小升初奥数培优：量率对应与单位-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《量率对应与单位“1”的转化》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在小学数学的学习旅程中，分数应用题是一座既重要又充满挑战的“山峰”。它不仅是日常考试的高频考点，更是小升初选拔中拉开差距的关键题型。许多同学面对“谁是谁的几分之几”“比谁多几分之几”等表述时，常常感到头晕眼花、无从下手。其实，破解这类问题的“金钥匙”就藏在两个核心概念中：量率对应与单位“1”的转化。 “量”指的是具体数量，“率”指的是对应的分率。只有当“量”与“率”准确对应，才能列出正确的算式。而“单位‘1’”就是我们衡量一切的基准。学会找准单位“1”，判断它是“已知”还是“未知”，并能根据题目条件灵活转化单位“1”，是解决复杂分数应用题的根本之道。 愿你在本讲义的引导下，通过系统学习与层层训练，逐步建立清晰的逻辑思维，掌握解题的“道”与“术”，轻松攻克分数应用题这一难关，为未来的数学学习打下坚实的基础！ 知识梳理 1、单位“1”的理解与确定 （1）定义：在分数应用题中，我们通常把作为比较标准的量叫做单位“1”，也称为“整体”或“标准量”。它相当于一个基准，其他量都与它进行比较。 （2）确定方法：单位“1”通常出现在“是”“占”“比”“相当于”“等于”等关键词的后面，或“的”字前面。例如： 甲是乙的 ，单位“1”是“乙”。 男生占全班人数的 ，单位“1”是“全班人数”。 实际比计划多 ，单位“1”是“计划”。 （3）单位“1”的状态： 若单位“1”已知，求它的几分之几是多少，用乘法。 若单位“1”未知，但知道某个量占它的几分之几，用除法或方程求单位“1”。 2、量率对应的基本原理 （1）核心公式： 具体数量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量 单位“1”的量 × 对应的分率 = 具体数量 （2）关键点：必须确保“数量”与“分率”是“配套”的。即：题目中给出的具体数量，必须找到它所对应的分率。例如：一本书看了 ，正好看了40页。这里的40页对应的是 ，因此全书页数为： （页）。 （3）常见分率类型： 直接给出：如“占 ”。 间接给出：如“比……多 ”则对应分率为 ；“比……少 ”则对应分率为 。 3、单位“1”的转化方法 （1）统一单位“1”：当题目中出现多个“单位‘1’”时（如甲是乙的 ，乙是丙的 ），需通过乘除法将不同单位“1”的分率统一到同一个基准下。 （2）抓不变量法：在变化过程中，寻找始终不变的量作为新的单位“1”或转化桥梁。常见不变量有：水的重量、总人数、总价等。 （3）方程法辅助：当关系复杂时，可设单位“1”为 ，根据等量关系列方程求解。 4、解题一般步骤 （1）找：找出单位“1”。 （2）判：判断单位“1”是否已知。 （3）找对应：找出具体数量及其对应的分率。 （4）列式：根据量率关系列式计算。 （5）验：检查答案是否符合题意。 例题讲解 【例题1】（基础量率对应） 题目：一袋大米，吃了 ，还剩10千克。这袋大米原有多少千克？ 解析： 单位“1”：这袋大米的总重量（未知）。 吃了 ，则剩下 。 剩下的10千克对应分率 。 根据“数量 ÷ 分率 = 单位‘1’”： （千克）。 答：这袋大米原有25千克。 【跟踪训练】 题目：修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 ，还剩200米没有修。这条路全长多少米？ 答案与解析： 单位“1”：路的全长（未知）。 