小升初奥数培优：多次相遇问题-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《多次相遇问题》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习行程问题的过程中，相遇问题是其中非常重要的一类。而“多次相遇”问题，则是在基础相遇问题上的拓展与深化。它不仅考察我们对“路程、速度、时间”三者关系的掌握，更考验我们的逻辑思维能力、画图分析能力和归纳总结能力。 多次相遇问题常见于两个物体在同一直线或环形路径上往返运动，经过一段时间后多次碰面。看似复杂，但只要抓住“总路程与速度和的关系”“相遇次数与路程倍数的规律”，就能化繁为简，迎刃而解。 本讲义将从基础出发，层层递进，帮助你构建清晰的解题模型，掌握典型题型，提升数学思维。希望你在学习中做到：认真读题、画图辅助、归纳规律、灵活应用。相信通过这份讲义的学习，你不仅能攻克“多次相遇”难题，还能为小升初数学打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）一次相遇问题回顾 两个物体从两地同时出发，相向而行，相遇时： 总路程 = 速度和 × 相遇时间 （2）多次相遇问题的本质 当两个物体在两地之间不断往返运动时，每一次相遇都意味着它们共同走完了若干个全程。 第1次相遇：共走1个全程 第2次相遇：共走3个全程 第3次相遇：共走5个全程 …… 第n次相遇：共走（2n - 1）个全程 两人速度保持不变，并在两地之间进行往返运动，同时出发。这是一个重要的前提条件。 （3）核心规律总结 相邻两次相遇之间，两人合走的路程为 2个全程 从开始到第n次相遇，总时间为： 每人走的路程也可根据速度比例计算 （4）解题关键点 明确“全程”指的是两地之间的距离 判断是否为“往返多次运动” 画线段图帮助理解运动过程 注意单位统一（时间、速度、长度） 2、常见题型分类 （1）直线型多次相遇：两人在A、B两地间往返，求第n次相遇时间或地点 （2）环形跑道多次相遇：同向或相向而行，求相遇次数或时间 （3）结合比例的相遇问题：已知速度比，求路程比或时间比 3、解题策略与技巧 （1）画图法：用线段图表示每次相遇的位置 （2）模型法：记住“第n次相遇共走（2n - 1）个全程” （3）设数法：当具体数据未知时，可设全程为单位“1”或最小公倍数 （4）比例法：若速度比已知，则路程比等于速度比（时间相同） 例题讲解 【例题1】（基础多次相遇） 题目：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，A、B两地相距500米。两人到达对方起点后立即返回，如此往返。问他们第2次相遇时共用了多少分钟？相遇点离A地多远？ 解析： 速度和 = 60 + 40 = 100（米/分钟） 第2次相遇时，共走路程 = (2×2 - 1) × 500 = 3 × 500 = 1500（米） 时间 = 1500 ÷ 100 = 15（分钟） 甲走的路程 = 60 × 15 = 900（米） 甲先走500米到B，再返回走400米 → 离A地 = 500 - 400 = 100米 答：共用15分钟，相遇点离A地100米。 【跟踪训练】 题目：A、B两地相距600米，小明和小红分别从A、B同时出发，小明速度为每分钟70米，小红为每分钟50米，到达对方起点后立即返回。问第2次相遇时共用多少分钟？相遇点离B地多远？ 【例题2】（求相遇次数） 题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，甲速为每秒3米，乙速为每秒2米，两地相距200米。他们不停往返运动。问在出发后5分钟内，他们共相遇多少次？ 解析： 速度和 = 3 + 2 = 5（米/秒） 全程 = 200 米 第n次相遇时间： 秒 5分钟 = 300秒 解不等式： → → → 所以最多相遇4次 答：共相遇4次。 【跟踪训练】 题目：A、B两地相距300米，小张和小李分别以每分钟80米和70米的速度从两地同时出发，相向而行，到达后立即返回。问在出发后10分钟内，他们共相遇多少次？ 【例题3】（相遇地点分析） 题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲速为每分钟90米，乙速为每分钟60米，两地相距900米。他们往返运动。问第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 解析： 速度和 = 90 + 60 = 150（米/分钟） 第3次相遇共走路程 = (2×3 - 1) × 900 = 5 × 900 = 4500（米） 时间 = 4500 ÷ 150 = 30（分钟） 甲走的路程 = 90 × 30 = 2700（米） 甲从A出发，一个来回为1800米 → 2700 ÷ 1800 = 1……900 即：走完1个来回（1800米），再走900米 → 正好到达B地 所以相遇点在B地，离A地900米 答：相遇点离A地900米。 