小升初奥数培优：利润问题与浓度问题-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《利润问题与浓度问题（拓展）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，数学无处不在。当你走进超市，看到“打折促销”“满减优惠”时，背后隐藏的是利润问题的计算；当你在科学实验中调配盐水、糖水，或看到“含盐率”“酒精浓度”时，那正是浓度问题的体现。这些问题看似复杂，实则有章可循，是小学高年级奥数中极具应用价值的两大模块。 本讲义将带领你从生活情境出发，深入理解“成本、售价、利润、利润率”之间的关系，掌握“稀释、混合、蒸发”等浓度变化的规律。通过系统梳理、典型例题和层层训练，帮助你建立清晰的数量关系模型，提升分析与解决实际问题的能力。 希望你带着好奇与思考走进这一讲，用数学的眼光观察世界，用逻辑的思维解决问题，让数学真正成为你生活中的“好帮手”！ 知识梳理 1、利润问题的基本概念与关系 （1）基本定义： 成本价（进价）：商家购买商品所花的钱。 售价：商品实际卖出的价格。 利润：售价与成本价的差额，即：利润 = 售价 - 成本。 利润率：利润占成本的百分比，即：利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%。 折扣：售价是原价的百分之几十，如“八折”即售价为原价的 或80%。 （2）核心公式： 售价 = 成本 × (1 + 利润率) 成本 = 售价 ÷ (1 + 利润率) 利润 = 成本 × 利润率 （3）常见题型： 求利润率 已知售价和利润率求成本 打折销售问题 多次买卖或分批销售问题 2、浓度问题的基本概念与关系 （1）基本定义： 溶液：由溶质和溶剂组成的混合物，如盐水。 溶质：被溶解的物质，如盐。 溶剂：溶解溶质的液体，如水。 浓度：溶质占溶液的百分比，即：浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%。 （2）核心公式： 溶质 = 溶液 × 浓度 溶液 = 溶质 ÷ 浓度 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 （3）常见变化类型： 加水稀释：溶质不变，溶液增加，浓度降低。 蒸发水：溶质不变，溶液减少，浓度升高。 加溶质：溶液和溶质都增加，浓度升高。 混合溶液：两种或多种不同浓度的溶液混合，总溶质 = 各溶液溶质之和，总溶液 = 各溶液之和。 （4）解题关键：抓住“不变量”，通常是溶质或溶剂。 3、综合应用策略 利润问题中，注意“单位‘1’是成本”。 浓度问题中，优先考虑溶质是否变化。 复杂问题可用方程法或列表法辅助分析。 例题讲解 【例题1】（基础利润问题） 题目：某商店以每件80元的成本购进一批服装，售价为每件100元。求每件服装的利润率是多少？ 解析： 利润 = 售价 - 成本 = （元） 利润率 = 利润 ÷ 成本 = 答：每件服装的利润率是25%。 【跟踪训练】 题目：一台学习机进价是400元，售价是500元，求利润率。 【例题2】（打折销售问题） 题目：一件羽绒服原价800元，商店打七五折出售，仍获利60元。这件羽绒服的成本是多少元？ 解析： 打七五折，售价 = （元） 成本 = 售价 - 利润 = （元） 答：成本是540元。 【跟踪训练】 题目：一台电风扇原价300元，打八折后售出，获利30元。求成本价。 【例题3】（基础浓度问题） 题目：有盐水200克，含盐率为10%。求其中含盐多少克？含水多少克？ 解析： 含盐 = 溶液 × 浓度 = （克） 含水 = （克） 答：含盐20克，含水180克。 【跟踪训练】 题目：一杯糖水重150克，含糖率为8%，求含糖多少克？ 【例题4】（浓度变化：加水稀释） 题目：有盐水100克，含盐率是20%。加入多少克水后，含盐率变为10%？ 解析： 原盐水中含盐 = （克） 稀释后，盐不变，浓度变为10%，则新溶液 = （克） 加水量 = （克） 答：需加入100克水。 