剩下的分率： 。 200米对应 。 列式： （米）。 答：这条路全长480米。 【例题2】（部分与整体的关系） 题目：某工厂有工人120人，其中男工人数占总人数的 ，女工有多少人？ 解析： 单位“1”：总人数120人（已知）。 女工占： 。 求女工人数： （人）。 答：女工有45人。 【跟踪训练】 题目：学校图书馆有故事书360本，占全部图书的 ，其余是科技书。科技书有多少本？ 答案与解析： 单位“1”：全部图书（未知）。 科技书占： 。 先求总量： （本）。 科技书： （本）。 答：科技书有480本。 【例题3】（单位“1”的转化：甲乙互比） 题目：甲的钱数是乙的 ，乙的钱数是丙的 ，甲有12元，丙有多少元？ 解析： 第一步：甲是乙的 ，单位“1”是乙。 乙： （元）。 第二步：乙是丙的 ，单位“1”是丙。 丙： （元）。 答：丙有24元。 【跟踪训练】 题目：甲的图书是乙的 ，乙的图书是丙的 ，甲有40本图书，丙有多少本？ 答案与解析： 乙： （本）。 丙： （本）。 答：丙有60本。 【例题4】（抓不变量转化单位“1”） 题目：一杯盐水，盐占盐水的 ，加入10克盐后，盐占盐水的 。原来盐水有多少克？ 解析： 关键：水的重量不变。 设原来盐水重 克，则盐重 克，水重 克。 加盐后，盐水重 克，盐占 ，则水占 ，水重 克。 水不变，列方程： 两边同除以9： 交叉相乘： → → 答：原来盐水有100克。 【跟踪训练】 题目：水结成冰，体积增加 ；冰化成水，体积减少几分之几？ 答案与解析： 水结成冰：单位“1”是水，冰体积为 。 冰化成水：单位“1”是冰（ ），水体积为1，减少 。 减少的分率： 。 答：体积减少 。 提升练习 1.一桶油，第一次倒出一半，第二次倒出余下的一半，还剩10千克。这桶油原有多少千克？ 2.某校六年级有学生150人，其中男生人数的 等于女生人数的 。男、女生各有多少人？ 3.甲、乙两筐苹果共重80千克，甲筐取出 给乙筐后，两筐重量相等。甲筐原来有多少千克苹果？ 4.一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下的 ，还剩60页没有读。这本书共有多少页？ 5.甲的钱数是乙的 ，如果乙给甲10元，那么甲的钱数是乙的 。甲、乙原来各有多少元？ 答案与解析 1.解：第二次倒出前有 （千克），第一次倒出前有 （千克）。 答：40千克。 2.解：设男生为单位“1”，则男生的 = 女生的 ，得女生 = 男生 × 。 总人数对应： 。 男生： （人），女生： （人）。 答：男生90人，女生60人。 3.解：设甲原来有 千克，则乙有 千克。 甲取出 给乙后： 甲剩： ，乙为： 。 两者相等： → → 。 答：甲原来有50千克。 4.解：第一天后剩 。 第二天读了余下的 ，即读了全书的 。 两天共读： ，还剩 。 （页）。 答：100页。 5.解：设乙原有 元，则甲有 元。 乙给甲10元后：甲有 ，乙有 。 根据题意： 解方程：两边同乘12： → → 。 甲： （元）。 答：甲原有165元，乙原有220元。 模拟赛场 1. 有甲、乙两堆煤，共重360吨。如果从甲堆运走 ，从乙堆运走 ，则两堆共运走110吨。原来甲、乙两堆煤各重多少吨？ 2. 某工厂男职工人数占全厂人数的 ，后来又招进20名男职工，这时男职工人数占全厂人数的 。该厂原来有多少人？ 3. 甲、乙、丙三人合买一台电视机。甲付钱的 等于乙付钱的 ，等于丙付钱的 。已知丙比甲多付了120元。这台电视机多少钱？ 4. 一桶水，第一次倒出 ，第二次倒出5升，第三次倒出剩下的 ，第四次倒出9升，正好倒完。这桶水原来有多少升？ 5. 甲、乙两班人数相等。