小升初奥数培优：相遇与追及问题-2025-2026学年六年级下册数学苏教版（比例法）

《相遇与追及问题（比例法）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，常常会遇到两个物体“相向而行”或“同向而追”的情况，比如两车相遇、兄弟赛跑、追小偷等。这些看似简单的情境，背后却蕴含着丰富的数学智慧——相遇与追及问题。 本讲义将带领大家从“比例”的角度重新审视这类问题，跳出繁琐的方程计算，用速度比、时间比、路程比之间的关系，快速、巧妙地解决问题。比例法不仅简洁，而且能帮助我们建立更深层次的数量关系感知，是奥数解题的重要思想方法。 希望你们在学习中做到：理解基本原理，掌握比例关系，灵活转化条件，善于画图辅助。通过本讲的学习，不仅能提升解题速度，更能锻炼逻辑思维，为今后的数学学习打下坚实基础！ 知识梳理 1、相遇问题的基本概念与比例关系 （1）定义：两个物体从不同地点同时或不同时出发，相向而行，经过一段时间后在途中相遇，这类问题称为相遇问题。 （2）基本数量关系： 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间 即： （3）比例思想应用： 当时间相同时，路程比 = 速度比，即 当速度不变时，路程比 = 时间比 相遇点距起点的距离与速度成正比 （4）关键点： 两物体同时出发时，所用时间相同 总路程等于两物体所行路程之和 2、追及问题的基本概念与比例关系 （1）定义：两个物体同向而行，速度不同，后者追上前者，这类问题称为追及问题。 （2）基本数量关系： 追及路程 = 速度差 × 追及时间 即： （3）比例思想应用： 当时间相同时，路程差与速度差成正比 追上所需时间与初始距离成正比，与速度差成反比 若两物体速度比为 ，则相同时间内所行路程比也为 （4）关键点： 追及的“路程差”通常是初始距离 追上时，两物体所用时间相同 3、比例法解题核心思想 （1）时间相同，路程比 = 速度比 在相遇或追及过程中，若两物体运动时间相同，则它们所行路程之比等于速度之比。 （2）速度不变，路程比 = 时间比 同一物体在速度不变时，路程与时间成正比。 （3）画线段图辅助分析 用线段图表示路程、相遇点、追及点，帮助理解数量关系。 （4）单位“1”的设定 可设总路程为“1”或设速度为比值，简化计算。 例题讲解 【例题1】（基础相遇问题） 题目：甲、乙两人从相距 60 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 7 千米，乙每小时行 8 千米。问：几小时后相遇？相遇时甲走了多少千米？ 解析： 速度和： 千米/小时 相遇时间： 小时 甲走的路程： 千米 答：4 小时后相遇，甲走了 28 千米。 【跟踪训练】 题目：A、B 两地相距 90 千米，小张和小王分别从 A、B 同时出发，相向而行，速度比为 4:5，求相遇时小王走了多少千米？ 【例题2】（比例法解相遇） 题目：甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，速度比为 3:2，相遇时甲比乙多行了 15 千米。求 A、B 两地相距多少千米？ 解析： 速度比 ，时间相同，路程比也为 设甲行 ，乙行 ，则 ，得 总路程： 千米 答：A、B 两地相距 75 千米。 【跟踪训练】 题目：两车从两地同时出发相向而行，速度比为 5:3，相遇时快车比慢车多行 40 千米，求总路程。 【例题3】（基础追及问题） 题目：小明以每分钟 60 米的速度步行上学，5 分钟后，爸爸发现他忘带作业，立即以每分钟 90 米的速度追赶。问：爸爸几分钟后追上小明？ 解析： 小明先走： 米 速度差： 米/分钟 追及时间： 分钟 答：爸爸 10 分钟后追上小明。 【跟踪训练】 题目：一辆汽车以 60 千米/小时的速度行驶，2 小时后，另一辆汽车以 80 千米/小时的速度从同一地点出发追赶，几小时后追上？ 【例题4】（比例法解追及） 题目：甲、乙两人同地同向出发，速度比为 4:3，当甲到达终点时，乙还差 12 千米。求全程多少千米？ 解析： 时间相同，路程比 = 速度比 = 设甲行 ，乙行 ，则 ，得 全程为甲的路程： 千米 答：全程 48 千米。 【跟踪训练】 题目：两车同地出发，速度比为 7:5，当快车到达目的地时，慢车还差 36 千米，求全程。 