小升初奥数培优：组合图形的表面积与体积-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《组合图形的表面积与体积（切拼问题）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握的长方体、正方体等基本立体图形的基础上，生活中还有许多更复杂的物体，它们往往是由多个基本图形“切”或“拼”而成的组合体。比如：一个长方体中间挖去一个小正方体，或几个小正方体拼成一个不规则形状——这些都属于组合图形的切拼问题。 本讲义将带领大家深入探究这类图形的表面积与体积变化规律，掌握“切”与“拼”背后的数学逻辑。通过观察、想象、计算，提升空间观念与推理能力。希望你们在学习中多动手、多画图、多思考，把复杂问题拆解为简单模型，真正做到“化繁为简，以不变应万变”。 让我们一起开启这段充满挑战与乐趣的数学之旅吧！ 知识梳理 1、组合图形的基本概念 （1）定义：由两个或两个以上的基本立体图形（如长方体、正方体）通过拼接、切割、挖空等方式组合而成的立体图形，称为组合图形。 （2）常见形式： 拼接：多个图形粘合在一起； 切割：从一个图形中切下一部分； 挖空：从内部挖去一个小图形（如打孔、掏洞）。 2、体积的计算原则 （1）体积具有可加性： 拼接图形：总体积 = 各部分体积之和； 切割或挖空图形：剩余体积 = 原体积 - 被切去部分体积。 （2）公式回顾： 长方体体积： 正方体体积： 单位统一：长度单位用 cm、dm、m，体积单位对应为 cm³、dm³、m³。 3、表面积的计算原则 （1）表面积不具有可加性： 拼接时，接触面被“隐藏”，表面积减少； 切割或挖空时，新增了内表面，表面积增加。 （2）关键方法： 拼接问题：总表面积 = 各图形表面积之和 - 接触面面积 × 2（因两个面被遮挡）； 切割问题：每切一刀，增加两个新面，表面积增加 = 新增面面积 × 2； 挖空问题：挖去一个小图形，原外表面减少被遮部分，但内表面增加，需分类计算。 4、切拼问题的核心规律 （1）切一刀，增两面： 无论怎么切，只要切开，就会多出两个相同的截面； 增加的表面积 = 截面面积 × 2。 （2）拼一次，减两面： 两个图形拼合，会“消失”两个接触面； 减少的表面积 = 接触面面积 × 2。 （3）挖空问题： 外表面：原表面积减去被挖掉的面； 内表面：挖去部分的侧面积（如挖正方体孔，则为四个侧面）； 注意：若挖通，可能增加更多内壁。 5、注意事项 所有计算必须单位统一； 表面积只算外露部分，内部接触面不计入； 画示意图有助于理解结构； 多步操作要逐步分析，避免遗漏。 例题讲解 【例题1】（基础拼接问题） 题目：把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，每个正方体的棱长是 4 cm。求拼成的长方体的表面积和体积。 解析： 单个正方体体积： （cm³） 总体积： （cm³） 单个正方体表面积： （cm²） 两个独立总表面积： （cm²） 拼接时，接触面面积： （cm²），减少两个面，共减 （cm²） 拼后表面积： （cm²） 答：体积是 128 cm³，表面积是 160 cm²。 【跟踪训练】 题目：用三个棱长为 3 cm 的正方体拼成一个长方体，求这个长方体的表面积和体积。 【例题2】（切割问题） 题目：一个长方体长 10 cm，宽 8 cm，高 6 cm。沿平行于底面的方向切成两个完全相同的小长方体。求表面积共增加了多少？每个小长方体的表面积是多少？ 解析： 切一刀，增加两个新面，每个面面积 = 底面积 = （cm²） 增加表面积： （cm²） 原表面积： （cm²） 切后总表面积： （cm²） 每个小长方体高为 cm 小长方体表面积： （cm²） 答：表面积共增加 160 cm²，每个小长方体表面积为 268 cm²。 【跟踪训练】 题目：把一个棱长为 6 cm 的正方体沿竖直方向切成三个完全相同的小长方体，求表面积共增加了多少。 【例题3】（挖空问题） 题目：一个长方体长 12 cm，宽 10 cm，高 8 cm。从它的上表面正中央挖去一个棱长为 4 cm 的正方体小孔（未挖通）。求剩余部分的表面积和体积。 解析： 原体积： （cm³） 挖去体积： （cm³） 剩余体积： （cm³） 原表面积： （cm²） 挖去后： 外表面减少：顶面被挖掉 （cm²） 新增内表面：四个侧面，每个 （cm²），共 （cm²） 剩余表面积： （cm²） 答：剩余体积为 896 cm³，表面积为 640 cm²。 【跟踪训练】 题目：一个正方体棱长为 10 cm，从中心挖去一个底面为 4 cm×4 cm、高为 10 cm 的长方体孔（贯通上下）。求剩余部分的表面积。 提升练习 1.把两个长 8 cm、宽 6 cm、高 4 cm 的长方体拼成一个大长方体，有几种拼法？哪种拼法表面积最小？ 2.一个正方体棱长 9 cm，沿三个方向各切两刀（等距），变成 27 个小正方体。求表面积共增加多少。 3.一个长方体长 20 cm，宽 15 cm，高 10 cm，从中间挖去一个长 6 cm、宽 5 cm、高 10 cm 的长方体孔（贯通）。求剩余部分的表面积。 4.把一个长方体切成三个小长方体，表面积共增加了 120 cm²。若切的是平行于底面的两刀，求原长方体的底面积。 5.用 4 个棱长为 3 cm 的正方体拼成一个长方体，求拼成后的最小表面积。 6.一个正方体被切去一个角（小正方体），棱长为原 ，求剩余部分的表面积与原表面积的比。 模拟赛场 1.把三个相同的长方体（长 10 cm，宽 6 cm，高 4 cm）拼成一个大长方体，求表面积最小是多少。 2.一个长方体长 18 cm，宽 12 cm，高 8 cm，沿长、宽、高方向各切一刀（等分），求表面积共增加多少。 3.从一个棱长为 12 cm 的正方体顶点处挖去一个棱长为 4 cm 的小正方体，求剩余部分的表面积。 4.把一个长方体切成 6 个完全相同的小长方体，最少需要切几刀？表面积最多增加多少？（设原长方体可分） 5.一个正方体被切成 27 个相同的小正方体，其中有些小正方体被涂色。若只有表面被涂色，求未涂色的小正方体个数。 6.一个长方体长 24 cm，宽 18 cm，高 12 cm，把它切成若干个相同的小正方体（无剩余），小正方体棱长最大是多少？能切多少个？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《组合图形的表面积与体积（切拼问题）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握的长方体、正方体等基本立体图形的基础上，生活中还有许多更复杂的物体，它们往往是由多个基本图形“切”或“拼”而成的组合体。比如：一个长方体中间挖去一个小正方体，或几个小正方体拼成一个不规则形状——这些都属于组合图形的切拼问题。 本讲义将带领大家深入探究这类图形的表面积与体积变化规律，掌握“切”与“拼”背后的数学逻辑。通过观察、想象、计算，提升空间观念与推理能力。希望你们在学习中多动手、多画图、多思考，把复杂问题拆解为简单模型，真正做到“化繁为简，以不变应万变”。 让我们一起开启这段充满挑战与乐趣的数学之旅吧！ 知识梳理 1、组合图形的基本概念 （1）定义：由两个或两个以上的基本立体图形（如长方体、正方体）通过拼接、切割、挖空等方式组合而成的立体图形，称为组合图形。 （2）常见形式： 拼接：多个图形粘合在一起； 切割：从一个图形中切下一部分； 挖空：从内部挖去一个小图形（如打孔、掏洞）。 2、体积的计算原则 （1）体积具有可加性： 拼接图形：总体积 = 各部分体积之和； 切割或挖空图形：剩余体积 = 原体积 - 被切去部分体积。 （2）公式回顾： 长方体体积： 正方体体积： 单位统一：长度单位用 cm、dm、m，体积单位对应为 cm³、dm³、m³。 3、表面积的计算原则 （1）表面积不具有可加性： 拼接时，接触面被“隐藏”，表面积减少； 切割或挖空时，新增了内表面，表面积增加。 （2）关键方法： 拼接问题：总表面积 = 各图形表面积之和 - 接触面面积 × 2（因两个面被遮挡）； 切割问题：每切一刀，增加两个新面，表面积增加 = 新增面面积 × 2； 挖空问题：挖去一个小图形，原外表面减少被遮部分，但内表面增加，需分类计算。 4、切拼问题的核心规律 （1）切一刀，增两面： 无论怎么切，只要切开，就会多出两个相同的截面； 增加的表面积 = 截面面积 × 2。 （2）拼一次，减两面： 两个图形拼合，会“消失”两个接触面； 减少的表面积 = 接触面面积 × 2。 （3）挖空问题： 外表面：原表面积减去被挖掉的面； 内表面：挖去部分的侧面积（如挖正方体孔，则为四个侧面）； 注意：若挖通，可能增加更多内壁。 5、注意事项 所有计算必须单位统一； 表面积只算外露部分，内部接触面不计入； 画示意图有助于理解结构； 多步操作要逐步分析，避免遗漏。 例题讲解 【例题1】（基础拼接问题） 题目：把两个完全相同的正方体拼成一个长方体，每个正方体的棱长是 4 cm。求拼成的长方体的表面积和体积。 解析： 单个正方体体积： （cm³） 总体积： （cm³） 单个正方体表面积： （cm²） 两个独立总表面积： （cm²） 拼接时，接触面面积： （cm²），减少两个面，共减 （cm²） 拼后表面积： （cm²） 答：体积是 128 cm³，表面积是 160 cm²。 【跟踪训练】 题目：用三个棱长为 3 cm 的正方体拼成一个长方体，求这个长方体的表面积和体积。 答案与解析： 体积： （cm³） 单个表面积： （cm²） 三个独立总表面积： （cm²） 拼接两次，每次减少两个接触面（ cm²），共减少 （cm²） 表面积： （cm²） 答：体积 81 cm³，表面积 126 cm²。 【例题2】（切割问题） 题目：一个长方体长 10 cm，宽 8 cm，高 6 cm。沿平行于底面的方向切成两个完全相同的小长方体。求表面积共增加了多少？每个小长方体的表面积是多少？ 解析： 切一刀，增加两个新面，每个面面积 = 底面积 = （cm²） 增加表面积： （cm²） 原表面积： （cm²） 切后总表面积： （cm²） 每个小长方体高为 cm 小长方体表面积： （cm²） 答：表面积共增加 160 cm²，每个小长方体表面积为 268 cm²。 【跟踪训练】 题目：把一个棱长为 6 cm 的正方体沿竖直方向切成三个完全相同的小长方体，求表面积共增加了多少。 答案与解析： 切两刀，每刀增加两个面，共增加 个面； 每个新增面面积： （cm²） 增加总面积： （cm²） 答：表面积共增加 144 cm²。 【例题3】（挖空问题） 题目：一个长方体长 12 cm，宽 10 cm，高 8 cm。从它的上表面正中央挖去一个棱长为 4 cm 的正方体小孔（未挖通）。求剩余部分的表面积和体积。 解析： 原体积： （cm³） 挖去体积： （cm³） 剩余体积： （cm³） 原表面积： （cm²） 挖去后： 外表面减少：顶面被挖掉 （cm²） 新增内表面：四个侧面，每个 （cm²），共 （cm²） 剩余表面积： （cm²） 答：剩余体积为 896 cm³，表面积为 640 cm²。 【跟踪训练】 题目：一个正方体棱长为 10 cm，从中心挖去一个底面为 4 cm×4 cm、高为 10 cm 的长方体孔（贯通上下）。求剩余部分的表面积。 答案与解析： 原表面积： （cm²） 挖去后： 上下表面各减少 （cm²），共减 （cm²） 新增内壁：四个侧面，每个面积 （cm²），共 （cm²） 剩余表面积： （cm²） 答：剩余表面积为 728 cm²。 提升练习 1.把两个长 8 cm、宽 6 cm、高 4 cm 的长方体拼成一个大长方体，有几种拼法？哪种拼法表面积最小？ 2.一个正方体棱长 9 cm，沿三个方向各切两刀（等距），变成 27 个小正方体。求表面积共增加多少。 3.一个长方体长 20 cm，宽 15 cm，高 10 cm，从中间挖去一个长 6 cm、宽 5 cm、高 10 cm 的长方体孔（贯通）。求剩余部分的表面积。 4.把一个长方体切成三个小长方体，表面积共增加了 120 cm²。若切的是平行于底面的两刀，求原长方体的底面积。 5.用 4 个棱长为 3 cm 的正方体拼成一个长方体，求拼成后的最小表面积。 6.一个正方体被切去一个角（小正方体），棱长为原 ，求剩余部分的表面积与原表面积的比。 答案与解析 1.三种拼法（按长、宽、高拼），按最大面拼（8×6 面接触）表面积最小。最小表面积： （cm²） 2.原表面积： ，切后每个小正方体表面积 ，共 ，增加 （cm²） 3.原表面积： ，减少上下 ，增加内壁 ，总表面积 （cm²） 4.切两刀平行底面，增加 4 个底面， ， （cm²） 5.拼成 12×3×3，表面积 （cm²） 6.原表面积 ，挖去后减少 3 个面（ ），增加 3 个新面，净不变，但实际挖角后外露面不变，表面积不变 模拟赛场 1.把三个相同的长方体（长 10 cm，宽 6 cm，高 4 cm）拼成一个大长方体，求表面积最小是多少。 2.一个长方体长 18 cm，宽 12 cm，高 8 cm，沿长、宽、高方向各切一刀（等分），求表面积共增加多少。 3.从一个棱长为 12 cm 的正方体顶点处挖去一个棱长为 4 cm 的小正方体，求剩余部分的表面积。 4.把一个长方体切成 6 个完全相同的小长方体，最少需要切几刀？表面积最多增加多少？（设原长方体可分） 5.一个正方体被切成 27 个相同的小正方体，其中有些小正方体被涂色。若只有表面被涂色，求未涂色的小正方体个数。 6.一个长方体长 24 cm，宽 18 cm，高 12 cm，把它切成若干个相同的小正方体（无剩余），小正方体棱长最大是多少？能切多少个？ 答案与解析 1.拼成 10×18×4，表面积最小，计算得 664 cm² 2.每切一刀增两个面，共切三刀，增 （cm²） 3.挖角后，减少 3 个面，增加 3 个面，表面积不变，仍为 （cm²） 4.最少切 3 刀（如 3×2×1 分），最多增加 ，具体依原尺寸 5.27 个小正方体中，内部 1 个未涂色 6.最大棱长为 24、18、12 的最大公约数 6 cm，可切 个 学科网（北京）股份有限公司 $