小升初奥数培优：等积变形与体积不变原理-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《等积变形与体积不变原理》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习立体图形的过程中，常常会遇到这样的问题：一个物体被重新塑形，形状变了，但所用的材料没有增减——它的体积是否改变？答案是：不变！ 这就是我们今天要深入探索的数学智慧——等积变形与体积不变原理。 从一块橡皮泥捏成球体或长方体，到建筑工地将混凝土倒入不同模具，形状千变万化，但体积始终守恒。掌握这一原理，不仅能帮助我们解决复杂的几何问题，更能培养“变中找不变”的数学思维，提升空间想象与逻辑推理能力。 本讲义将带你从生活实例出发，理解等积变形的本质，学会利用“体积不变”这一核心思想解决奥数中的典型问题。希望你在学习中勤于动手、善于思考，把抽象的数学原理转化为解决问题的“金钥匙”。 愿你在“形变体不变”的世界里，发现数学的简洁与神奇！ 知识梳理 1、等积变形的基本概念 （1）等积变形：指一个物体在形状发生变化的过程中，其体积保持不变。这种变化称为“等积变形”。 举例：将一块长方体橡皮泥揉成球体，尽管形状发生了变化，但所用材料的总量没有增加或减少，因此体积保持不变。 （2）适用范围： 仅改变形状，不增减材料； 无压缩、膨胀、蒸发等物理变化； 常见于立体图形之间的转化，如长方体→圆柱、圆柱→圆锥组合等。 2、体积不变原理的应用场景 （1）熔铸问题：将一种形状的金属或材料熔化后铸成另一种形状，体积不变。 （2）切割与拼接：将一个立体图形切割成几部分再重新拼接，总体积不变。 （3）液体倒灌问题：将液体从一个容器倒入另一个容器，液体体积不变。 3、常用体积公式（复习与应用） （1）长方体体积： 其中 为长， 为宽， 为高。 （2）正方体体积： 其中 为棱长。 （3）圆柱体积： 其中 为底面半径， 为高。 （4）圆锥体积： 其中 为底面半径， 为高。 注：六年级下册的学生已经掌握了上述公式，因此本讲义的重点是“应用”。 4、解题思路与策略 （1）找“不变量”：明确题目中哪个量保持不变（通常是体积）。 （2）分步列式：先计算原图形体积，再设未知数表示新图形的某个量，列方程求解。 （3）单位统一：注意长度单位（cm、dm、m）和体积单位（cm³、dm³、m³）的换算。 （4）画图辅助：对于复杂变形，可画出示意图帮助理解。 例题讲解 【例题1】（基础熔铸问题） 题目：一个长方体铁块，长 8 cm，宽 5 cm，高 4 cm。现将它熔铸成一个底面半径为 4 cm 的圆柱体。求这个圆柱体的高。（π取3.14） 解析： 长方体体积： （cm³） 圆柱体体积 = 长方体体积 = 160 cm³ 圆柱体体积公式： 代入： （cm） 答：圆柱体的高约为 3.18 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个正方体铁块，棱长 6 cm，熔铸成一个底面积为 28.26 cm² 的圆柱体，求高。（π取3.14） 答案与解析： 正方体体积： （cm³） 圆柱体体积 = 216 cm³ cm² （cm） 答：高约为 7.64 厘米。 【例题2】（液体倒灌问题） 题目：一个圆柱形水杯，底面半径 5 cm，水深 10 cm。将水全部倒入一个长 10 cm、宽 8 cm 的长方体容器中，求水在长方体容器中的高度。 解析： 水的体积（圆柱部分）： （cm³） 长方体容器中，水的体积不变 设水高为 ，则： （cm） 答：水在长方体容器中的高度为 9.8125 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个长方体水槽，长 12 cm，宽 10 cm，水深 6 cm。将水倒入一个底面直径为 12 cm 的圆柱形杯中，求水面高度。（π取3.14） 答案与解析： 水体积： （cm³） 圆柱底面半径： cm 底面积： （cm²） 高 （cm） 答：水面高度约为 6.37 厘米。 【例题3】（切割后重新组合） 题目：一个棱长为 6 cm 的正方体木块，被切割成 27 个相同的小正方体。将这些小正方体重新拼成一个长方体，长为 9 cm，宽为 6 cm，求高。 解析： 原正方体体积： （cm³） 切割后总体积不变 新长方体体积 = 216 cm³ 设高为 ，则： （cm） 答：长方体的高是 4 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个长方体，长 10 cm，宽 8 cm，高 6 cm，被切成 8 个相同的小长方体。将它们拼成一个正方体，求正方体的棱长。 答案与解析： 原体积： （cm³） 拼成正方体，体积仍为 480 cm³ 设棱长为 ，则 （cm） 答：正方体的棱长约为 7.83 厘米。 【例题4】（综合应用：变形中求未知量） 题目：一个圆锥形铁块，底面半径 6 cm，高 10 cm，熔铸成一个底面半径为 5 cm 的圆柱体。