提升练习 1.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行，速度比为 5:4，相遇时乙行了 80 千米，求 A、B 两地距离。 2.小华和小丽从学校同时出发去图书馆，小华速度是小丽的 1.5 倍，相遇时小华比小丽多走 300 米，求学校到图书馆的距离。 3.一辆自行车以 12 千米/小时的速度出发，1 小时后，一辆摩托车以 36 千米/小时的速度追赶，几小时追上？ 4.甲、乙两人跑步，速度比为 3:2，同地同向出发，当甲跑完全程时，乙还差 400 米，求全程。 5.两车从相距 270 千米的两地同时出发，速度比为 7:2，相向而行，几小时相遇？（已知快车速度为 70 千米/小时） 6.小张步行每分钟 50 米，小李每分钟 70 米，小张先出发 6 分钟，小李出发后几分钟追上？ 模拟赛场 1.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，速度比为 3:2，相遇后继续前行，甲到 B 地时，乙距 A 地还有 60 千米。求 A、B 两地距离。 2.A、B 两地相距 180 千米，甲从 A 出发，乙从 B 出发，速度比为 4:5，相向而行，相遇时甲比乙少走多少千米？ 3.小明和小红从家出发去学校，小明速度是小红的 ，小红先出发 5 分钟，小明出发后 15 分钟追上，求小明速度。 4.两车从两地同时出发，速度比为 5:3，相向而行，相遇时快车比慢车多行 80 千米，求总路程。 5.甲、乙两人同地同向跑步，速度比为 6:5，当甲跑完 3 圈时，乙还差 200 米跑完 3 圈，求每圈长度。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《相遇与追及问题（比例法）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，常常会遇到两个物体“相向而行”或“同向而追”的情况，比如两车相遇、兄弟赛跑、追小偷等。这些看似简单的情境，背后却蕴含着丰富的数学智慧——相遇与追及问题。 本讲义将带领大家从“比例”的角度重新审视这类问题，跳出繁琐的方程计算，用速度比、时间比、路程比之间的关系，快速、巧妙地解决问题。比例法不仅简洁，而且能帮助我们建立更深层次的数量关系感知，是奥数解题的重要思想方法。 希望你们在学习中做到：理解基本原理，掌握比例关系，灵活转化条件，善于画图辅助。通过本讲的学习，不仅能提升解题速度，更能锻炼逻辑思维，为今后的数学学习打下坚实基础！ 知识梳理 1、相遇问题的基本概念与比例关系 （1）定义：两个物体从不同地点同时或不同时出发，相向而行，经过一段时间后在途中相遇，这类问题称为相遇问题。 （2）基本数量关系： 相遇路程 = 速度和 × 相遇时间 即： （3）比例思想应用： 当时间相同时，路程比 = 速度比，即 当速度不变时，路程比 = 时间比 相遇点距起点的距离与速度成正比 （4）关键点： 两物体同时出发时，所用时间相同 总路程等于两物体所行路程之和 2、追及问题的基本概念与比例关系 （1）定义：两个物体同向而行，速度不同，后者追上前者，这类问题称为追及问题。 （2）基本数量关系： 追及路程 = 速度差 × 追及时间 即： （3）比例思想应用： 当时间相同时，路程差与速度差成正比 追上所需时间与初始距离成正比，与速度差成反比 若两物体速度比为 ，则相同时间内所行路程比也为 （4）关键点： 追及的“路程差”通常是初始距离 追上时，两物体所用时间相同 3、比例法解题核心思想 （1）时间相同，路程比 = 速度比 在相遇或追及过程中，若两物体运动时间相同，则它们所行路程之比等于速度之比。 （2）速度不变，路程比 = 时间比 同一物体在速度不变时，路程与时间成正比。 （3）画线段图辅助分析 用线段图表示路程、相遇点、追及点，帮助理解数量关系。 （4）单位“1”的设定 可设总路程为“1”或设速度为比值，简化计算。 例题讲解 【例题1】（基础相遇问题） 题目：甲、乙两人从相距 60 千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时行 7 千米，乙每小时行 8 千米。问：几小时后相遇？相遇时甲走了多少千米？ 解析： 速度和： 千米/小时 相遇时间： 小时 甲走的路程： 千米 答：4 小时后相遇，甲走了 28 千米。 