【跟踪训练】 题目：A、B相距1200米，小王速度为每分钟100米，小赵为每分钟50米，同时从A、B出发相向而行，往返运动。问第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 【例题4】（环形跑道多次相遇） 题目：在一个周长为400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点同时出发，相向而行，甲速为每秒6米，乙速为每秒4米。问他们第5次相遇时共用了多少秒？此时甲共跑了多少米？ 解析： 相向而行，每次相遇合走1圈（400米） 第5次相遇时，共走5圈 = 5 × 400 = 2000（米） 速度和 = 6 + 4 = 10（米/秒） 时间 = 2000 ÷ 10 = 200（秒） 甲跑的路程 = 6 × 200 = 1200（米） 答：共用200秒，甲跑了1200米。 【跟踪训练】 题目：环形跑道周长600米，小李和小陈从同地同时出发，同向而行，小李速度为每分钟120米，小陈为每分钟90米。问小李第3次追上小陈时用了多少分钟？此时小李跑了多少米？ 提升练习 1.A、B两地相距800米，甲、乙分别以每分钟75米和65米的速度从A、B同时出发，相向而行，往返不停。求第2次相遇时共用多少分钟？ 2.甲、乙两人从相距500米的两地同时出发，甲速为每秒4米，乙速为每秒1米。他们往返运动。问在出发后4分钟内共相遇多少次？ 3.A、B两地相距1000米，小明速度为每分钟120米，小华为每分钟80米，同时从A、B出发相向而行。求第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 4.在周长为800米的环形跑道上，甲、乙从同地出发，相向而行，速度分别为每秒5米和3米。求第4次相遇时间及甲跑的总路程。 5.甲、乙两人从A、B两地同时出发，速度比为3:2，第2次相遇时共走了2400米，求A、B两地距离。 6.小张和小王在一条直路上往返跑步，A、B相距600米，小张速度为每分钟100米，小王为每分钟50米。问他们第4次相遇时，小王共跑了多少米？ 模拟赛场 1.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为每分钟80米和70米，两地相距900米。他们往返不停。问第3次相遇时，相遇点离B地多远？ 2.甲、乙两人从A、B两地同时出发，速度分别为每秒6米和4米，第2次相遇后继续前进，到对方起点后返回。问第3次相遇时共用了多少秒？（全程1000米） 3.在周长为1000米的环形跑道上，甲、乙从同地出发，同向而行，甲速为每分钟250米，乙速为每分钟150米。问甲第5次追上乙时，共用了多少分钟？ 4.甲、乙两人从A、B两地同时出发，往返运动，速度比为5:3。从开始到第4次相遇，甲共走了3200米，求A、B两地距离。 5.A、B两地相距1500米，小李和小赵分别以每分钟120米和80米的速度从A、B同时出发，相向而行，到达后立即返回。问他们第5次相遇时，共用了多少分钟？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《多次相遇问题》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习行程问题的过程中，相遇问题是其中非常重要的一类。而“多次相遇”问题，则是在基础相遇问题上的拓展与深化。它不仅考察我们对“路程、速度、时间”三者关系的掌握，更考验我们的逻辑思维能力、画图分析能力和归纳总结能力。 多次相遇问题常见于两个物体在同一直线或环形路径上往返运动，经过一段时间后多次碰面。看似复杂，但只要抓住“总路程与速度和的关系”“相遇次数与路程倍数的规律”，就能化繁为简，迎刃而解。 本讲义将从基础出发，层层递进，帮助你构建清晰的解题模型，掌握典型题型，提升数学思维。希望你在学习中做到：认真读题、画图辅助、归纳规律、灵活应用。相信通过这份讲义的学习，你不仅能攻克“多次相遇”难题，还能为小升初数学打下坚实基础！ 知识梳理 1、基本概念与核心公式 （1）一次相遇问题回顾 两个物体从两地同时出发，相向而行，相遇时： 总路程 = 速度和 × 相遇时间 （2）多次相遇问题的本质 当两个物体在两地之间不断往返运动时，每一次相遇都意味着它们共同走完了若干个全程。 第1次相遇：共走1个全程 第2次相遇：共走3个全程 第3次相遇：共走5个全程 …… 第n次相遇：共走（2n - 1）个全程 两人速度保持不变，并在两地之间进行往返运动，同时出发。这是一个重要的前提条件。 （3）核心规律总结 相邻两次相遇之间，两人合走的路程为 2个全程 从开始到第n次相遇，总时间为： 每人走的路程也可根据速度比例计算 （4）解题关键点 明确“全程”指的是两地之间的距离 判断是否为“往返多次运动” 画线段图帮助理解运动过程 注意单位统一（时间、速度、长度） 2、常见题型分类 （1）直线型多次相遇：两人在A、B两地间往返，求第n次相遇时间或地点 （2）环形跑道多次相遇：同向或相向而行，求相遇次数或时间 （3）结合比例的相遇问题：已知速度比，求路程比或时间比 3、解题策略与技巧 （1）画图法：用线段图表示每次相遇的位置 （2）模型法：记住“第n次相遇共走（2n - 1）个全程” （3）设数法：当具体数据未知时，可设全程为单位“1”或最小公倍数 （4）比例法：若速度比已知，则路程比等于速度比（时间相同） 例题讲解 【例题1】（基础多次相遇） 题目：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，A、B两地相距500米。两人到达对方起点后立即返回，如此往返。问他们第2次相遇时共用了多少分钟？相遇点离A地多远？ 解析： 速度和 = 60 + 40 = 100（米/分钟） 第2次相遇时，共走路程 = (2×2 - 1) × 500 = 3 × 500 = 1500（米） 时间 = 1500 ÷ 100 = 15（分钟） 甲走的路程 = 60 × 15 = 900（米） 甲先走500米到B，再返回走400米 → 离A地 = 500 - 400 = 100米 答：共用15分钟，相遇点离A地100米。 【跟踪训练】 题目：A、B两地相距600米，小明和小红分别从A、B同时出发，小明速度为每分钟70米，小红为每分钟50米，到达对方起点后立即返回。问第2次相遇时共用多少分钟？相遇点离B地多远？ 答案与解析： 速度和 = 70 + 50 = 120（米/分钟） 第2次相遇共走路程 = (2×2 - 1) × 600 = 1800（米） 时间 = 1800 ÷ 120 = 15（分钟） 小红走的路程 = 50 × 15 = 750（米） 小红从B出发，先走600米到A，再返回150米 → 离B地 = 600 - 150 = 450米？不对！ 正确：返回150米，说明离B地还有 600 - 150 = 450米？不！ 实际上：从B到A是600米，再返回150米 → 离B地 = 150米 答：共用15分钟，相遇点离B地150米。 【例题2】（求相遇次数） 题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，甲速为每秒3米，乙速为每秒2米，两地相距200米。他们不停往返运动。问在出发后5分钟内，他们共相遇多少次？ 解析： 速度和 = 3 + 2 = 5（米/秒） 全程 = 200 米 第n次相遇时间： 秒 5分钟 = 300秒 解不等式： → → → 所以最多相遇4次 答：共相遇4次。 【跟踪训练】 题目：A、B两地相距300米，小张和小李分别以每分钟80米和70米的速度从两地同时出发，相向而行，到达后立即返回。问在出发后10分钟内，他们共相遇多少次？ 答案与解析： 速度和 = 80 + 70 = 150（米/分钟） 第n次相遇时间： 分钟 10分钟内： → → 答：共相遇3次。 【例题3】（相遇地点分析） 题目：甲、乙两人从A、B两地同时出发，甲速为每分钟90米，乙速为每分钟60米，两地相距900米。他们往返运动。问第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 解析： 速度和 = 90 + 60 = 150（米/分钟） 第3次相遇共走路程 = (2×3 - 1) × 900 = 5 × 900 = 4500（米） 时间 = 4500 ÷ 150 = 30（分钟） 甲走的路程 = 90 × 30 = 2700（米） 甲从A出发，一个来回为1800米 → 2700 ÷ 1800 = 1……900 即：走完1个来回（1800米），再走900米 → 正好到达B地 所以相遇点在B地，离A地900米 答：相遇点离A地900米。 【跟踪训练】 题目：A、B相距1200米，小王速度为每分钟100米，小赵为每分钟50米，同时从A、B出发相向而行，往返运动。问第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 答案与解析： 速度和 = 150 米/分钟 第3次相遇总路程 = 5 × 1200 = 6000 米 时间 = 6000 ÷ 150 = 40 分钟 小王走的路程 = 100 × 40 = 4000 米 一个来回 = 2400 米 → 4000 ÷ 2400 = 1……1600 即：1个来回后，再走1600米 → 从A到B是1200米，再返回400米 → 离A地 = 1200 - 400 = 800米 答：相遇点离A地800米。 【例题4】（环形跑道多次相遇） 题目：在一个周长为400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点同时出发，相向而行，甲速为每秒6米，乙速为每秒4米。问他们第5次相遇时共用了多少秒？此时甲共跑了多少米？ 解析： 相向而行，每次相遇合走1圈（400米） 第5次相遇时，共走5圈 = 5 × 400 = 2000（米） 速度和 = 6 + 4 = 10（米/秒） 时间 = 2000 ÷ 10 = 200（秒） 甲跑的路程 = 6 × 200 = 1200（米） 答：共用200秒，甲跑了1200米。 【跟踪训练】 题目：环形跑道周长600米，小李和小陈从同地同时出发，同向而行，小李速度为每分钟120米，小陈为每分钟90米。问小李第3次追上小陈时用了多少分钟？此时小李跑了多少米？ 答案与解析： 同向追及，每次追上多走1圈 第3次追上，多走3圈 = 3 × 600 = 1800（米） 速度差 = 120 - 90 = 30（米/分钟） 时间 = 1800 ÷ 30 = 60（分钟） 小李跑的路程 = 120 × 60 = 7200（米） 答：用了60分钟，小李跑了7200米。 提升练习 1.A、B两地相距800米，甲、乙分别以每分钟75米和65米的速度从A、B同时出发，相向而行，往返不停。求第2次相遇时共用多少分钟？ 2.甲、乙两人从相距500米的两地同时出发，甲速为每秒4米，乙速为每秒1米。他们往返运动。问在出发后4分钟内共相遇多少次？ 3.A、B两地相距1000米，小明速度为每分钟120米，小华为每分钟80米，同时从A、B出发相向而行。求第3次相遇时，相遇点离A地多远？ 4.在周长为800米的环形跑道上，甲、乙从同地出发，相向而行，速度分别为每秒5米和3米。求第4次相遇时间及甲跑的总路程。 5.甲、乙两人从A、B两地同时出发，速度比为3:2，第2次相遇时共走了2400米，求A、B两地距离。 6.小张和小王在一条直路上往返跑步，A、B相距600米，小张速度为每分钟100米，小王为每分钟50米。问他们第4次相遇时，小王共跑了多少米？ 答案及解析 1.解：第2次相遇共走3×800=2400米，速度和=140米/分钟，时间=2400÷140= 分钟 答： 分钟 2.解：速度和=5米/秒，4分钟=240秒，总路程=5×240=1200米，全程500米，第n次相遇需走(2n-1)×500 ≤ 1200 → 2n-1 ≤ 2.4 → n ≤ 1.7 → 相遇1次 答：1次 3.解：第3次相遇共走5×1000=5000米，速度和=200米/分钟，时间=25分钟，小明走120×25=3000米，一个来回2000米，再走1000米 → 到B地，离A地1000米 答：1000米 4.解：第4次相遇共走4×800=3200米，速度和=8米/秒，时间=3200÷8=400秒，甲=5×400=2000米 答：400秒，2000米 5.解：设全程S，第2次相遇共走3S，时间=3S/(a+b)，甲走= a×3S/(a+b) = 3aS/(a+b) 但第2次相遇甲走的路程也可表示为：2S - x（x为离A地距离），但更简单： 由速度比3:2，路程比也为3:2，总路程3S，甲走 又 → S = 米 答： 米 6.解：第4次相遇共走(2×4-1)×600=21×600=12600米，速度和=150米/分钟，时间=12600÷150=84分钟，小王走50×84=4200米 答：4200米 模拟赛场 1.甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行，速度分别为每分钟80米和70米，两地相距900米。他们往返不停。问第3次相遇时，相遇点离B地多远？ 2.甲、乙两人从A、B两地同时出发，速度分别为每秒6米和4米，第2次相遇后继续前进，到对方起点后返回。问第3次相遇时共用了多少秒？（全程1000米） 3.在周长为1000米的环形跑道上，甲、乙从同地出发，同向而行，甲速为每分钟250米，乙速为每分钟150米。问甲第5次追上乙时，共用了多少分钟？ 4.甲、乙两人从A、B两地同时出发，往返运动，速度比为5:3。从开始到第4次相遇，甲共走了3200米，求A、B两地距离。 5.A、B两地相距1500米，小李和小赵分别以每分钟120米和80米的速度从A、B同时出发，相向而行，到达后立即返回。问他们第5次相遇时，共用了多少分钟？ 参考答案及解析 1.解：第3次相遇共走5×900=4500米，速度和=150米/分钟，时间=30分钟，乙走70×30=2100米，从B到A 900米，返回1200米 → 离B地=1200米？不对！ 乙走2100米：B→A（900），A→B（900），再走300米 → 离B地300米 答：离B地300米 2.解：第2次相遇时间 = (3×1000)/(6+4) = 3000÷10 = 300秒，第3次相遇共走5×1000=5000米，时间=5000÷10=500秒 答：500秒 3.解：速度差=100米/分钟，每追上一次多走1000米，第5次追上多走5000米，时间=5000÷100=50分钟 答：50分钟 4.解：第4次相遇共走(2×4-1)S=7S，甲走 → S = 米 答： 米 5.解：第5次相遇共走(2×5-1)×1500=9×1500=13500米，速度和=200米/分钟，时间=13500÷200=67.5分钟 答：67.5分钟 学科网（北京）股份有限公司 $