小升初奥数培优：按比例分配（复杂转化）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《按比例分配（复杂转化）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，比例不仅是一种数量关系，更是一种思维方式。我们已经掌握了基本的按比例分配方法，而今天，我们将进入一个更深层次的领域——按比例分配的复杂转化。 现实中的问题往往不会直接告诉你“按几比几分配”，而是隐藏在行程、工程、浓度、混合物、倍数关系等情境中。这就需要我们具备“转化”的能力：把复杂问题转化为熟悉的按比例分配模型。 本讲义将带领你们从基础出发，层层递进，学会如何提取隐藏比例、统一单位量、转化连比、处理多条件综合问题。希望你们在学习中做到：静心审题、善于发现、灵活转化、精准计算。相信通过努力，你们一定能掌握这把打开复杂问题的“金钥匙”！ 知识梳理 1、按比例分配的基本模型 （1）定义：已知总量和各部分的比，求每部分的具体数量。 （2）解题步骤： 求出总份数； 计算“一份量” = 总量 ÷ 总份数； 各部分 = 一份量 × 对应份数。 （3）示例：甲、乙、丙三人分 90 元，比为 ，则总份 9，一份 10 元，甲得 20 元，乙得 30 元，丙得 40 元。 2、复杂情境中的比例转化 （1）从倍数关系转化为比例： 若甲是乙的 ，则甲:乙 = ； 若甲比乙多 ，则甲:乙 = 。 （2）从分数关系转化为比例： 甲占总数的 ，乙占 ，则甲:乙:丙 = （丙 = 1 - ）。 （3）从差倍关系转化为比例： 甲比乙多 15，且甲:乙 = ，则一份量 = ，甲 = 60，乙 = 45。 3、多比例统一与连比转化 （1）统一中间量法： 已知 ， ，求 ； 统一 的份数（最小公倍数 12），得 ， ，所以 。 （2）设“一份量”为未知数： 设一份为 ，将各量表示为 ，代入总量或差值列方程。 4、实际应用中的转化模型 （1）行程问题：速度比 = 路程比（时间相同）； （2）工程问题：工作效率比 = 工作量比（时间相同）； （3）浓度问题：溶质与溶液的比可转化为质量分配； （4）图形问题：面积比、体积比与边长比的平方或立方关系。 5、注意事项 转化时注意“谁和谁比”； 统一单位，避免数量级错误； 多条件问题要分步转化； 最终结果要符合实际意义。 例题讲解 【例题1】（倍数转化为比例） 题目：甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三数之和为 174，求三数各是多少？ 解析： 甲:乙 = 乙:丙 = 统一乙的份数： ， ， 所以甲:乙:丙 = 总份数： 一份量： 甲： ，乙： ，丙： 答：甲 = ，乙 = ，丙 = （可约分） 【跟踪训练】 题目：A 是 B 的 ，B 是 C 的 ，三数和为 155，求 A、B、C。 【例题2】（差倍关系转化） 题目：甲、乙两人存款比为 ，若甲取出 200 元，乙存入 100 元，则两人钱数相等。求原来各有多少元？ 解析： 设甲有 元，乙有 元 根据题意： 解得： ， 甲： 元，乙： 元 答：甲原有 750 元，乙原有 450 元。 【跟踪训练】 题目：两箱苹果重量比为 ，从第一箱取出 12 千克放入第二箱，两箱重量相等。求原来各重多少千克？ 【例题3】（多条件综合转化） 题目：甲、乙、丙三人完成一项工程，工作时间相同，甲完成的工程量是乙的 ，乙完成的是丙的 。若三人共完成 182 个单位，求各人完成量。 解析： 甲:乙 = 4:5 乙:丙 = 3:4 统一乙：4:5 = 12:15，3:4 = 15:20 → 甲:乙:丙 = 12:15:20 总份：47 一份量： 甲： ，乙： ，丙： 答：甲 ，乙 ，丙 【跟踪训练】 题目：三个班级植树，一班是二班的 ，二班是三班的 ，共植树 370 棵，求各班植树棵数。 【例题4】（图形中的比例转化） 题目：两个正方形边长比为 ，它们的面积和为 340 cm²，求较小正方形的面积。 解析： 面积比 = 边长比的平方 = 总份数：34 一份量： cm² 较小正方形面积： cm² 答：90 cm² 【跟踪训练】 题目：两个圆的半径比是 ，面积和是 260π cm²，求大圆面积。 提升练习 1.两辆汽车速度比为 ，行驶相同时间，甲比乙少行 30 千米。求甲行驶路程。 2.甲、乙、丙三人投资比为 ，年底分红时，丙比甲多分 8000 元。求总红利。 模拟赛场 1.甲、乙、丙三人跑步速度比为 ，同时从 A 地出发，当甲到达 B 地时，乙距 B 地还有 200 米，丙距 B 地还有 400 米。求 A、B 两地距离。 2.有三堆沙子，重量比为 ，若从第三堆取出 15 吨放入第一堆，则三堆重量相等。求原来各堆重量。 3.甲、乙两车从 A、B 两地相对开出，速度比为 ，相遇时甲比乙多行 60 千米。求 A、B 距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《按比例分配（复杂转化）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，比例不仅是一种数量关系，更是一种思维方式。我们已经掌握了基本的按比例分配方法，而今天，我们将进入一个更深层次的领域——按比例分配的复杂转化。 现实中的问题往往不会直接告诉你“按几比几分配”，而是隐藏在行程、工程、浓度、混合物、倍数关系等情境中。这就需要我们具备“转化”的能力：把复杂问题转化为熟悉的按比例分配模型。 本讲义将带领你们从基础出发，层层递进，学会如何提取隐藏比例、统一单位量、转化连比、处理多条件综合问题。希望你们在学习中做到：静心审题、善于发现、灵活转化、精准计算。相信通过努力，你们一定能掌握这把打开复杂问题的“金钥匙”！ 知识梳理 1、按比例分配的基本模型 （1）定义：已知总量和各部分的比，求每部分的具体数量。 （2）解题步骤： 求出总份数； 计算“一份量” = 总量 ÷ 总份数； 各部分 = 一份量 × 对应份数。 （3）示例：甲、乙、丙三人分 90 元，比为 ，则总份 9，一份 10 元，甲得 20 元，乙得 30 元，丙得 40 元。 2、复杂情境中的比例转化 （1）从倍数关系转化为比例： 若甲是乙的 ，则甲:乙 = ； 若甲比乙多 ，则甲:乙 = 。 （2）从分数关系转化为比例： 甲占总数的 ，乙占 ，则甲:乙:丙 = （丙 = 1 - ）。 （3）从差倍关系转化为比例： 甲比乙多 15，且甲:乙 = ，则一份量 = ，甲 = 60，乙 = 45。 3、多比例统一与连比转化 （1）统一中间量法： 已知 ， ，求 ； 统一 的份数（最小公倍数 12），得 ， ，所以 。 （2）设“一份量”为未知数： 设一份为 ，将各量表示为 ，代入总量或差值列方程。 4、实际应用中的转化模型 （1）行程问题：速度比 = 路程比（时间相同）； （2）工程问题：工作效率比 = 工作量比（时间相同）； （3）浓度问题：溶质与溶液的比可转化为质量分配； （4）图形问题：面积比、体积比与边长比的平方或立方关系。 5、注意事项 转化时注意“谁和谁比”； 统一单位，避免数量级错误； 多条件问题要分步转化； 最终结果要符合实际意义。 例题讲解 【例题1】（倍数转化为比例） 题目：甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三数之和为 174，求三数各是多少？ 