3a+2b﹣b）（4a+2b﹣b） ＝（3a+b）（4a+b） ＝12a2+3ab+4ab+b2 ＝（12a2+7ab+b2）（m2）， 故答案为：（12a2+7ab+b2）． 【变式训练1】（2025秋•朔州期末）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形ABCD为某村的一块甜菜种植基地，其中AB＝（a+4b）m，AD＝（3a﹣2b）m．若该甜菜种植基地扩大为长方形AEFG，其中点B在AE上，点D在AG上，BE＝bm，DG＝am，则长方形AEFG的面积比长方形ABCD的面积增加了　　 m2． 【分析】根据长方形的面积公式，分别计算长方形AEFG和ABCD的面积，二者再作差即可求解． 【解答】解：长方形ABCD的面积＝AB•AD ＝（a+4b）（3a﹣2b） ＝（3a2+10ab﹣8b2）m2， 长方形AEFG的面积＝AE•AG ＝（a+4b+b）（3a﹣2b+a） ＝4a2﹣2ab+20ab﹣10b2 ＝（4a2+18ab﹣10b2）m2， （4a2+18ab﹣10b2）﹣（3a2+10ab﹣8b2） ＝4a2+18ab﹣10b2﹣3a2﹣10ab+8b2 ＝（a2+8ab﹣2b2）m2， ∴长方形AEFG的面积比长方形ABCD的面积增加了（a2+8ab﹣2b2）m2． 故答案为：（a2+8ab﹣2b2）． 【变式训练2】（2025秋•横山区期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【分析】（1）根据矩形的面积公式即可列式求解； （2）根据厨房的用地面积＝（3a﹣b）（a+b），利用整式的乘法化简，代入a，b即可求解． 【解答】解：（1）（4a+2b+3a﹣b）（3a+2b） ＝21a2+14ab+3ab+2b2 ＝（21a2+17ab+2b2）平方米， 答：这块长方形土地的总面积是（21a2+17ab+2b2）平方米． （2）（3a﹣b）[（3a+2b）﹣（2a+b）]＝（3a2+2ab﹣b2）平方米， 当a＝2，b＝2时，原式＝3×22+2×2×2﹣22＝16平方米， 答：厨房的用地面积为16平方米． 【变式训练3】（2025秋•吐鲁番市期末）如图，有一块长（3a﹣5b）m、宽（a﹣b）m的长方形地块，现计划在中间修筑一个长am、宽（a﹣2b）m的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（a＞2b） （1）用含a，b的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） （2）当a＝25，b＝5时，求草坪的面积． 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【解答】解：（1）（3a﹣5b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）＝3a2﹣3ab﹣5ab+5b2﹣a2+2ab＝2a2﹣6ab+5b2， 答：草坪面积为（2a2﹣6ab+5b2）m2； （2）当a＝25m，b＝5m时， 2a2﹣6ab+5b2＝2×252﹣6×25×5+5×52 ＝1250﹣750+125 ＝625（m2）， 答：草坪的面积是625m2． 题型十：多项式乘多项式新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•岳池县期末）定义：a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．若（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c，则a+c的值为　　 ． 【分析】先根据新运算法则得出（x+2）（x+4+1），再根据多项式乘多项式法则计算，结合已知条件即可求出a、b、c的值，再求和即可． 【解答】解：（x+2）※（x+4） ＝（x+2）（x+4+1） ＝（x+2）（x+5） ＝x2+5x+2x+10 ＝x2+7x+10， ∵（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c， ∴x2+7x+10＝ax2+bx+c， ∴a＝1，b＝7，c＝10， ∴a+c＝1+10＝11， 故答案为：11． 【变式训练1】（2025秋•安顺期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式P＝ax2+bx+c的特征系数对．把关于x的二次多项式P＝ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对5x2﹣3x+1为　　 ； （2）求有序实数对（1，1，0）的特征多项式A与有序实数对（1，0，﹣1）的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式M与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式N的乘积的结果为2x4+x3﹣5x2﹣x+2，请直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为　　 ． 【分析】 （1 ）根据特征系数对的定义即可解答； （2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可； （3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x＝﹣2即可得出答案． 【解答】解：（1）根据特征系数对的定义可知： 关于x的二次多项式5x2﹣3x+1的特征系数对为（5，﹣3，1）， 故答案为：（5，﹣3，1）； （2）有序实数对（1，1，0）的特征多项式为x2+x，有序实数对（1，0，﹣1）的特征多项式为x2﹣1， 根据多项式乘多项式进行计算可得：（x2+x）（x2﹣1）＝x4+x3﹣x2﹣x； （3）（px2+qx﹣1）（mx2+nx﹣2）＝2x4+x3﹣5x2﹣x+2， 令x＝﹣2，则（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝2×16﹣8﹣5×4+2+2， ∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝32﹣8﹣20+2+2， ∴（4p﹣2q﹣1）（4m﹣2n﹣2）＝8， ∴（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）＝4． 故答案为：4． 【变式训练2】（2025秋•思明区校级期末）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　 ． （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3—系多项式”，求a与c的值． 【分析】（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把x＝2代入多项式B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； （3）根据题意，由“3—系多项式”定义，进而得出答案． 【解答】解：（1）令（3x+2）（x﹣3）＝0， 则3x+2＝0或x﹣3＝0， ∴或x＝3． 