从甲班调10人到乙班后，甲班人数是乙班人数的 。甲、乙两班原来各有多少人？ 6. 某商店同时卖出两件商品，每件各卖60元。其中一件赚了 ，另一件亏了 。商店卖出这两件商品是赚了还是亏了？赚或亏了多少元？ 答案与解析 1.解：设甲堆 吨，乙堆 吨。 运走： 解得： ，乙堆： 。 答：甲120吨，乙240吨。 2.解：设原来有 人，男职工 。 招进20人后，总人数 ，男职工 。 解得： 。 答：原来有240人。 3.解：设甲付 ，则甲的 。 乙的 → 乙付 。 丙的 → 丙付 。 丙比甲多： → 。 总价： （元）。 答：2640元。 4.解：倒推。第四次前剩9升（正好倒完）。 第三次倒出剩下的 ，剩9升，说明倒出前有 升。 第二次倒出5升前有 升。 第一次倒出 ，剩18.5升，对应 。 原来： 升。 答： 升。 5.解：设原来每班 人。 调人后：甲班 ，乙班 。 → → → 。 答：原来各40人。 6.解：第一件成本： 元，赚10元。 第二件成本： 元，亏15元。 总成本： 元，总收入：120元。 亏： 元。 答：亏了5元。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《量率对应与单位“1”的转化》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在小学数学的学习旅程中，分数应用题是一座既重要又充满挑战的“山峰”。它不仅是日常考试的高频考点，更是小升初选拔中拉开差距的关键题型。许多同学面对“谁是谁的几分之几”“比谁多几分之几”等表述时，常常感到头晕眼花、无从下手。其实，破解这类问题的“金钥匙”就藏在两个核心概念中：量率对应与单位“1”的转化。 “量”指的是具体数量，“率”指的是对应的分率。只有当“量”与“率”准确对应，才能列出正确的算式。而“单位‘1’”就是我们衡量一切的基准。学会找准单位“1”，判断它是“已知”还是“未知”，并能根据题目条件灵活转化单位“1”，是解决复杂分数应用题的根本之道。 愿你在本讲义的引导下，通过系统学习与层层训练，逐步建立清晰的逻辑思维，掌握解题的“道”与“术”，轻松攻克分数应用题这一难关，为未来的数学学习打下坚实的基础！ 知识梳理 1、单位“1”的理解与确定 （1）定义：在分数应用题中，我们通常把作为比较标准的量叫做单位“1”，也称为“整体”或“标准量”。它相当于一个基准，其他量都与它进行比较。 （2）确定方法：单位“1”通常出现在“是”“占”“比”“相当于”“等于”等关键词的后面，或“的”字前面。例如： 甲是乙的 ，单位“1”是“乙”。 男生占全班人数的 ，单位“1”是“全班人数”。 实际比计划多 ，单位“1”是“计划”。 （3）单位“1”的状态： 若单位“1”已知，求它的几分之几是多少，用乘法。 若单位“1”未知，但知道某个量占它的几分之几，用除法或方程求单位“1”。 2、量率对应的基本原理 （1）核心公式： 具体数量 ÷ 对应的分率 = 单位“1”的量 单位“1”的量 × 对应的分率 = 具体数量 （2）关键点：必须确保“数量”与“分率”是“配套”的。即：题目中给出的具体数量，必须找到它所对应的分率。例如：一本书看了 ，正好看了40页。这里的40页对应的是 ，因此全书页数为： （页）。 （3）常见分率类型： 直接给出：如“占 ”。 间接给出：如“比……多 ”则对应分率为 ；“比……少 ”则对应分率为 。 3、单位“1”的转化方法 （1）统一单位“1”：当题目中出现多个“单位‘1’”时（如甲是乙的 ，乙是丙的 ），需通过乘除法将不同单位“1”的分率统一到同一个基准下。 （2）抓不变量法：在变化过程中，寻找始终不变的量作为新的单位“1”或转化桥梁。