解析： 甲:乙 = 乙:丙 = 统一乙的份数： ， ， 所以甲:乙:丙 = 总份数： 一份量： 甲： ，乙： ，丙： 答：甲 = ，乙 = ，丙 = （可约分） 【跟踪训练】 题目：A 是 B 的 ，B 是 C 的 ，三数和为 155，求 A、B、C。 答案与解析： A:B = 3:4，B:C = 5:6 → 统一 B： 3:4 = 15:20，5:6 = 20:24 → A:B:C = 15:20:24 总份 59，一份量 A = ，B = ，C = 【例题2】（差倍关系转化） 题目：甲、乙两人存款比为 ，若甲取出 200 元，乙存入 100 元，则两人钱数相等。求原来各有多少元？ 解析： 设甲有 元，乙有 元 根据题意： 解得： ， 甲： 元，乙： 元 答：甲原有 750 元，乙原有 450 元。 【跟踪训练】 题目：两箱苹果重量比为 ，从第一箱取出 12 千克放入第二箱，两箱重量相等。求原来各重多少千克？ 答案与解析： 设一份为 ，则 7x - 12 = 5x + 12 → 2x = 24 → x = 12 第一箱： kg，第二箱： kg 【例题3】（多条件综合转化） 题目：甲、乙、丙三人完成一项工程，工作时间相同，甲完成的工程量是乙的 ，乙完成的是丙的 。若三人共完成 182 个单位，求各人完成量。 解析： 甲:乙 = 4:5 乙:丙 = 3:4 统一乙：4:5 = 12:15，3:4 = 15:20 → 甲:乙:丙 = 12:15:20 总份：47 一份量： 甲： ，乙： ，丙： 答：甲 ，乙 ，丙 【跟踪训练】 题目：三个班级植树，一班是二班的 ，二班是三班的 ，共植树 370 棵，求各班植树棵数。 答案与解析： 一:二 = 5:6，二:三 = 4:5 → 统一二：5:6 = 10:12，4:5 = 12:15 → 一:二:三 = 10:12:15 总份 37，一份 10，一班 100 棵，二班 120 棵，三班 150 棵。 【例题4】（图形中的比例转化） 题目：两个正方形边长比为 ，它们的面积和为 340 cm²，求较小正方形的面积。 解析： 面积比 = 边长比的平方 = 总份数：34 一份量： cm² 较小正方形面积： cm² 答：90 cm² 【跟踪训练】 题目：两个圆的半径比是 ，面积和是 260π cm²，求大圆面积。 答案与解析： 面积比 = ，总份 13，一份 ，大圆面积 cm² 提升练习 1.两辆汽车速度比为 ，行驶相同时间，甲比乙少行 30 千米。求甲行驶路程。 2.甲、乙、丙三人投资比为 ，年底分红时，丙比甲多分 8000 元。求总红利。 提升练习答案 1.150 千米 解析：路程比 = 速度比 = 5:6，差 1 份 = 30 km，甲 5×30 = 150 km 2.总红利 48000 元 解析：丙比甲多 2 份 = 8000，一份 4000，总份 12，总红利 48000 模拟赛场 1.甲、乙、丙三人跑步速度比为 ，同时从 A 地出发，当甲到达 B 地时，乙距 B 地还有 200 米，丙距 B 地还有 400 米。求 A、B 两地距离。 2.有三堆沙子，重量比为 ，若从第三堆取出 15 吨放入第一堆，则三堆重量相等。求原来各堆重量。 3.甲、乙两车从 A、B 两地相对开出，速度比为 ，相遇时甲比乙多行 60 千米。求 A、B 距离。 模拟赛场答案 1.1200 米 解析：时间同，路程比 = 速度比 = 6:5:4，设甲行 6x，则乙行 5x，丙行 4x，6x - 5x = 200 → x = 200，AB = 6x = 1200 2.原来三堆：20 吨，25 吨，30 吨 解析：设 4x, 5x, 6x，6x - 15 = 4x + 15 → 2x = 30 → x = 15 3.360 千米 解析：路程比 7:5，差 2 份 = 60，一份 30，总距离 12×30 = 360 学科网（北京）股份有限公司 $