故答案为：或3． （2）把x＝2代入B＝x2+（a﹣1）x﹣3a， 即B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0， 则a＝2， 把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）， 令x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴多项式B的另一个零点是﹣3． （3）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）， ∴M的两个零点分别是或7， 根据“3﹣系多项式”的定义，有， ∴b＝﹣2， 把b＝﹣2代入M， 得M＝（2x﹣b）（cx﹣7c） ＝（2x+2）（cx﹣7c） ＝2cx2﹣12cx﹣14c， ∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4， ∴a＝2c，5b﹣4＝﹣14c， ∴c＝1，a＝2． 【变式训练3】（2024秋•东城区校级期末）小聪研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．回答以下问题： （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　 ； （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 【分析】（1）根据题意，令（3x+2）（x﹣3）＝0，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把x＝2代入多项式B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案． 【解答】解：（1）令（3x+2）（x﹣3）＝0， 则3x+2＝0或x﹣3＝0， 解得：x或x＝3． 故答案为：x或x＝3． （2）把x＝2代入B＝x2+（a﹣1）x﹣3a， 即B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0， 则a＝2， 把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）， 令x+3＝0， 解得：x＝﹣3， ∴多项式B的另一个零点是﹣3． 题型十一：比较大小 （1）作差，要比较 A 和 B，先算 A-B； （2）展开、合并同类项，把多项式乘多项式全部展开，化简成整式； （3）判断符号 - 差 >0，则 A>B； - 差 =0，则 A=B； - 差 <0 ，则 A<B． （1）作差时一定要加括号； （2）去括号时负号要变号； （3）展开要一项一项乘，不漏不重； （4）合并同类项别抄错系数； （5）题目有范围/条件一定要用上． 【典例精讲】（2025秋•阳新县期末）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（revolutionspersecond，简称rps）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为（a+1）（a﹣8）rps，乙球员击球数据为a（2a﹣7）rps，谁击出的球更转（　　） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【分析】先分别展开甲、乙球员的击球旋转数表达式，再通过作差法计算两者的差值，根据差值的正负判断谁的旋转数更大． 【解答】解：根据题意可知，作差比较：a（2a﹣7）﹣（a+1）（a﹣8） ＝（2a2﹣7a）﹣（a2﹣7a﹣8） ＝2a2﹣7a﹣a2+7a+8 ＝a2+8， ∵a2≥0， ∴a2+8＞0， 即2a2﹣7a＞a2﹣7a﹣8， ∴乙球员击出的球更转． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•鲤城区校级期末）阅读材料： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 解决问题： （1）已知n为自然数，P＝（x+1）（x+4），Q＝（x+2）（x+3），试比较P与Q的大小； （2）已知A＝20260127×20260128，B＝20260129×20260126．请你直接写出A与B的大小比较后的结果． 【分析】（1）计算P﹣Q的差，根据差的符号得出答案； （2）计算A﹣B的差，根据差的符号得出答案． 【解答】解：（1）∵P﹣Q＝（x+1）（x+4）（x+2）（x+3）＝x2+5x+4﹣x2﹣5x﹣6＝﹣2＜0， ∴P＜Q； （2）∵A﹣B＝20260127×20260128﹣20260129×20260126 ＝20260127×20260128﹣（20260128+1）×20260126 ＝20260127×20260128﹣20260128×20260126﹣20260126 ＝20260128×（20260127﹣20260126）﹣20260126 ＝20260128﹣20260126 ＝2＞0， ∴A＞B． 【变式训练2】（2025秋•潮南区期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2． （1）求S1、S2，并比较S1与S2的大小；（写出比较大小的过程） （2）若满足条件21＜n≤|S1﹣S2|的整数n有且仅有4个，则m的值为　　 ． 【分析】（1）根据长方形面积公式，分别计算甲、乙的面积，展开得到S1和S2的表达式．用S1减去S2，化简后根据m是正整数判断差的正负，从而比较大小； （2）由（1）的结果确定|S1﹣S2|的表达式，根据整数n的个数，列出关于m的不等式，解不等式得到m的取值范围，结合m是正整数确定m的值． 【解答】解：（1）甲长方形长为m+7，宽为m+1， 面积S1＝（m+7）（m+1） ＝m2+m+7m+7 ＝m2+8m+7， 乙长方形长为m+4，宽为m+2， 面积S2＝（m+4）（m+2） ＝m2+2m+4m+8 ＝m2+6m+8， 比较大小：， 因为m是正整数，2m﹣1≥1＞0， 所以S1＞S2； （2）由（1）知S1＞S2， 所以|S1﹣S2|＝|2m﹣1|＝2m﹣1， 因为21＜n≤|S1﹣S2|， 所以21＜n≤2m﹣1，整数n仅有4个， 即n＝22，23，24，25， 因此25≤2m﹣1＜26，解得13≤m＜13.5， 因为m是正整数，所以m＝13． 故答案为：13． 1．（2025秋•美兰区校级期末）若（2x﹣3）（x+2）＝2x2+mx+n，则m与n的值分别是（　　） A．﹣1，6 B．1，﹣6 C．﹣3，﹣2 D．﹣3，2 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再比较即可求解． 【解答】解：∵（2x﹣3）（x+2）＝2x2+mx+n， ∴2x2+x﹣6＝2x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣6． 故选：B． 2．（2025秋•甘肃校级期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】先将代数式展开，然后化成含有x+y和xy的形式，然后整体代入求值即可． 【解答】解：（1﹣x）（1﹣y） ＝1﹣x﹣y+xy ＝1﹣（x+y）+xy ＝1﹣1+（﹣2） ＝﹣2． 故选：A． 3．（2025秋•南部县期末）已知a2﹣5a﹣1＝0，代数式（a﹣1）（a﹣4）的值是（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．7 【分析】将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【解答】解：∵a2﹣5a﹣1＝0， ∴a2﹣5a＝1， ∴（a﹣1）（a﹣4） ＝a2﹣5a+4 ＝1+4 ＝5． 故选：C． 4．