小升初奥数培优：工程问题（进阶）-多人合作与交替工作-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《工程问题（进阶）-多人合作与交替工作》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，工程问题不仅是一类经典的应用题，更是锻炼我们逻辑思维、统筹规划能力的重要载体。从“两人合修一条路”到“三人轮流挖土”，从“合作完成任务”到“交替工作优化时间”，这些看似复杂的问题，其实都建立在“工作总量=工作效率×工作时间”这一核心关系之上。 本讲义聚焦于工程问题的进阶题型——多人合作与交替工作，帮助你突破“谁先谁后”“如何分工”“怎样最省时”等思维难点。通过系统梳理、典型例题和层层训练，你将学会如何将复杂问题拆解为基本模型，掌握“设单位‘1’”“抓效率”“算周期”等核心策略。 希望你在学习中保持耐心与思考，像一名真正的“工程规划师”一样，用数学的智慧去设计最优方案。相信通过本讲的学习，你不仅能解决奥数难题，更能培养出未来学习与生活中都至关重要的系统思维与协作意识。 知识梳理 1、工程问题的基本模型 （1）核心概念： 工作总量：通常设为单位“1”，表示一项完整的工作任务。 工作效率：单位时间内完成的工作量，如“甲每天完成 ”。 工作时间：完成工作所需的时间。 基本关系式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 （2）常见设法： 当题目未给具体工作量时，统一设工作总量为“1”。 效率可表示为分数，如甲单独做需10天，则甲效率为 。 2、多人合作问题 （1）合作效率：多人同时工作时，总效率为各人效率之和。 例如：甲效率 ，乙效率 ，合作效率 = ，即6天完成。 （2）分段合作：不同阶段由不同人参与，需分段计算工作量。 3、交替工作问题 （1）周期性交替：如“甲做1天，乙做1天，交替进行”。 解题关键：找出一个完整周期的工作量，再看需要多少个周期，最后处理剩余工作。 （2）不等时交替：如“甲做2天，乙做1天，循环进行”。 仍以“周期”为单位分析，计算每周期完成量。 （3）最后一天可能不完整：需判断最后一轮是否由某一人单独完成。 4、解题策略 设单位“1”法：统一工作总量。 列表法：清晰呈现各阶段效率与时间。 方程法：用于复杂关系或未知数较多的情况。 抓“不变量”：工作总量不变，效率可加。 例题讲解 【例题1】（基础合作问题） 题目：修一条水渠，甲队单独修需12天，乙队单独修需18天。两队合修，多少天可以完成？ 解析： 设工作总量为“1”。 甲效率： ，乙效率： 。 合作效率： 。 合作时间： （天）。 答：7.2天可以完成。 【跟踪训练】 题目：一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需10天。两人合做，几天完成？ 答案与解析： 甲效率： ，乙效率： 。 合作效率： 。 时间： （天）。 答：6天完成。 【例题2】（分段合作） 题目：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天。先由甲单独做5天，剩下的由甲乙合做，还需几天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 甲5天完成： 。 剩余工作量： 。 合作效率： 。 所需时间： （天）。 答：还需9天完成。 【跟踪训练】 题目：一项任务，A单独做需25天，B单独做需50天。A先做10天，剩下的由A、B合做，还需几天？ 答案与解析： A效率： ，B效率： 。 A10天完成： 。 剩余： 。 合作效率： 。 时间： （天）。 答：还需10天。 【例题3】（周期性交替：同效率） 题目：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需12天。两人轮流做，甲先做1天，乙做1天，交替进行。问多少天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 一个周期（2天）完成： 。 需要周期数： 个周期。 总时间： 天。 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲、乙效率相同，单独做各需10天。甲先做1天，乙做1天，交替进行，共需几天？ 答案与解析： 每周期（2天）完成： 。 需5个周期，共 天。 