【跟踪训练】 题目：A、B 两地相距 90 千米，小张和小王分别从 A、B 同时出发，相向而行，速度比为 4:5，求相遇时小王走了多少千米？ 答案与解析： 速度比 ，时间相同，路程比也为 。 总路程 90 千米，分为 份，每份 千米。 小王走 千米。 答：50 千米。 【例题2】（比例法解相遇） 题目：甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，速度比为 3:2，相遇时甲比乙多行了 15 千米。求 A、B 两地相距多少千米？ 解析： 速度比 ，时间相同，路程比也为 设甲行 ，乙行 ，则 ，得 总路程： 千米 答：A、B 两地相距 75 千米。 【跟踪训练】 题目：两车从两地同时出发相向而行，速度比为 5:3，相遇时快车比慢车多行 40 千米，求总路程。 答案与解析： 路程比 ，差 份对应 40 千米，每份 20 千米。 总路程 份， 千米。 答：160 千米。 【例题3】（基础追及问题） 题目：小明以每分钟 60 米的速度步行上学，5 分钟后，爸爸发现他忘带作业，立即以每分钟 90 米的速度追赶。问：爸爸几分钟后追上小明？ 解析： 小明先走： 米 速度差： 米/分钟 追及时间： 分钟 答：爸爸 10 分钟后追上小明。 【跟踪训练】 题目：一辆汽车以 60 千米/小时的速度行驶，2 小时后，另一辆汽车以 80 千米/小时的速度从同一地点出发追赶，几小时后追上？ 答案与解析： 前车先走： 千米 速度差： 千米/小时 追及时间： 小时 答：6 小时后追上。 【例题4】（比例法解追及） 题目：甲、乙两人同地同向出发，速度比为 4:3，当甲到达终点时，乙还差 12 千米。求全程多少千米？ 解析： 时间相同，路程比 = 速度比 = 设甲行 ，乙行 ，则 ，得 全程为甲的路程： 千米 答：全程 48 千米。 【跟踪训练】 题目：两车同地出发，速度比为 7:5，当快车到达目的地时，慢车还差 36 千米，求全程。 答案与解析： 路程比 ，差 份对应 36 千米，每份 18 千米。 全程为快车路程： 千米。 答：126 千米。 提升练习 1.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发相向而行，速度比为 5:4，相遇时乙行了 80 千米，求 A、B 两地距离。 2.小华和小丽从学校同时出发去图书馆，小华速度是小丽的 1.5 倍，相遇时小华比小丽多走 300 米，求学校到图书馆的距离。 3.一辆自行车以 12 千米/小时的速度出发，1 小时后，一辆摩托车以 36 千米/小时的速度追赶，几小时追上？ 4.甲、乙两人跑步，速度比为 3:2，同地同向出发，当甲跑完全程时，乙还差 400 米，求全程。 5.两车从相距 270 千米的两地同时出发，速度比为 7:2，相向而行，几小时相遇？（已知快车速度为 70 千米/小时） 6.小张步行每分钟 50 米，小李每分钟 70 米，小张先出发 6 分钟，小李出发后几分钟追上？ 答案及解析 1. 千米 2. 米 3. 小时 4. 米 5.慢车速度 ，速度和 ， 小时 6. ， 分钟 模拟赛场 1.甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，速度比为 3:2，相遇后继续前行，甲到 B 地时，乙距 A 地还有 60 千米。求 A、B 两地距离。 2.A、B 两地相距 180 千米，甲从 A 出发，乙从 B 出发，速度比为 4:5，相向而行，相遇时甲比乙少走多少千米？ 3.小明和小红从家出发去学校，小明速度是小红的 ，小红先出发 5 分钟，小明出发后 15 分钟追上，求小明速度。 4.两车从两地同时出发，速度比为 5:3，相向而行，相遇时快车比慢车多行 80 千米，求总路程。 5.甲、乙两人同地同向跑步，速度比为 6:5，当甲跑完 3 圈时，乙还差 200 米跑完 3 圈，求每圈长度。 答案及解析 1.相遇后，甲行乙的路程，乙行甲的路程。设速度 ，相遇时间 ，总路程 。甲到 B 地时间 ，乙在 内行 ，还差 ，得 ， 千米。 2. ，甲 ，乙 ，少走 千米 3. 设小红速度 ，小明 ， ，需重新建模 4. 千米 5. 设每圈 ，甲跑 ，乙跑 ，时间相同， ，解得 米 学科网（北京）股份有限公司 $