【跟踪训练】 题目：有酒精溶液50克，浓度为40%。加入多少克水后，浓度变为25%？ 提升练习 1.某商品按20%的利润率定价，后打九折出售，实际利润率是多少？ 2.一件商品先涨价10%，再降价10%，现价是原价的百分之几？ 3.有盐水300克，含盐率15%。蒸发掉多少克水后，含盐率变为25%？ 4.有甲、乙两种盐水，甲重200克，含盐率10%；乙重300克，含盐率20%。混合后含盐率是多少？ 模拟赛场 1.某商品按成本价提高50%定价，再打八折出售，共卖出10件，获利600元。求每件成本价。 2.有盐水若干克，含盐率20%。加入300克水后，含盐率变为8%。求原盐水质量。 3.甲、乙两件商品售价相同。甲赚了25%，乙亏了25%。问总的是赚还是亏？亏或赚了百分之几？ 4.有浓度为30%的盐水若干克，加入一定量的浓度为10%的盐水200克后，混合成浓度为20%的盐水。求原盐水质量。 5.一瓶酒精，先倒出 ，再用水加满；再倒出 ，再用水加满。此时酒精浓度是多少？ 6.某商品按20%利润定价，销售时发现销量不佳，于是打九折促销，结果每天销量增加了一倍。问总利润比原来增加还是减少？变化百分之几？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《利润问题与浓度问题（拓展）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们日常生活中，数学无处不在。当你走进超市，看到“打折促销”“满减优惠”时，背后隐藏的是利润问题的计算；当你在科学实验中调配盐水、糖水，或看到“含盐率”“酒精浓度”时，那正是浓度问题的体现。这些问题看似复杂，实则有章可循，是小学高年级奥数中极具应用价值的两大模块。 本讲义将带领你从生活情境出发，深入理解“成本、售价、利润、利润率”之间的关系，掌握“稀释、混合、蒸发”等浓度变化的规律。通过系统梳理、典型例题和层层训练，帮助你建立清晰的数量关系模型，提升分析与解决实际问题的能力。 希望你带着好奇与思考走进这一讲，用数学的眼光观察世界，用逻辑的思维解决问题，让数学真正成为你生活中的“好帮手”！ 知识梳理 1、利润问题的基本概念与关系 （1）基本定义： 成本价（进价）：商家购买商品所花的钱。 售价：商品实际卖出的价格。 利润：售价与成本价的差额，即：利润 = 售价 - 成本。 利润率：利润占成本的百分比，即：利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%。 折扣：售价是原价的百分之几十，如“八折”即售价为原价的 或80%。 （2）核心公式： 售价 = 成本 × (1 + 利润率) 成本 = 售价 ÷ (1 + 利润率) 利润 = 成本 × 利润率 （3）常见题型： 求利润率 已知售价和利润率求成本 打折销售问题 多次买卖或分批销售问题 2、浓度问题的基本概念与关系 （1）基本定义： 溶液：由溶质和溶剂组成的混合物，如盐水。 溶质：被溶解的物质，如盐。 溶剂：溶解溶质的液体，如水。 浓度：溶质占溶液的百分比，即：浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%。 （2）核心公式： 溶质 = 溶液 × 浓度 溶液 = 溶质 ÷ 浓度 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 （3）常见变化类型： 加水稀释：溶质不变，溶液增加，浓度降低。 蒸发水：溶质不变，溶液减少，浓度升高。 加溶质：溶液和溶质都增加，浓度升高。 混合溶液：两种或多种不同浓度的溶液混合，总溶质 = 各溶液溶质之和，总溶液 = 各溶液之和。 （4）解题关键：抓住“不变量”，通常是溶质或溶剂。 3、综合应用策略 利润问题中，注意“单位‘1’是成本”。 浓度问题中，优先考虑溶质是否变化。 复杂问题可用方程法或列表法辅助分析。 例题讲解 【例题1】（基础利润问题） 题目：某商店以每件80元的成本购进一批服装，售价为每件100元。求每件服装的利润率是多少？ 解析： 利润 = 售价 - 成本 = （元） 利润率 = 利润 ÷ 成本 = 答：每件服装的利润率是25%。 【跟踪训练】 题目：一台学习机进价是400元，售价是500元，求利润率。 答案与解析： 利润 = （元） 利润率 = 答：利润率为25%。 【例题2】（打折销售问题） 题目：一件羽绒服原价800元，商店打七五折出售，仍获利60元。这件羽绒服的成本是多少元？ 解析： 打七五折，售价 = （元） 成本 = 售价 - 利润 = （元） 答：成本是540元。 【跟踪训练】 题目：一台电风扇原价300元，打八折后售出，获利30元。求成本价。 答案与解析： 售价 = （元） 成本 = （元） 答：成本价是210元。 【例题3】（基础浓度问题） 题目：有盐水200克，含盐率为10%。求其中含盐多少克？含水多少克？ 解析： 含盐 = 溶液 × 浓度 = （克） 含水 = （克） 答：含盐20克，含水180克。 【跟踪训练】 题目：一杯糖水重150克，含糖率为8%，求含糖多少克？ 答案与解析： 含糖 = （克） 答：含糖12克。 【例题4】（浓度变化：加水稀释） 题目：有盐水100克，含盐率是20%。加入多少克水后，含盐率变为10%？ 解析： 原盐水中含盐 = （克） 稀释后，盐不变，浓度变为10%，则新溶液 = （克） 加水量 = （克） 答：需加入100克水。 【跟踪训练】 题目：有酒精溶液50克，浓度为40%。加入多少克水后，浓度变为25%？ 答案与解析： 原酒精 = （克） 新溶液 = （克） 加水量 = （克） 答：需加入30克水。 提升练习 1.某商品按20%的利润率定价，后打九折出售，实际利润率是多少？ 2.一件商品先涨价10%，再降价10%，现价是原价的百分之几？ 3.有盐水300克，含盐率15%。蒸发掉多少克水后，含盐率变为25%？ 4.有甲、乙两种盐水，甲重200克，含盐率10%；乙重300克，含盐率20%。混合后含盐率是多少？ 答案与解析 1.解：设成本为单位“1”，定价 = ，打九折后售价 = ，利润 = ，利润率 = 。 答：8%。 2.解：设原价为1，涨价后为 ，再降价后为 ，是原价的99%。 答：99%。 3.解：原盐 = （克），蒸发后溶液 = （克），蒸发水量 = （克）。 答：120克。 4.解：甲含盐 = （克），乙含盐 = （克），总盐 = 80克，总溶液 = 500克，浓度 = 。 答：16%。 模拟赛场 1.某商品按成本价提高50%定价，再打八折出售，共卖出10件，获利600元。求每件成本价。 2.有盐水若干克，含盐率20%。加入300克水后，含盐率变为8%。求原盐水质量。 3.甲、乙两件商品售价相同。甲赚了25%，乙亏了25%。问总的是赚还是亏？亏或赚了百分之几？ 4.有浓度为30%的盐水若干克，加入一定量的浓度为10%的盐水200克后，混合成浓度为20%的盐水。求原盐水质量。 5.一瓶酒精，先倒出 ，再用水加满；再倒出 ，再用水加满。此时酒精浓度是多少？ 6.某商品按20%利润定价，销售时发现销量不佳，于是打九折促销，结果每天销量增加了一倍。问总利润比原来增加还是减少？变化百分之几？ 答案与解析 1.解：设成本为 ，定价 = ，售价 = ，每件利润 = ，10件利润 = ，得 。 答：每件成本300元。 2.解：设原盐水 克，含盐 = ，加水后溶液 = ，浓度 = ，解得 。 答：200克。 3.解：设售价为单位“1”，甲成本 = ，乙成本 = ，总成本 = ，总售价 = 2，亏 ，亏率 ≈ 。 答：亏了，约6.25%。 4.解：设原盐水 克，含盐 ，加入盐 = 克，总盐 = ，总溶液 = ，浓度 = ，列式： ，解得 。 答：200克。 5.解：设原酒精1，第一次倒出 ，剩 ，加水后浓度 = ；第二次倒出 ，剩 ，浓度 = 。 答： 。 6.解：设原价1，成本1，定价1.2，原销量1，原利润0.2。现售价 = ，销量2，总利润 = ，原总利润0.2，减少 ，变化率 = 。 答：减少，20%。 学科网（北京）股份有限公司 $