答：10天。 【例题4】（周期性交替：不同效率） 题目：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。甲先做1天，乙做1天，交替进行。问多少天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 一个周期（2天）完成： 。 6个周期完成： ，正好完成。 总时间： 天。 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需8天，乙需24天。甲做1天，乙做1天，交替进行，共需几天？ 答案与解析： 甲效率： ，乙效率： 。 一周期完成： 。 需6个周期，共12天。 答：12天。 提升练习 1.一项工程，甲需18天，乙需9天。甲、乙合做几天后，乙单独做3天完成，共用多少天？ 2.甲效率是乙的2倍，两人合做6天完成。问甲单独做需几天？ 3.一项任务，甲做2天，乙做1天，交替进行（甲先做）。甲需12天单独完成，乙需18天。多少天完成？ 4.甲、乙、丙效率分别为 、 、 ，三人轮流各做1天，甲先做。多少天完成？ 5.一项工程，甲做3天，乙做2天，交替进行（甲先）。甲需15天，乙需10天。多少天完成？ 答案与解析 1.解：设总量1。甲效率 ，乙 。设合做 天，则： → → 。总时间 = 天。 答：7天。 2.解：设乙效率 ，甲为 。合做： → → 。甲效率 ，单独需9天。 答：9天。 3.解：甲效率 ，乙 。一周期（3天）完成： 。需 周期 → 5周期？但4周期完成 ，剩 ，甲做1天完成 ，再乙做？实际：第13天甲做，完成 ，累计 ，第14天乙做，需 天。共14.5天。 答：14.5天。 4.解：一周期（3天）完成： 。需5周期，共15天。 答：15天。 5.解：一周期（5天）：甲做3天，乙做2天，完成： 。需2.5周期 → 3周期？2周期完成 ，剩 ，甲做3天可完成 ，只需3天。总时间： 天。 答：13天。 模拟赛场 1.甲、乙合做一项工程需12天。若甲先做3天，乙再加入，共用10天完成。问甲单独做需几天？ 2.一项工程，甲需20天，乙需30天。甲、乙轮流做，甲先做1天，乙做2天，交替进行。多少天完成？ 3.甲、乙、丙三人合做需10天。甲、乙合做12天完成。问丙单独做需几天？ 4.一项任务，甲做1天，乙做1天，丙做1天，交替进行（甲先）。甲需15天，乙需20天，丙需30天。多少天完成？ 5.甲效率是乙的3倍。甲、乙合做4天完成工程的 。问乙单独做需几天？ 6.一项工程，甲做2天，乙做1天，交替进行。甲需10天，乙需15天。若总工作量增加 ，仍按此方式交替，多少天完成？ 答案与解析 1.解：设甲效率 ，乙 。 ， → 。由第一式得 ，代入得 → → → 。甲单独需 天。 答：7.2天。 2.解：甲效率 ，乙 。一周期（3天）：甲1天，乙2天，完成： 。 周期。8周期完成 ，剩 ，甲做1天完成 ，再乙做？甲做1天后剩 ，乙需 天。总时间： 天。 答：25.5天。 3.解：甲+乙+丙效率： ，甲+乙： 。丙效率： 。丙单独需60天。 答：60天。 4.解：一周期（3天）完成： 。需 周期。6周期完成 ，剩 ，甲做1天完成 ，再乙做1天完成 ，累计 ？错。 ， ， ，甲做1天剩 ，乙做需 天。总时间： 天。 答： 天。 5.解：设乙效率 ，甲 。 → → 。乙单独需32天。 答：32天。 6.解：原效率：甲 ，乙 。一周期（3天）完成： 。新总量： 。需周期数： 。总时间： 天。 答：15天。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《工程问题（进阶）-多人合作与交替工作》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在数学的世界里，工程问题不仅是一类经典的应用题，更是锻炼我们逻辑思维、统筹规划能力的重要载体。从“两人合修一条路”到“三人轮流挖土”，从“合作完成任务”到“交替工作优化时间”，这些看似复杂的问题，其实都建立在“工作总量=工作效率×工作时间”这一核心关系之上。 本讲义聚焦于工程问题的进阶题型——多人合作与交替工作，帮助你突破“谁先谁后”“如何分工”“怎样最省时”等思维难点。通过系统梳理、典型例题和层层训练，你将学会如何将复杂问题拆解为基本模型，掌握“设单位‘1’”“抓效率”“算周期”等核心策略。 希望你在学习中保持耐心与思考，像一名真正的“工程规划师”一样，用数学的智慧去设计最优方案。