常见不变量有：水的重量、总人数、总价等。 （3）方程法辅助：当关系复杂时，可设单位“1”为 ，根据等量关系列方程求解。 4、解题一般步骤 （1）找：找出单位“1”。 （2）判：判断单位“1”是否已知。 （3）找对应：找出具体数量及其对应的分率。 （4）列式：根据量率关系列式计算。 （5）验：检查答案是否符合题意。 例题讲解 【例题1】（基础量率对应） 题目：一袋大米，吃了 ，还剩10千克。这袋大米原有多少千克？ 解析： 单位“1”：这袋大米的总重量（未知）。 吃了 ，则剩下 。 剩下的10千克对应分率 。 根据“数量 ÷ 分率 = 单位‘1’”： （千克）。 答：这袋大米原有25千克。 【跟踪训练】 题目：修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的 ，还剩200米没有修。这条路全长多少米？ 【例题2】（部分与整体的关系） 题目：某工厂有工人120人，其中男工人数占总人数的 ，女工有多少人？ 解析： 单位“1”：总人数120人（已知）。 女工占： 。 求女工人数： （人）。 答：女工有45人。 【跟踪训练】 题目：学校图书馆有故事书360本，占全部图书的 ，其余是科技书。科技书有多少本？ 【例题3】（单位“1”的转化：甲乙互比） 题目：甲的钱数是乙的 ，乙的钱数是丙的 ，甲有12元，丙有多少元？ 解析： 第一步：甲是乙的 ，单位“1”是乙。 乙： （元）。 第二步：乙是丙的 ，单位“1”是丙。 丙： （元）。 答：丙有24元。 【跟踪训练】 题目：甲的图书是乙的 ，乙的图书是丙的 ，甲有40本图书，丙有多少本？ 【例题4】（抓不变量转化单位“1”） 题目：一杯盐水，盐占盐水的 ，加入10克盐后，盐占盐水的 。原来盐水有多少克？ 解析： 关键：水的重量不变。 设原来盐水重 克，则盐重 克，水重 克。 加盐后，盐水重 克，盐占 ，则水占 ，水重 克。 水不变，列方程： 两边同除以9： 交叉相乘： → → 答：原来盐水有100克。 【跟踪训练】 题目：水结成冰，体积增加 ；冰化成水，体积减少几分之几？ 提升练习 1.一桶油，第一次倒出一半，第二次倒出余下的一半，还剩10千克。这桶油原有多少千克？ 2.某校六年级有学生150人，其中男生人数的 等于女生人数的 。男、女生各有多少人？ 3.甲、乙两筐苹果共重80千克，甲筐取出 给乙筐后，两筐重量相等。甲筐原来有多少千克苹果？ 4.一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下的 ，还剩60页没有读。这本书共有多少页？ 5.甲的钱数是乙的 ，如果乙给甲10元，那么甲的钱数是乙的 。甲、乙原来各有多少元？ 模拟赛场 1.有甲、乙两堆煤，共重360吨。如果从甲堆运走 ，从乙堆运走 ，则两堆共运走110吨。原来甲、乙两堆煤各重多少吨？ 2.某工厂男职工人数占全厂人数的 ，后来又招进20名男职工，这时男职工人数占全厂人数的 。该厂原来有多少人？ 3.甲、乙、丙三人合买一台电视机。甲付钱的 等于乙付钱的 ，等于丙付钱的 。已知丙比甲多付了120元。这台电视机多少钱？ 4.一桶水，第一次倒出 ，第二次倒出5升，第三次倒出剩下的 ，第四次倒出9升，正好倒完。这桶水原来有多少升？ 5.甲、乙两班人数相等。从甲班调10人到乙班后，甲班人数是乙班人数的 。甲、乙两班原来各有多少人？ 6. 某商店同时卖出两件商品，每件各卖60元。其中一件赚了 ，另一件亏了 。商店卖出这两件商品是赚了还是亏了？赚或亏了多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $