小升初奥数培优：比例尺的实际应用（地图与模型）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《比例尺的实际应用（地图与模型）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在日常生活中，我们常常会遇到“缩小”或“放大”的现象：一张地图把广阔的国土浓缩在纸上，一个建筑模型把高楼大厦微缩成掌中景观。这些都离不开一个重要的数学工具——比例尺。 比例尺不仅是图形与现实之间的“翻译官”，更是我们解决实际问题的得力助手。本讲义将带领你们深入理解比例尺的本质，掌握它在地图、模型、设计图等真实情境中的灵活应用。我们将从基础出发，逐步挑战更复杂的实际问题，如路线规划、面积换算、模型制作等。 希望你们在学习中做到：细心观察、准确换算、善于推理、联系生活。相信通过本讲的学习，你们不仅能提升数学能力，更能用数学的眼光去发现和解决生活中的问题！ 知识梳理 1、比例尺的基本概念 （1）定义：比例尺是图上距离与实际距离的比，通常写成前项为1的比，如 。 （2）公式： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 （3）形式： 数值比例尺：如 线段比例尺：如 ───┬─── 表示 0 1km 2km （4）单位换算：1 km = 1000 m = 100000 cm 2、比例尺在地图中的应用 （1）计算实际距离：量出图上距离，结合比例尺计算。 （2）计算图上距离：已知实际距离，按比例尺缩小。 （3）路线距离计算：分段测量后累加，再换算为实际路程。 （4）方向与位置：结合方向标判断方位，进行定位。 3、比例尺在模型中的应用 （1）模型制作：按比例缩小或放大物体的长、宽、高。 （2）体积与面积的换算： 面积比 = 比例尺的平方 体积比 = 比例尺的立方 （2）材料估算：根据模型比例估算所需材料的实际用量。 4、复杂情境中的转化 （1）多比例尺地图的转换：不同地图比例尺不同，需统一换算。 （2）比例尺与速度、时间结合：如根据地图距离计算行车时间。 （3）比例尺与面积、体积的实际问题：如计算模型占地面积、储水量等。 5、注意事项 使用比例尺时，单位必须统一； 测量图上距离要精确； 实际问题中注意“四舍五入”和合理性； 比例尺是长度比，面积和体积需平方或立方换算。 例题讲解 【例题1】（基础地图应用） 题目：一张地图的比例尺是 ，图上量得A、B两地的距离是 4.5 cm。求A、B两地的实际距离是多少千米？ 解析： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 实际距离 = （cm） 换算： 答：A、B两地实际距离为 9 千米。 【跟踪训练】 题目：某地图比例尺为 ，图上量得甲、乙两村相距 6.2 cm，求实际距离（千米）。 答案与解析： 实际距离 = cm = 18.6 km 答：实际距离为 18.6 千米。 【例题2】（模型制作中的比例应用） 题目：一个教学楼模型的比例尺是 ，模型中教学楼高 36 cm，长 50 cm。求实际教学楼的高度和长度。 解析： 实际高度 = cm = 36 m 实际长度 = cm = 50 m 答：实际高度为 36 米，长度为 50 米。 【跟踪训练】 题目：一个汽车模型按 制作，模型长 20 cm，求实际汽车长度（米）。 答案与解析： 实际长度 = cm = 5 m 答：实际汽车长 5 米。 【例题3】（面积的比例尺应用） 题目：一张城市规划图比例尺为 ，图上一个公园的面积是 8 cm²。求该公园的实际面积（平方米）。 解析： 面积比 = 比例尺的平方 = 实际面积 = cm² 换算： 答：实际面积为 20000 平方米。 【跟踪训练】 题目：某模型图比例尺 ，图上一块草坪面积为 12.5 cm²，求实际面积（平方米）。 答案与解析： 面积比 = ，实际面积 = cm² = 50 m² 答：实际面积为 50 平方米。 【例题4】（综合应用：路线与时间） 题目：小明从家到学校的地图比例尺是 ，图上路线长 7.5 cm。小明每分钟走 50 米，问他从家到学校需要多少分钟？ 解析： 实际距离 = cm = 750 m 时间 = （分钟） 答：需要 15 分钟。 【跟踪训练】 题目：地图比例尺 ，图上公路长 8 cm，汽车以每小时 60 km 的速度行驶，求通过这段公路需要多少分钟？ 答案与解析： 实际距离 = cm = 1.2 km 时间 = 小时 = 分钟 答：需要 1.2 分钟。 提升练习 1.一张地图比例尺为 ，图上量得铁路线长 12.8 cm，求实际长度（千米）。 2.一个飞机模型比例尺为 ，模型翼展 40 cm，求实际翼展（米）。 3.某公园规划图比例尺 ，图上湖泊面积 6.25 cm²，求实际面积（平方米）。 4.小华骑自行车从A地到B地，地图比例尺 ，图上距离 9 cm，他每分钟骑 250 米，求所需时间（分钟）。 5.两个模型车，比例尺分别为 和 ，实际车长相同。若第一个模型长 25 cm，求第二个模型长。 6.一个长方体模型比例尺 ，模型体积 800 cm³，求实际体积（立方米）。 答案及解析 1. cm = 32 km 2.实际翼展 = cm = 60 m 3.实际面积 = cm² = 10000 m² 4.实际距离 = cm = 9 km，时间 = 分钟 5.实际车长 = cm，第二个模型长 = cm 6.体积比 = ，实际体积 = cm³ = 0.8 m³ 模拟赛场 1.一张地图比例尺 ，小李从甲地到乙地图上走了 15 cm，实际步行速度为每分钟 60 米，中途休息 10 分钟，求共用时间（分钟）。 2.一个建筑模型比例尺 ，模型占地面积 250 cm²，求实际建筑面积（平方米）。 3.两幅地图表示同一地区，比例尺分别为 和 。若第一幅图上距离为 10 cm，求第二幅图上对应距离。 4.一个正方体模型比例尺 ，模型表面积 864 cm²，求实际棱长（米）。 5.小明按 画学校平面图，操场实际长 100 米，宽 60 米，求图上长和宽（厘米）。 6.一个水池模型比例尺 ，模型可装水 500 mL，求实际水池可装水多少立方米？ 答案及解析 1.实际距离 = cm = 9 km = 9000 m，步行时间 = 分钟，总时间 = 分钟 2.实际面积 = cm² = 160 m² 3.实际距离 = cm，第二幅图距离 = cm 4.模型一个面面积 = cm²，棱长 = cm，实际棱长 = cm = 1.44 m 5.图上长 = cm，宽 = cm 6.体积比 = ，实际体积 = mL = 500 L = 0.5 m³ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《比例尺的实际应用（地图与模型）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在日常生活中，我们常常会遇到“缩小”或“放大”的现象：一张地图把广阔的国土浓缩在纸上，一个建筑模型把高楼大厦微缩成掌中景观。这些都离不开一个重要的数学工具——比例尺。 比例尺不仅是图形与现实之间的“翻译官”，更是我们解决实际问题的得力助手。本讲义将带领你们深入理解比例尺的本质，掌握它在地图、模型、设计图等真实情境中的灵活应用。我们将从基础出发，逐步挑战更复杂的实际问题，如路线规划、面积换算、模型制作等。 希望你们在学习中做到：细心观察、准确换算、善于推理、联系生活。相信通过本讲的学习，你们不仅能提升数学能力，更能用数学的眼光去发现和解决生活中的问题！ 知识梳理 1、比例尺的基本概念 （1）定义：比例尺是图上距离与实际距离的比，通常写成前项为1的比，如 。 （2）公式： 图上距离 = 实际距离 × 比例尺 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 比例尺 = 图上距离 : 实际距离 （3）形式： 数值比例尺：如 线段比例尺：如 ───┬─── 表示 0 1km 2km （4）单位换算：1 km = 1000 m = 100000 cm 2、比例尺在地图中的应用 （1）计算实际距离：量出图上距离，结合比例尺计算。 （2）计算图上距离：已知实际距离，按比例尺缩小。 （3）路线距离计算：分段测量后累加，再换算为实际路程。 （4）方向与位置：结合方向标判断方位，进行定位。 3、比例尺在模型中的应用 （1）模型制作：按比例缩小或放大物体的长、宽、高。 （2）体积与面积的换算： 面积比 = 比例尺的平方 体积比 = 比例尺的立方 （2）材料估算：根据模型比例估算所需材料的实际用量。 4、复杂情境中的转化 （1）多比例尺地图的转换：不同地图比例尺不同，需统一换算。 （2）比例尺与速度、时间结合：如根据地图距离计算行车时间。 （3）比例尺与面积、体积的实际问题：如计算模型占地面积、储水量等。 5、注意事项 使用比例尺时，单位必须统一； 测量图上距离要精确； 实际问题中注意“四舍五入”和合理性； 比例尺是长度比，面积和体积需平方或立方换算。 例题讲解 【例题1】（基础地图应用） 题目：一张地图的比例尺是 ，图上量得A、B两地的距离是 4.5 cm。求A、B两地的实际距离是多少千米？ 解析： 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺 实际距离 = （cm） 换算： 答：A、B两地实际距离为 9 千米。 【跟踪训练】 题目：某地图比例尺为 ，图上量得甲、乙两村相距 6.2 cm，求实际距离（千米）。 【例题2】（模型制作中的比例应用） 题目：一个教学楼模型的比例尺是 ，模型中教学楼高 36 cm，长 50 cm。求实际教学楼的高度和长度。 解析： 实际高度 = cm = 36 m 实际长度 = cm = 50 m 答：实际高度为 36 米，长度为 50 米。 【跟踪训练】 题目：一个汽车模型按 制作，模型长 20 cm，求实际汽车长度（米）。 【例题3】（面积的比例尺应用） 题目：一张城市规划图比例尺为 ，图上一个公园的面积是 8 cm²。求该公园的实际面积（平方米）。 解析： 面积比 = 比例尺的平方 = 实际面积 = cm² 换算： 答：实际面积为 20000 平方米。 【跟踪训练】 题目：某模型图比例尺 ，图上一块草坪面积为 12.5 cm²，求实际面积（平方米）。 【例题4】（综合应用：路线与时间） 题目：小明从家到学校的地图比例尺是 ，图上路线长 7.5 cm。小明每分钟走 50 米，问他从家到学校需要多少分钟？ 解析： 实际距离 = cm = 750 m 时间 = （分钟） 答：需要 15 分钟。 【跟踪训练】 题目：地图比例尺 ，图上公路长 8 cm，汽车以每小时 60 km 的速度行驶，求通过这段公路需要多少分钟？ 提升练习 1.一张地图比例尺为 ，图上量得铁路线长 12.8 cm，求实际长度（千米）。 2.一个飞机模型比例尺为 ，模型翼展 40 cm，求实际翼展（米）。 3.某公园规划图比例尺 ，图上湖泊面积 6.25 cm²，求实际面积（平方米）。 4.小华骑自行车从A地到B地，地图比例尺 ，图上距离 9 cm，他每分钟骑 250 米，求所需时间（分钟）。 5.两个模型车，比例尺分别为 和 ，实际车长相同。若第一个模型长 25 cm，求第二个模型长。 6.一个长方体模型比例尺 ，模型体积 800 cm³，求实际体积（立方米）。 模拟赛场 1.一张地图比例尺 ，小李从甲地到乙地图上走了 15 cm，实际步行速度为每分钟 60 米，中途休息 10 分钟，求共用时间（分钟）。 2.一个建筑模型比例尺 ，模型占地面积 250 cm²，求实际建筑面积（平方米）。 3.两幅地图表示同一地区，比例尺分别为 和 。若第一幅图上距离为 10 cm，求第二幅图上对应距离。 4.一个正方体模型比例尺 ，模型表面积 864 cm²，求实际棱长（米）。 5.小明按 画学校平面图，操场实际长 100 米，宽 60 米，求图上长和宽（厘米）。 6.一个水池模型比例尺 ，模型可装水 500 mL，求实际水池可装水多少立方米？ 学科网（北京）股份有限公司 $