求圆柱体的高。（π取3.14） 解析： 圆锥体积： （cm³） 圆柱体体积 = 376.8 cm³ （cm） 答：圆柱体的高是 4.8 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个圆柱体，底面直径 8 cm，高 6 cm，熔铸成一个底面半径 4 cm 的圆锥体，求圆锥的高。 答案与解析： 圆柱体积：半径 cm， （cm³） 圆锥体积： （cm） 答：圆锥的高是 18 厘米。 提升练习 1.一个长方体铁块，长 15 cm，宽 10 cm，高 8 cm，熔铸成一个球体，求球体的体积。（球体体积公式 ，可保留 π） 2.一个圆柱形水桶，底面半径 10 cm，水深 12 cm，将水倒入一个棱长 20 cm 的正方体容器中，求水深。 3.一个正方体被切成 8 个相同的小正方体，表面积总和比原来增加了 96 cm²，求原正方体的体积。 4.一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积也相等。圆锥的高是 15 cm，求圆柱的高。 5.一个长方体容器长 25 cm，宽 16 cm，高 10 cm，装满水后放入一个棱长 8 cm 的正方体铁块（完全浸没），求溢出水的体积。 6.一个圆柱体底面半径 6 cm，高 10 cm，削成一个最大的圆锥，求削去部分的体积。 答案与解析 1.体积 cm³ 答：球体体积为 1200 cm³。 2.水体积： cm³ 正方体底面积： cm² 水深： cm 答：水深 9.42 cm。 3.设原棱长 ，切成 8 个小正方体，每个棱长 。 原表面积： ，新总表面积： 增加： → → 体积： cm³ 答：原体积为 64 cm³。 4.设底面积为 ，圆锥体积 ，圆柱体积 → cm 答：圆柱高 5 cm。 5.正方体体积： cm³ = 溢出水的体积 答：溢出 512 cm³。 6.圆柱体积： cm³ 最大圆锥体积： cm³ 削去体积： cm³ 答：削去部分 753.6 cm³。 模拟赛场 1.一个长方体和一个圆柱体体积相等。长方体长 12 cm，宽 10 cm，高 5 cm；圆柱体底面直径 10 cm，求其高。 2.一个圆锥形沙堆，底面周长 18.84 m，高 1.5 m，将沙子铺在一条宽 6 m 的路上，铺厚 5 cm，能铺多长？ 3.一个正方体铁块熔铸成一个底面半径为 5 cm 的圆锥，高为 12 cm，求原正方体的棱长。 4.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，将圆柱体熔铸成一个与圆锥同底的圆锥，求新圆锥的高。 5.一个长方体容器长 30 cm，宽 20 cm，水深 15 cm。放入一个圆锥形铁块（底面半径 5 cm，高 12 cm，完全浸没），求水面上升多少厘米。 6.一个半径为 6 cm 的半圆绕其直径旋转一周形成一个球体。若将此球体熔铸成一个底面半径为 6 cm 的圆柱体，求圆柱体的高。 答案与解析 1.长方体体积： cm³ 圆柱半径 5 cm， → → cm 2.底面半径： m 体积： m³ 铺路体积 = 长 × 宽 × 厚 = 长 × 6 × 0.05 = 0.3 × 长 → 长 = 47.1 m 3.圆锥体积： cm³ 正方体体积 = 314 → → cm 4.原圆柱体积 = ，新圆锥同底，体积相同： → 5.圆锥体积： cm³ 上升高度： cm 6.球体体积： cm³ 圆柱体积： → cm 学科网（北京）股份有限公司 $ 《等积变形与体积不变原理》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们学习立体图形的过程中，常常会遇到这样的问题：一个物体被重新塑形，形状变了，但所用的材料没有增减——它的体积是否改变？答案是：不变！ 这就是我们今天要深入探索的数学智慧——等积变形与体积不变原理。 从一块橡皮泥捏成球体或长方体，到建筑工地将混凝土倒入不同模具，形状千变万化，但体积始终守恒。掌握这一原理，不仅能帮助我们解决复杂的几何问题，更能培养“变中找不变”的数学思维，提升空间想象与逻辑推理能力。 本讲义将带你从生活实例出发，理解等积变形的本质，学会利用“体积不变”这一核心思想解决奥数中的典型问题。希望你在学习中勤于动手、善于思考，把抽象的数学原理转化为解决问题的“金钥匙”。 愿你在“形变体不变”的世界里，发现数学的简洁与神奇！ 知识梳理 1、等积变形的基本概念 （1）等积变形：指一个物体在形状发生变化的过程中，其体积保持不变。这种变化称为“等积变形”。 举例：将一块长方体橡皮泥揉成球体，尽管形状发生了变化，但所用材料的总量没有增加或减少，因此体积保持不变。 （2）适用范围： 仅改变形状，不增减材料； 无压缩、膨胀、蒸发等物理变化； 常见于立体图形之间的转化，如长方体→圆柱、圆柱→圆锥组合等。 2、体积不变原理的应用场景 （1）熔铸问题：将一种形状的金属或材料熔化后铸成另一种形状，体积不变。 （2）切割与拼接：将一个立体图形切割成几部分再重新拼接，总体积不变。 （3）液体倒灌问题：将液体从一个容器倒入另一个容器，液体体积不变。 3、常用体积公式（复习与应用） （1）长方体体积： 其中 为长， 为宽， 为高。 （2）正方体体积： 其中 为棱长。 （3）圆柱体积： 其中 为底面半径， 为高。 （4）圆锥体积： 其中 为底面半径， 为高。 注：六年级下册的学生已经掌握了上述公式，因此本讲义的重点是“应用”。 4、解题思路与策略 （1）找“不变量”：明确题目中哪个量保持不变（通常是体积）。 （2）分步列式：先计算原图形体积，再设未知数表示新图形的某个量，列方程求解。 （3）单位统一：注意长度单位（cm、dm、m）和体积单位（cm³、dm³、m³）的换算。 （4）画图辅助：对于复杂变形，可画出示意图帮助理解。 例题讲解 【例题1】（基础熔铸问题） 题目：一个长方体铁块，长 8 cm，宽 5 cm，高 4 cm。现将它熔铸成一个底面半径为 4 cm 的圆柱体。求这个圆柱体的高。（π取3.14） 解析： 长方体体积： （cm³） 圆柱体体积 = 长方体体积 = 160 cm³ 圆柱体体积公式： 代入： （cm） 答：圆柱体的高约为 3.18 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个正方体铁块，棱长 6 cm，熔铸成一个底面积为 28.26 cm² 的圆柱体，求高。（π取3.14） 【例题2】（液体倒灌问题） 题目：一个圆柱形水杯，底面半径 5 cm，水深 10 cm。将水全部倒入一个长 10 cm、宽 8 cm 的长方体容器中，求水在长方体容器中的高度。 解析： 水的体积（圆柱部分）： （cm³） 长方体容器中，水的体积不变 设水高为 ，则： （cm） 答：水在长方体容器中的高度为 9.8125 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个长方体水槽，长 12 cm，宽 10 cm，水深 6 cm。将水倒入一个底面直径为 12 cm 的圆柱形杯中，求水面高度。（π取3.14） 【例题3】（切割后重新组合） 题目：一个棱长为 6 cm 的正方体木块，被切割成 27 个相同的小正方体。将这些小正方体重新拼成一个长方体，长为 9 cm，宽为 6 cm，求高。 解析： 原正方体体积： （cm³） 切割后总体积不变 新长方体体积 = 216 cm³ 设高为 ，则： （cm） 答：长方体的高是 4 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个长方体，长 10 cm，宽 8 cm，高 6 cm，被切成 8 个相同的小长方体。将它们拼成一个正方体，求正方体的棱长。 【例题4】（综合应用：变形中求未知量） 题目：一个圆锥形铁块，底面半径 6 cm，高 10 cm，熔铸成一个底面半径为 5 cm 的圆柱体。求圆柱体的高。（π取3.14） 解析： 圆锥体积： （cm³） 圆柱体体积 = 376.8 cm³ （cm） 答：圆柱体的高是 4.8 厘米。 【跟踪训练】 题目：一个圆柱体，底面直径 8 cm，高 6 cm，熔铸成一个底面半径 4 cm 的圆锥体，求圆锥的高。 提升练习 1.一个长方体铁块，长 15 cm，宽 10 cm，高 8 cm，熔铸成一个球体，求球体的体积。（球 体体积公式 ，可保留 π） 2.一个圆柱形水桶，底面半径 10 cm，水深 12 cm，将水倒入一个棱长 20 cm 的正方体容器中，求水深。 3.一个正方体被切成 8 个相同的小正方体，表面积总和比原来增加了 96 cm²，求原正方体的体积。 4.一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积也相等。圆锥的高是 15 cm，求圆柱的高。 5.一个长方体容器长 25 cm，宽 16 cm，高 10 cm，装满水后放入一个棱长 8 cm 的正方体铁块（完全浸没），求溢出水的体积。 6.一个圆柱体底面半径 6 cm，高 10 cm，削成一个最大的圆锥，求削去部分的体积。 模拟赛场 1.一个长方体和一个圆柱体体积相等。长方体长 12 cm，宽 10 cm，高 5 cm；圆柱体底面直径 10 cm，求其高。 2.一个圆锥形沙堆，底面周长 18.84 m，高 1.5 m，将沙子铺在一条宽 6 m 的路上，铺厚 5 cm，能铺多长？ 3.一个正方体铁块熔铸成一个底面半径为 5 cm 的圆锥，高为 12 cm，求原正方体的棱长。 4.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，将圆柱体熔铸成一个与圆锥同底的圆锥，求新圆锥的高。 5.一个长方体容器长 30 cm，宽 20 cm，水深 15 cm。放入一个圆锥形铁块（底面半径 5 cm，高 12 cm，完全浸没），求水面上升多少厘米。 6.一个半径为 6 cm 的半圆绕其直径旋转一周形成一个球体。若将此球体熔铸成一个底面半径为 6 cm 的圆柱体，求圆柱体的高。 学科网（北京）股份有限公司 $