小升初奥数培优：比例的性质与解比例（连比）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《比例的性质与解比例（连比）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 比例是数学中极为重要的概念，它不仅贯穿于小学高年级的学习，更是未来初中代数、几何、函数等知识的基石。在现实生活中，比例无处不在：地图上的比例尺、调配饮料的配方、工程图纸的缩放……都离不开比例的运用。 本讲义聚焦于“比例的性质与解比例”，并进一步拓展到“连比”问题。我们将从基本性质出发，深入理解比例的内在逻辑，掌握解比例的方法，并学会将多个比联系起来进行推理与计算。通过系统学习，你将具备更强的逻辑思维能力和实际应用能力。 希望你们在学习中做到：理解本质、熟练运算、灵活应用、勇于挑战。让我们一起走进比例的奇妙世界，感受数学的简洁与力量！ 知识梳理 1、比例的基本概念 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 如： ，写作 ，称为比例式。 （2）比例的组成： 外项：比例式中第一个和第四个数（如 3 和 8）； 内项：比例式中第二个和第三个数（如 4 和 6）。 （3）比例的基本性质： 内项积等于外项积：在比例 中，有 。 这是解比例的核心依据。 2、解比例的方法 （1）根据比例性质解方程： 将比例式转化为乘法等式； 解出未知数。 例如： ，可得 ，解得 。 （2）步骤： 写出比例式； 应用内项积=外项积； 解方程； 检验结果是否合理。 3、连比的概念与应用 （1）定义：三个或三个以上的量之间的比，称为连比。 如： ，表示 a、b、c 之间的相对关系。 （2）连比的性质： 连比中的各项可以同时乘或除以同一个不为零的数，比值不变； 连比不能直接相加减，但可通过设“一份量”来求具体数值。 （3）连比的转化方法： 若已知 ， ，要求 ，需统一中间量 的份数； 找 的最小公倍数，统一份数后合并。 例如： ， ， 则 。 4、比例的应用场景 （1）按比例分配：已知总量和比，求各部分。 方法：先求总份数，再用总量 ÷ 总份数 = 一份量，最后乘以各部分份数。 （2）比例尺问题：图上距离 : 实际距离 = 比例尺。 注意单位统一。 （3）行程、工程、浓度等问题中的比例关系。 5、注意事项 解比例时，未知数一般设在前项或后项，注意位置； 连比中必须统一中间量； 所有计算结果应化为最简比； 实际问题中注意单位换算和合理性检验。 例题讲解 【例题1】（比例的基本性质应用） 题目：判断下面每组比是否能组成比例，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） ， ，比值相等，能组成比例。 （2） ， ，比值相等，能组成比例。 答：都能组成比例。 【跟踪训练】 题目：判断 和 是否能组成比例。 【例题2】（解比例） 题目：解比例： 解析： 根据比例性质： 计算右边： 所以： 解得： 答： 【跟踪训练】 题目：解比例： 【例题3】（连比的转化） 题目：已知 ， ，求 。 解析： 统一 的份数。 （乘3） （乘2） 所以 答： 【跟踪训练】 题目：已知 ， ，求 。 【例题4】（按比例分配应用） 题目：甲、乙、丙三人合买一台打印机，价格为 2700 元，三人出资比为 。每人各出多少元？ 解析： 总份数： 份 一份量： 元 甲： 元 乙： 元 丙： 元 答：甲出 600 元，乙出 900 元，丙出 1200 元。 【跟踪训练】 题目：一个长方形的周长是 80 cm，长与宽的比是 。求这个长方形的面积。 提升练习 1.解比例： 2.已知 ， ，求 。 3.一个三角形三个内角的比是 ，求最大角的度数。 4.甲、乙两数的比是 ，乙、丙两数的比是 ，且甲数是 18，求丙数。 5.一幅地图的比例尺是 ，图上 A、B 两地距离为 6.4 cm，求实际距离（千米）。 6.一个长方体的棱长总和是 144 cm，长、宽、高的比是 ，求体积。 模拟赛场 1.甲、乙、丙三人跑步速度比为 ，同时从同地出发，当乙跑完 1200 米时，甲和丙各跑了多少米？ 2.一个分数，分子与分母的和是 90，分子与分母的比是 ，求这个分数。 3.有三桶油，重量比为 ，如果从第三桶倒出 6 kg 给第一桶，则三桶油重量相等。求原来三桶油各重多少千克？ 4.两个正方形边长比是 ，面积和是 130 cm²，求较小正方形的面积。 5.甲、乙两车从 A、B 两地同时相对开出，速度比为 ，相遇时乙车比甲车多行了 36 千米，求 A、B 两地距离。 6.一个长方体水箱，长、宽、高的比是 ，如果将水箱装满水后倒入一个棱长为 12 cm 的正方体容器中，恰好倒满。求水箱的长、宽、高。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《比例的性质与解比例（连比）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 比例是数学中极为重要的概念，它不仅贯穿于小学高年级的学习，更是未来初中代数、几何、函数等知识的基石。在现实生活中，比例无处不在：地图上的比例尺、调配饮料的配方、工程图纸的缩放……都离不开比例的运用。 本讲义聚焦于“比例的性质与解比例”，并进一步拓展到“连比”问题。我们将从基本性质出发，深入理解比例的内在逻辑，掌握解比例的方法，并学会将多个比联系起来进行推理与计算。通过系统学习，你将具备更强的逻辑思维能力和实际应用能力。 希望你们在学习中做到：理解本质、熟练运算、灵活应用、勇于挑战。让我们一起走进比例的奇妙世界，感受数学的简洁与力量！ 知识梳理 1、比例的基本概念 （1）定义：表示两个比相等的式子叫做比例。 如： ，写作 ，称为比例式。 （2）比例的组成： 外项：比例式中第一个和第四个数（如 3 和 8）； 内项：比例式中第二个和第三个数（如 4 和 6）。 （3）比例的基本性质： 内项积等于外项积：在比例 中，有 。 这是解比例的核心依据。 2、解比例的方法 （1）根据比例性质解方程： 将比例式转化为乘法等式； 解出未知数。 例如： ，可得 ，解得 。 （2）步骤： 写出比例式； 应用内项积=外项积； 解方程； 检验结果是否合理。 3、连比的概念与应用 （1）定义：三个或三个以上的量之间的比，称为连比。 如： ，表示 a、b、c 之间的相对关系。 （2）连比的性质： 连比中的各项可以同时乘或除以同一个不为零的数，比值不变； 连比不能直接相加减，但可通过设“一份量”来求具体数值。 （3）连比的转化方法： 若已知 ， ，要求 ，需统一中间量 的份数； 找 的最小公倍数，统一份数后合并。 例如： ， ， 则 。 4、比例的应用场景 （1）按比例分配：已知总量和比，求各部分。 方法：先求总份数，再用总量 ÷ 总份数 = 一份量，最后乘以各部分份数。 （2）比例尺问题：图上距离 : 实际距离 = 比例尺。 注意单位统一。 （3）行程、工程、浓度等问题中的比例关系。 5、注意事项 解比例时，未知数一般设在前项或后项，注意位置； 连比中必须统一中间量； 所有计算结果应化为最简比； 实际问题中注意单位换算和合理性检验。 例题讲解 【例题1】（比例的基本性质应用） 题目：判断下面每组比是否能组成比例，并说明理由。 （1） 和 （2） 和 解析： （1） ， ，比值相等，能组成比例。 （2） ， ，比值相等，能组成比例。 答：都能组成比例。 【跟踪训练】 题目：判断 和 是否能组成比例。 答案与解析： ， ， ，不能组成比例。 【例题2】（解比例） 题目：解比例： 解析： 根据比例性质： 计算右边： 所以： 解得： 答： 【跟踪训练】 题目：解比例： 答案与解析： 所以： 答： 【例题3】（连比的转化） 题目：已知 ， ，求 。 解析： 统一 的份数。 （乘3） （乘2） 所以 答： 【跟踪训练】 题目：已知 ， ，求 。 答案与解析： 所以 答： 【例题4】（按比例分配应用） 题目：甲、乙、丙三人合买一台打印机，价格为 2700 元，三人出资比为 。每人各出多少元？ 解析： 总份数： 份 一份量： 元 甲： 元 乙： 元 丙： 元 答：甲出 600 元，乙出 900 元，丙出 1200 元。 【跟踪训练】 题目：一个长方形的周长是 80 cm，长与宽的比是 。求这个长方形的面积。 答案与解析： 半周长： cm 长 + 宽 = 40 cm 总份数： 份 一份量： cm 长： cm，宽： cm 面积： cm² 答：面积为 384 cm²。 提升练习 1.解比例： 2.已知 ， ，求 。 3.一个三角形三个内角的比是 ，求最大角的度数。 4.甲、乙两数的比是 ，乙、丙两数的比是 ，且甲数是 18，求丙数。 5.一幅地图的比例尺是 ，图上 A、B 两地距离为 6.4 cm，求实际距离（千米）。 6.一个长方体的棱长总和是 144 cm，长、宽、高的比是 ，求体积。 答案及解析 1. 解析： ， 2. 解析： ， ，合并得 3.最大角 解析：总份数 ，一份 ，最大角 4.丙数为 20 解析： ， ，所以甲:丙 = 9:10，甲=18，则丙=20 5.实际距离 32 千米 解析： cm = 32 km 6.体积 1536 cm³ 解析：棱长和 144 cm，长宽高和 cm，总份 ，一份 4 cm，长 16 cm，宽 12 cm，高 8 cm，体积 模拟赛场 1.甲、乙、丙三人跑步速度比为 ，同时从同地出发，当乙跑完 1200 米时，甲和丙各跑了多少米？ 2.一个分数，分子与分母的和是 90，分子与分母的比是 ，求这个分数。 3.有三桶油，重量比为 ，如果从第三桶倒出 6 kg 给第一桶，则三桶油重量相等。求原来三桶油各重多少千克？ 4.两个正方形边长比是 ，面积和是 130 cm²，求较小正方形的面积。 5.甲、乙两车从 A、B 两地同时相对开出，速度比为 ，相遇时乙车比甲车多行了 36 千米，求 A、B 两地距离。 6.一个长方体水箱，长、宽、高的比是 ，如果将水箱装满水后倒入一个棱长为 12 cm 的正方体容器中，恰好倒满。求水箱的长、宽、高。 答案及解析 1.甲跑 1000 米，丙跑 800 米 解析：时间相同，路程比=速度比，乙 1200 米，甲 ，丙 2.分数 解析：总份 9，一份 10，分子 40，分母 50 3.原来三桶油：18 kg，24 kg，30 kg 解析：设每份 ，则 ，解得 ，故 18, 24, 30 4.较小正方形面积 40 cm² 解析：面积比 ，总份 13，一份 ，小面积 5.两地距离 324 千米 解析：路程比=速度比=4:5，乙多行 1 份 = 36 km，总 9 份， 6.长 15 cm，宽 12 cm，高 9 cm 解析：体积 cm³，设长宽高为 ，则 ， ， ，故长 15，宽 12，高 9 学科网（北京）股份有限公司 $