（2025秋•伊金霍洛旗期末）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 【分析】根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【解答】解：大长方形的面积为（2a+3b）（3a+2b）＝6a2+13ab+6b2，C类卡片的面积是ab， ∴需要C类卡片的张数是13， ∴不够用，还缺3张， 故选：D． 5．（2025秋•仁寿县期末）若关于x的多项式（x﹣2）（x2+mx+4）乘积不含x的二次项，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【分析】展开多项式乘积，合并同类项后，令x2项的系数为零，求解m即可． 【解答】解：由（x﹣2）（x2+mx+4） ＝x3+（m﹣2）x2+（4﹣2m）x﹣8， 由条件可知m﹣2＝0， ∴m＝2， 故选：C． 6．（2025秋•龙马潭区期末）已知多项式ax﹣3与x﹣1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．3 【分析】（ax﹣3）（x﹣1）＝ax2+（﹣a﹣3）x+3，根据题意得到﹣a﹣3＝0，求解即可． 【解答】解：根据多项式乘多项式运算法则可得： （ax﹣3）（x﹣1）＝ax2+（﹣a﹣3）x+3， 由条件可知﹣a﹣3＝0， 解得：a＝﹣3， 故选：C． 7．（2025秋•大连期末）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+4b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 【分析】根据题意列式为（a+4b）（2a+b），将其计算后求得各项的系数即可． 【解答】解：（a+4b）（2a+b） ＝2a2+ab+8ab+4b2 ＝2a2+9ab+4b2， 各项的系数分别为2，9，4， 则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为2，4，9， 故选：A． 8．（2025秋•东港市校级期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根据长方形面积公式判断各式是否正确即可． 【解答】解：①（2a+b）（m+n），正确； ②a（m+n）+b（m+n），错误； ③m（2a+b）+n（2a+b），正确； ④2am+2an+bm+bn，正确 故正确的有①③④ 故答案为：C． 9．（2025秋•德惠市期末）若（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 【分析】根据多项式乘多项式的计算法则得到（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2，据此得到a＝1，b＝1，c＝﹣2，再代值计算即可． 【解答】解：∵（x﹣1）（x+2） ＝x2﹣x+2x﹣2 ＝x2+x﹣2， 又∵（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c， ∴x2+x﹣2＝ax2+bx+c， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2， ∴a+b+c＝1+1﹣2＝2﹣2＝0， 故选：B． 10．（2025秋•斗门区期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】运用多项式乘多项式的计算法则进行计算、求解． 【解答】解：（x+15）（x﹣） ＝x2+15x﹣x﹣15 ＝x2+（15﹣）x﹣15， ∵“”处的数字是正数． ∴﹣15＜0， 由题意得， ﹣15＝﹣2025， 解得＝135， ∴15﹣＝15﹣135＝﹣120， ∴（x+15）（x﹣）＝x2﹣120x﹣2025， 故选：A． 11．（2025秋•恩施市期末）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（　　） ①x2+5x ②x（x+3）+6 ③（x+3）（x+2）﹣2x ④3（x+2）+x2 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②③ 【分析】根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【解答】解：∵图中阴影部分面积为：x（x+3）+3×2＝x（x+3）+6， 或（x+3）（x+2）﹣2x， 或3（x+2）+x2， 故选：C． 12．（2024秋•呼兰区期末）图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 【分析】根据题意，分别表示出S1，S2，两块面积相减，即可得到结果． 【解答】解：设EF＝x， S1＝（4b+x）•2b＝（8+x）×4＝32+4x， S2＝（a+x）•a＝（4+x）×4＝16+4x， ∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16． 故选：B． 13．（2025秋•西青区期末）（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8　 ． 【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可． 【解答】解：（x+4）（x﹣2） ＝x2﹣2x+4x﹣8 ＝x2+2x﹣8． 故答案为：x2+2x﹣8． 14．（2025秋•衡山县期末）若三角形的底边为（3a+2b），底边上的高为（9a2﹣6ab+4b2），则面积为　a3+4b3 ． 【分析】首先根据三角形面积公式：底×高，列出算式；然后根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出结果． 【解答】解：结合三角形的面积公式可得，该三角形的面积为（3a+2b）（9a2﹣6ab+4b2）， 由立方和的公式，得（27a3+8b3）， 即a3+4b3， 故三角形的面积为a3+4b3． 故答案为：a3+4b3． 15．（2025秋•海沧区校级期末）一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为　4　 ． 【分析】设它的宽是xcm．可利用面积相等列方程，求出x的值即可． 【解答】解：设它原来的宽是xcm， 由题意得，12x＝（12﹣4）（x+2）， 解得x＝4， 答：它的宽是4cm． 故答案为：4． 16．（2025秋•四川期末）已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为　﹣18　 ． 【分析】利用多项式乘多项式法则展开并整理，然后将已知数值代入计算即可． 【解答】解：∵，ab＝2， ∴（5﹣3a）（5+3b） ＝25+15b﹣15a﹣9ab ＝25﹣15（a﹣b）﹣9ab ＝25﹣159×2 ＝25﹣25﹣18 ＝﹣18， 故答案为：﹣18． 17．（2025秋•望花区期末）小明在计算（x+3）（x﹣■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣2，则被染黑的常数为　5　 ． 【分析】设■＝a，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于﹣2列方程求解即可． 【解答】解：由题意，可设■＝a， 则（x+3）（x﹣a） ＝x2﹣ax+3x﹣3a ＝x2+（3﹣a）x﹣3a， ∵结果中的一次项系数为﹣2， ∴可得方程：3﹣a＝﹣2， 移项，合并同类项，得a＝5． 故答案为：5． 18．