相信通过本讲的学习，你不仅能解决奥数难题，更能培养出未来学习与生活中都至关重要的系统思维与协作意识。 知识梳理 1、工程问题的基本模型 （1）核心概念： 工作总量：通常设为单位“1”，表示一项完整的工作任务。 工作效率：单位时间内完成的工作量，如“甲每天完成 ”。 工作时间：完成工作所需的时间。 基本关系式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 （2）常见设法： 当题目未给具体工作量时，统一设工作总量为“1”。 效率可表示为分数，如甲单独做需10天，则甲效率为 。 2、多人合作问题 （1）合作效率：多人同时工作时，总效率为各人效率之和。 例如：甲效率 ，乙效率 ，合作效率 = ，即6天完成。 （2）分段合作：不同阶段由不同人参与，需分段计算工作量。 3、交替工作问题 （1）周期性交替：如“甲做1天，乙做1天，交替进行”。 解题关键：找出一个完整周期的工作量，再看需要多少个周期，最后处理剩余工作。 （2）不等时交替：如“甲做2天，乙做1天，循环进行”。 仍以“周期”为单位分析，计算每周期完成量。 （3）最后一天可能不完整：需判断最后一轮是否由某一人单独完成。 4、解题策略 设单位“1”法：统一工作总量。 列表法：清晰呈现各阶段效率与时间。 方程法：用于复杂关系或未知数较多的情况。 抓“不变量”：工作总量不变，效率可加。 例题讲解 【例题1】（基础合作问题） 题目：修一条水渠，甲队单独修需12天，乙队单独修需18天。两队合修，多少天可以完成？ 解析： 设工作总量为“1”。 甲效率： ，乙效率： 。 合作效率： 。 合作时间： （天）。 答：7.2天可以完成。 【跟踪训练】 题目：一项工程，甲单独做需15天，乙单独做需10天。两人合做，几天完成？ 【例题2】（分段合作） 题目：一项工程，甲单独做需20天，乙单独做需30天。先由甲单独做5天，剩下的由甲乙合做，还需几天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 甲5天完成： 。 剩余工作量： 。 合作效率： 。 所需时间： （天）。 答：还需9天完成。 【跟踪训练】 题目：一项任务，A单独做需25天，B单独做需50天。A先做10天，剩下的由A、B合做，还需几天？ 【例题3】（周期性交替：同效率） 题目：一项工程，甲单独做需12天，乙单独做需12天。两人轮流做，甲先做1天，乙做1天，交替进行。问多少天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 一个周期（2天）完成： 。 需要周期数： 个周期。 总时间： 天。 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲、乙效率相同，单独做各需10天。甲先做1天，乙做1天，交替进行，共需几天？ 【例题4】（周期性交替：不同效率） 题目：一项工程，甲单独做需10天，乙单独做需15天。甲先做1天，乙做1天，交替进行。问多少天完成？ 解析： 甲效率： ，乙效率： 。 一个周期（2天）完成： 。 6个周期完成： ，正好完成。 总时间： 天。 答：12天完成。 【跟踪训练】 题目：甲单独做需8天，乙需24天。甲做1天，乙做1天，交替进行，共需几天？ 提升练习 1.一项工程，甲需18天，乙需9天。甲、乙合做几天后，乙单独做3天完成，共用多少天？ 2.甲效率是乙的2倍，两人合做6天完成。问甲单独做需几天？ 3.一项任务，甲做2天，乙做1天，交替进行（甲先做）。甲需12天单独完成，乙需18天。多少天完成？ 4.甲、乙、丙效率分别为 、 、 ，三人轮流各做1天，甲先做。多少天完成？ 5.一项工程，甲做3天，乙做2天，交替进行（甲先）。甲需15天，乙需10天。多少天完成？ 模拟赛场 1.甲、乙合做一项工程需12天。若甲先做3天，乙再加入，共用10天完成。问甲单独做需几天？ 2.一项工程，甲需20天，乙需30天。甲、乙轮流做，甲先做1天，乙做2天，交替进行。多少天完成？ 3.甲、乙、丙三人合做需10天。甲、乙合做12天完成。问丙单独做需几天？ 4.一项任务，甲做1天，乙做1天，丙做1天，交替进行（甲先）。甲需15天，乙需20天，丙需30天。多少天完成？ 5.甲效率是乙的3倍。甲、乙合做4天完成工程的 。问乙单独做需几天？ 6.一项工程，甲做2天，乙做1天，交替进行。甲需10天，乙需15天。若总工作量增加 ，仍按此方式交替，多少天完成？ 学科网（北京）股份有限公司 $