（2025秋•金昌校级期末）计算：2x（x﹣2）+（4+2x）（2﹣x）． 【分析】运用整式乘法法则进行运算即可． 【解答】解：原式＝﹣2x（2﹣x）+（4+2x）（2﹣x） ＝（4+2x﹣2x）（2﹣x） ＝4（2﹣x） ＝8﹣4x． 19．（2025秋•山丹县校级期末）计算： （1）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y； （2）（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）． 【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式展开计算即可； 【解答】解：（1）原式＝﹣8x6y3+x6y3＝﹣7x6y3； （2）原式＝xy﹣2x+2y2﹣4y+2y2+2y﹣4xy﹣4x ＝4y2﹣3xy﹣2y﹣6x． 20．（2025秋•武都区期末）试说明：代数式（2x+3）（6x+2）﹣6x（2x+13）+8（7x+2）的值与x的取值无关． 【分析】将代数式利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式的法则计算，去括号合并得到结果为一个常数，可得出代数式的值与x的取值无关． 【解答】解：∵（2x+3）•（6x+2）﹣6x（2x+13）+8（7x+2） ＝12x2+4x+18x+6﹣12x2﹣78x+56x+16 ＝22， ∴代数式的值与x的取值无关． 21．（2025秋•宜昌期末）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）先根据多项式乘多项式的法则计算，再根据展开式中不含x3和x2项得出4+m＝0，n﹣3m＝0，即可求出m、n的值； （2）先根据多项式乘多项式的法则计算，再把m、n的值代入计算即可． 【解答】解：（1）（x3+mx+n）•（x2﹣3x+4） ＝x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n ＝x5﹣3x4+（4+m）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n， ∵展开式中不含x3和x2项， ∴4+m＝0，n﹣3m＝0， ∴m＝﹣4，n＝﹣12； （2）（m+n）（m2﹣mn+n2） ＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3 ＝m3+n3， 由（1）得m＝﹣4，n＝﹣12， 所以原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64+（﹣1728）＝﹣1792． 22．（2025秋•洪雅县期末）如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为6b米，宽为2a米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加a米，宽增加b米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含a、b的式子表示） （2）当a＝4、b＝3时，求增加的土地面积． 【分析】（1）利用矩形的面积公式进行作答即可； （2）将a＝4、b＝3分别代入该基地现在的土地面积和原来基地的面积，然后做差即可得出答案． 【解答】解：（1）（6b+a）（2a+b）＝2a2+13ab+6b2（平方米）， 答：该基地现在的土地面积是（2a2+13ab+6b2）平方米， （2）当a＝4、b＝3时， 该基地现在的土地面积为2a2+13ab+6b2＝242（平方米）， 原来基地的面积为2a×6b＝12×4×3＝144（平方米）， ∴242﹣144＝98（平方米）， 答：增加的土地面积是98平方米， 23．（2025秋•峰峰矿区月考）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【分析】（1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算（x﹣3）（x2+ax+9），再根据B是A的“特别友好多项式”，得到（x﹣3）（x2+ax+9）的结果只有两项，据此求解即可． 【解答】解：（1）B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵A＝x+3，B＝2x﹣1， ∴C＝（x+3）（2x﹣1） ＝2x2+5x﹣3， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）（x﹣3）（x2+ax+9） ＝x3+ax2+9x﹣3x2﹣3ax﹣27 ＝x3+（a﹣3）x2+（9﹣3a）x﹣27， 由条件可知a﹣3＝0且9﹣3a＝0， 解得a＝3． 24．（2025秋•东坡区校级期中）已知代数式A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的计算方法进行计算，再令x的二次项系数为0，常数项为﹣6，进而求出m、n的值； （2）把（1）中的m、n的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． ∴AB＝（x2+mx﹣3）（2x+n） ＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6， ∴2m+n＝0，﹣3n＝﹣6， 解得m＝﹣1，n＝2； （2）当m＝﹣1，n＝2时， （m+n）（m2﹣mn+n2）＝（﹣1+2）（1+2+4）＝7． 25．（2024秋•内江期末）[知识回顾] 已知代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 解题方法：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b满足的等量关系． 【分析】（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设AB＝x，先求出S1，S2，从而可得S1﹣S2，再根据“当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变”可知S1﹣S2的值与x的值无关，由此即可得． 【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x ＝2mx﹣3m+2m2﹣3x ＝（2mx﹣3x）﹣3m+2m2 ＝（2m﹣3）x﹣3m+2m2， ∵关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， ∴； （2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3（2x2+x﹣2x﹣1﹣x+3xy）+（﹣6x2+6xy﹣6） ＝6x2+3x﹣6x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6 ＝（6x2﹣6x2）+（3x﹣3x﹣6x）+（9xy+6xy）﹣3﹣6 ＝﹣6x+15xy﹣9 ＝（15y﹣6）x﹣9， ∵关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关的值与x无关， ∴15y﹣6＝0， 解得； （3）设AB＝x， 由图可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b（x﹣2a）＝2bx﹣4ab， 则S1﹣S2＝ax﹣3ab﹣（2bx﹣4ab） ＝ax﹣3ab﹣2bx+4ab ＝（a﹣2b）x+ab， ∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变， ∴S1﹣S2的值与x的值无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 26．（2024秋•临沂期末）阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： 24×26＝624，32×38＝1216，47×43＝2021，52×58＝3016； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位： 解决问题： （1）小明邀请田田利用上述速算方法，计算47×43的积为 　2021　 ； （2）尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是m（0＜m＜10，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为10m+n，则另一个两位数可以表示为 　10m+（10﹣n）　 ，上述规律可以表示为 　（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）　 （用含m，n的式子表示）； （3）尝试对这个规律进行证明． 【分析】（1）根据题干给定的方法，进行计算即可； （2）根据两个两位数的特点，表示出另一个两位数，根据计算方法，写出规律即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则，进行计算，证明即可． 【解答】（1）解：4×（4+1）＝20，3×7＝21， ∴47×43＝2021， 故答案为：2021； （2）解：∵两个两位数的十位上的数相同，个位上的数的和为10， ∴另一个两位数的十位数字为：m，个位上的数字为10﹣n， ∴另一个两位数表示为：10m+（10﹣n）； ∴（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）， 故答案为：10m+（10﹣n），（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）； （3）证明：∵（10m+n）（10m+10﹣n） ＝100m2+100m﹣10mn+10mn+10n﹣n2 ＝100m（m+1）+n（10﹣n）， ∴（10m+n）（10m+10﹣n）＝100m（m+1）+n（10﹣n）． 27．（2025秋•海淀区校级期中）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1，乙长方形的两边长分别为m+2，m+4，面积为S2（其中m为正整数）． （1）S1＝ m2+8m+7　 ，S2＝ m2+6m+8　 （用含m的多项式表示），S1　＞　 S2（填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为S，求证：S﹣S1为定值． 【分析】（1）根据长方体的面积的公式以及多项式乘多项式的计算方法即可得出答案； （2）求出甲长方形的周长，进而求出正方形的边长，表示出正方形的面积后，再计算S﹣S1的值即可． 【解答】解：（1）由长方形的面积的计算方法可得， S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7， S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8， S1﹣S2＝2m﹣1， ∵m为正整数， ∴2m﹣1＞0， 即S1＞S2， 故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞； （2）甲长方形的周长为（m+7+m+1）×2＝4m+16， ∴周长为4m+16的正方形的边长为m+4， ∴边长为m+4的正方形的面积S＝（m+4）2＝m2+8m+16， ∴S﹣S1＝（m2+8m+16）﹣（m2+8m+7）＝9． 即S﹣S1为定值9． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 多项式乘多项式 考点一：多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bn. 注意点： （1)运用多项式乘多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时要按一定的顺序进行. （2）在相乘时防止漏项，检查有无漏项的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应 是这两个多项式项数的积. （3）各项的系数：由单项式与单项式相乘来确定积中各项的系数. （4）各项的排列：合并同类项之后，积中各项的排列一般按某一字母的升（或降）幂排列. （5）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号，“同号得正，异号得负”. （6）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项一定要合并同类项，化为最简结果. 考点二：多项式乘多项式的几何解释 如图大长方形的面积可以表示为(a+b）（m+n），也可以将大长方形的面积视为四个小长方形的面积之和，am+an+bm+bn，所以(a+b)（m+n）=am+an+bm+bn. 考点三：特殊形式:(x + p）(x + q） 展开推导:(x + p)(x + q) = x•x + x •q + p•x + p•q = x²+ (p + q)x + pq， 规律总结：两个一次二项式相乘（首项都是x），结果是一个二次三项式，其中： 二次项系数为1； 一次项系数为两个常数项p、q的和（p+q）； 常数项为两个常数项p、q的积（pq）. 考点四：整式乘法混合运算 运算顺序：先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行. 题型一：计算多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1） 不漏乘； （2）先定符号，再算数字：同号得正，异号得负，符号一错全错； （3）系数、字母都要乘：系数相乘，字母照抄，指数相加； （4）括号前是负号要特别小心：去括号时，每一项都要变号； （5）不要跳步． 【典例精讲】（2025秋•虹口区期末）计算：（2a﹣b）（a+3b）＝　　　　　　 ． 【变式训练1】（2025秋•花都区期末）计算：（x+2）（x+3）． 【变式训练2】（2025秋•朝阳区校级月考）计算： （1）2a2•（3a2﹣5b）； （2）（x+5）（x﹣7）． 题型二：多项式乘多项式化简求值 （1）去括号，逐项相乘：一个一个乘，不漏乘、不错号； （2）定符号：同号得正，异号得负，先写符号，再写数字； （3）合并同类项：把次数相同的项合并，化成最简多项式； （4）代入数值：化简完，再把 x=… 带进去算结果． （1）顺序错：没化简就直接代入； （2）漏乘； （3）符号错； （4）括号前是负号，只变第一项； （5）系数忘记乘； （6）代入求值时漏括号、符号错． 【典例精讲】（1）先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（x﹣3），其中x＝2； （2）已知x﹣y＝﹣3，求代数式（x﹣y）2•（y﹣x）+（x﹣y）3的值． 【变式训练1】先化简，再求值： （1）（x﹣2y）•（x+2y﹣1）+4y2，其中，x，y＝﹣1； （2）（a+b）•（2a﹣b）+（2a+b）•（a﹣2b），其中a＝﹣2，b＝3． 【变式训练2】（1）先化简再求值；（2x+1）（x﹣5）﹣（3x+1）（5x﹣2），其中x＝﹣1 （2）解方程：（2x+3）（x﹣4）﹣（x+2）（x﹣3）＝x2+6 题型三：不含某一项 （1）先展开：把两个多项式乘开，一项一项乘，不跳步； （2）合并同类项：将同次幂的项合并，整理成标准多项式形式（按降幂排列）； （3）找到“不含”的那一项 - 不含二次项 → 二次项系数 = 0； - 不含一次项 → 一次项系数 = 0； - 不含常数项 → 常数项 = 0； （4）令系数 = 0，解方程，求出字母的值． （1）合并同类项后再令系数为0：若展开后有多项是同一字母的同次幂，必须先合并，再令合并后的系数为0； （2）注意“不含”与“不含有”的区别； （3）参数的多解可能性：有时参数本身为0时，乘积恒为0，自然不含任何项． 【典例精讲】（2025秋•威远县期末）若（x2﹣x+m）（x﹣8）中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 【变式训练1】（2025秋•安顺期末）若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2 【变式训练2】（2025秋•陕西校级期末）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含x2的项和常数项． （1）分别求m、n的值； （2）求m2024n2025的值． 题型四：错解问题 （1）先写出“看错的算式”：把题目里“看错符号”后的式子写出来； （2）利用看错的结果，求出未知数：把看错的结果代入看错的式子，解出里面的字母 （3）再写出“正确的原式”：把符号改回正确的； （4）把求出的数代入正确式子，算出答案． （1）直接改结果的符号，不重新算； （2）求字母时，符号再次算错 （3）漏乘常数项； （4）把“看错的式子”和“正确的式子”搞混． 【典例精讲】（2025秋•农安县校级期末）在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），甲由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10． （1）试求出式子中a，b的值； （2）请你计算出这道整式乘法的正确结果． 【变式训练1】（2025秋•汉阴县期末）小华和小明同时计算一道整式乘法题（4x﹣a）（5x+b）．小华抄错了第一个多项式中a的符号，即把﹣a抄成了+a，得到结果为20x2﹣2x﹣6；小明把第二个多项式中的5x抄成了x，得到结果为4x2﹣14x+6． （1）求a，b的值； （2）请计算出这道题的正确结果． 【变式训练2】（2025春•余姚市校级期末）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到的结果是2x2+8x﹣24，乙错把a看成了﹣a，得到的结果是2x2+14x+20． （1）求a、b的值； （2）将a，b的值代入（2x+a）（x+b）并化简，求出正确的结果． 题型五：（x+p）（x+q）型 头乘头，尾乘尾，交叉相乘放中间，合并同类项． （1）只要有负号，一定要带着符号一起算； （2）漏写一次项 / 系数算错； （3）两个常数相乘，同号得正，异号得负； （4）展开后不合并同类项． 【典例精讲】（2025秋•衡山县期末）下列各运算中，结果等于x2﹣x﹣6的是（　　） A．（x+2）（x+3） B．（x+2）（x﹣3） C．（x﹣2）（x+3） D．（x﹣2）（x﹣3） 【变式训练1】（2025秋•西丰县期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（　　） A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6 【变式训练2】（2025秋•公主岭市期末）已知x2﹣x﹣4＝0，则（x﹣3）（x+2）的值等于（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D． 题型六：规律探究型问题 （1）审题与分析：明确题目背景，分清已知条件和待求问题，理解变量含义； （2）初步观察与列举：写出前3-5个具体实例； （3）寻找变化规律； （4）提出猜想：根据数据尝试写出第n项的表达式； （5）验证与修正：用n=1，2，3检验猜想是否正确； （6）归纳结论． （1）只看前2项就下结论； （2）把“序号 n”搞错：第1个对应 n=1，第2个 n=2，不是从0开始； （3）符号规律忘带 (-1)ⁿ； （4）图形规律：数错个数，只数看得见的，漏了隐藏/重叠部分； （5）写出规律不检验． 【典例精讲】（2025秋•东阳市期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4． 【应用体验】已知（x+2）4＝x4+8x3+mx2+32x+16，则m的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．24 【变式训练1】（2025秋•珠海校级期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，给出了二项式（a+b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律．如图所示： 观察这些规律，请写出（a+b）5展开式中a2b3项的系数为　　 ． 【变式训练2】（2025秋•东西湖区校级月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请解决如下问题： （1）请在图中括号内的数为 　 　 ；（a+b）21展开式共有 　 　 项，第19项系数为 　　 　； （2）根据上面的规律，写出（a+b）7的展开式：　 　　 　； （3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1． 题型七：几何背景 （1）画图：画大长方形，按项分段标上字母； （2）分块：横竖分段，标出每一小块长和宽； （3）算面积：每块面积=长×宽，全部相加； （4）合并同类项：整理成最简多项式． （1）线段长度必须为正数，字母表示线段时，所有字母都大于0； （2）面积只能加，不能直接减； （3）分长方形时别漏块、别重复； （4）同类项要对应图形； （5）公式别乱套，先看图形． 【典例精讲】（2025秋•薛城区期末）如图，用两种不同的方法计算大长方形的面积，我们可以验证等式（　　） A．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 B．（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2 C．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2 D．（a+b）（2a﹣b）＝2a2+ab﹣b2 【变式训练1】（2025秋•福州校级期末）如图，将长为a，宽为b的长方形纸板，在它的四角都切去一个边长为x的正方形，然后将四周突起部分折起；制成一个长方体形状的无盖纸盒．下列说法错误的有（　　） A．纸盒的容积等于x（a﹣2x）（b﹣2x） B．纸盒的表面积为ab﹣4x2 C．纸盒的底面积为ab﹣2（a+b）x﹣4x2 D．若制成的纸盒是正方体，则必须满足a＝b＝3x 【变式训练2】（2025秋•綦江区期末）有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a+b、宽为a+3b的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 题型八：混合运算 先算乘方，再算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后算多项式乘多项式；有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行. （1）运算顺序不能乱； （2）括号前有负号，每一项都变号； （3）多项式相乘一定不漏乘； （4）结果一定要最简； （5）系数、符号一起算：系数相乘，符号先定，同号得正，异号得负． 【典例精讲】（2025秋•龙州县校级月考）计算： （1）﹣2a2（3ab2﹣5ab3+1）； （2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）； （3）4xy（3x2+2xy﹣1）； （4）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）． 【变式训练1】（2025秋•德化县期末）计算：（x+2）（x﹣1）﹣x（x﹣3）． 【变式训练2】（2025秋•丰台区期末）计算：（x+2y）（2x﹣y）﹣x（x﹣2y）． 题型九：实际应用 对于多项式乘多项式的实际应用问题，核心是将实际问题转化为数学模型（多项式×多项式），然后按运算法则计算． （1）建模：将文字转化为代数式； （2）运算：展开并化简； （3）解释：将代数结果回归实际问题． （1）单位统一：实际问题中注意单位换算（如米/厘米，小时/分钟）； （2）意义检验：结果应为正数或符合实际范围（如人数为整数）； （3）逆向思维：有时已知结果求参数，需反推运算过程（参考“不含某一项”题型）． 【典例精讲】（2025秋•丰台区期末）如图，某小区准备在一个长为（4a+2b）m，宽为（3a+2b）m的长方形草坪上修建两条宽为bm的小路，则草坪（阴影部分）的总面积为　　 m2． 【变式训练1】（2025秋•朔州期末）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的增收机会．如图，长方形ABCD为某村的一块甜菜种植基地，其中AB＝（a+4b）m，AD＝（3a﹣2b）m．若该甜菜种植基地扩大为长方形AEFG，其中点B在AE上，点D在AG上，BE＝bm，DG＝am，则长方形AEFG的面积比长方形ABCD的面积增加了　　 m2． 【变式训练2】（2025秋•横山区期末）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为（4a+2b）米，宽为（3a+2b）米的长方形，卧室用地是长为（2a+b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形． （1）求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） （2）当a＝2，b＝2 时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【变式训练3】（2025秋•吐鲁番市期末）如图，有一块长（3a﹣5b）m、宽（a﹣b）m的长方形地块，现计划在中间修筑一个长am、宽（a﹣2b）m的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（a＞2b） （1）用含a，b的代数式表示草坪的面积；（结果需化简） （2）当a＝25，b＝5时，求草坪的面积． 题型十：多项式乘多项式新定义问题 （1）先读懂定义，圈出关键词，题目会给你一个新符号，把它翻译成：左边是什么，右边是什么，怎么运算； （2）严格照抄规则，不要自己创造，它怎么定义，你就原样代入，不联想以前的公式，不脑补、不创新； （3）把数字/式子精准替换进定义里，有括号先算括号里的； （4）变成我们学过的运算，按学过的方法正常算就行． （1）直接把新符号当成普通加、减、乘、除，题目定义什么规则，就严格按规则代，不能想当然； （2）代入时顺序搞反； （3）有括号时，不先算括号里，有括号必须先算括号内，再算外面； （4）多步运算跳步，新定义一定要一步一步写，不能心算． 【典例精讲】（2025秋•岳池县期末）定义：a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．若（x+2）※（x+4）＝ax2+bx+c，则a+c的值为　　 ． 【变式训练1】（2025秋•安顺期末）给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式P＝ax2+bx+c的特征系数对．把关于x的二次多项式P＝ax2+bx+c叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式． （1）关于x的二次多项式的特征系数对5x2﹣3x+1为　　 ； （2）求有序实数对（1，1，0）的特征多项式A与有序实数对（1，0，﹣1）的特征多项式B的乘积； （3）若有序实数对（p，q，﹣1）的特征多项式M与有序实数对（m，n，﹣2）的特征多项式N的乘积的结果为2x4+x3﹣5x2﹣x+2，请直接写出（4p﹣2q﹣1）（2m﹣n﹣1）的值为　　 ． 【变式训练2】（2025秋•思明区校级期末）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　 ． （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小聪继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3—系多项式”，求a与c的值． 【变式训练3】（2024秋•东城区校级期末）小聪研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．回答以下问题： （1）已知多项式（3x+2）（x﹣3），则此多项式的零点为　　 ； （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 题型十一：比较大小 （1）作差，要比较 A 和 B，先算 A-B； （2）展开、合并同类项，把多项式乘多项式全部展开，化简成整式； （3）判断符号 - 差 >0，则 A>B； - 差 =0，则 A=B； - 差 <0 ，则 A<B． （1）作差时一定要加括号； （2）去括号时负号要变号； （3）展开要一项一项乘，不漏不重； （4）合并同类项别抄错系数； （5）题目有范围/条件一定要用上． 【典例精讲】（2025秋•阳新县期末）乒乓球作为旋转最强的球类运动之一，比赛中球员通过不同的击球技巧，如弧圈球、快攻等给乒乓球施加旋转，使其在空中产生复杂的运动轨迹，常用“转/秒”（revolutionspersecond，简称rps）反映乒乓球每秒旋转的圈数．某场比赛，甲球员击球数据为（a+1）（a﹣8）rps，乙球员击球数据为a（2a﹣7）rps，谁击出的球更转（　　） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法确定 【变式训练1】（2025秋•鲤城区校级期末）阅读材料： 当a﹣b＞0时，一定有a＞b； 当a﹣b＝0时，一定有a＝b； 当a﹣b＜0时，一定有a＜b． 解决问题： （1）已知n为自然数，P＝（x+1）（x+4），Q＝（x+2）（x+3），试比较P与Q的大小； （2）已知A＝20260127×20260128，B＝20260129×20260126．请你直接写出A与B的大小比较后的结果． 【变式训练2】（2025秋•潮南区期末）甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别S1，S2． （1）求S1、S2，并比较S1与S2的大小；（写出比较大小的过程） （2）若满足条件21＜n≤|S1﹣S2|的整数n有且仅有4个，则m的值为　　 ． 1．（2025秋•美兰区校级期末）若（2x﹣3）（x+2）＝2x2+mx+n，则m与n的值分别是（　　） A．﹣1，6 B．1，﹣6 C．﹣3，﹣2 D．﹣3，2 2．（2025秋•甘肃校级期末）若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式（1﹣x）（1﹣y）的值等于（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 3．（2025秋•南部县期末）已知a2﹣5a﹣1＝0，代数式（a﹣1）（a﹣4）的值是（　　） A．﹣5 B．3 C．5 D．7 4．（2025秋•伊金霍洛旗期末）小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各10张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是（2a+3b）和（3a+2b）的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（　　） A．够用，剩余5张 B．够用，剩余1张 C．不够用，缺2张 D．不够用，缺3张 5．（2025秋•仁寿县期末）若关于x的多项式（x﹣2）（x2+mx+4）乘积不含x的二次项，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 6．（2025秋•龙马潭区期末）已知多项式ax﹣3与x﹣1的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（　　） A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．3 7．（2025秋•大连期末）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+4b）、宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，4，9 B．4，2，7 C．2，3，7 D．2，5，7 8．（2025秋•东港市校级期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③④ 9．（2025秋•德惠市期末）若（x﹣1）（x+2）＝ax2+bx+c，则代数式a+b+c的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣4 10．（2025秋•斗门区期末）甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（2025秋•恩施市期末）下面四个整式中，能表示图中阴影部分面积的是（　　） ①x2+5x ②x（x+3）+6 ③（x+3）（x+2）﹣2x ④3（x+2）+x2 A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．②③ 12．（2024秋•呼兰区期末）图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 13．（2025秋•西青区期末）（x+4）（x﹣2）＝ ． 14．（2025秋•衡山县期末）若三角形的底边为（3a+2b），底边上的高为（9a2﹣6ab+4b2），则面积为 ． 15．（2025秋•海沧区校级期末）一个长方形的长减少4cm，宽增加2cm后，面积保持不变．已知这个长方形原来的长是12cm，则它原来的宽为 ． 16．（2025秋•四川期末）已知，ab＝2，则（5﹣3a）（5+3b）的值为 ． 17．（2025秋•望花区期末）小明在计算（x+3）（x﹣■）时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为﹣2，则被染黑的常数为 ． 18．（2025秋•金昌校级期末）计算：2x（x﹣2）+（4+2x）（2﹣x）． 19．（2025秋•山丹县校级期末）计算： （1）（﹣2x2y）3+（﹣x3）2（﹣y）2y； （2）（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）． 20．（2025秋•武都区期末）试说明：代数式（2x+3）（6x+2）﹣6x（2x+13）+8（7x+2）的值与x的取值无关． 21．（2025秋•宜昌期末）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项． （1）求m，n的值； （2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 22．（2025秋•洪雅县期末）如图，学校有一块长方形的劳动教育基地，长为6b米，宽为2a米，为了满足需要，需在旁边开垦出新的土地，使原来的长增加a米，宽增加b米． （1）求该基地现在的土地面积．（用含a、b的式子表示） （2）当a＝4、b＝3时，求增加的土地面积． 23．（2025秋•峰峰矿区月考）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． （1）若A＝x+3，B＝2x﹣1，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． （2）若A＝x﹣3，B＝x2+ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 24．（2025秋•东坡区校级期中）已知代数式A＝x2+mx﹣3，B＝2x+n． （1）A与B的积中不含x的二次项，且常数项为﹣6，求m、n的值； （2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值． 25．（2024秋•内江期末）[知识回顾] 已知代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值． 解题方法：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b满足的等量关系． 26．（2024秋•临沂期末）阅读材料． 计算下列两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算： 24×26＝624，32×38＝1216，47×43＝2021，52×58＝3016； 小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数相乘，十位上的数乘以它与1的和作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和个位： 解决问题： （1）小明邀请田田利用上述速算方法，计算47×43的积为 ； （2）尝试用含有字母的式子表示上述规律： 如果设一个两位数十位上的数是m（0＜m＜10，且m为整数），个位上的数是n（0＜n＜10，且n为整数），那么这个两位数可以表示为10m+n，则另一个两位数可以表示为 ，上述规律可以表示为 （用含m，n的式子表示）； （3）尝试对这个规律进行证明． 27．（2025秋•海淀区校级期中）如图，甲长方形的两边长分别为m+1，m+7，面积为S1，乙长方形的两边长分别为m+2，m+4，面积为S2（其中m为正整数）． （1）S1＝ ，S2＝ （用含m的多项式表示），S1　　 S2（填“＜”、“＝”或“＞”）； （2）有一正方形，其周长与甲长方形周长相等，面积为S，求证：S﹣S1为定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $