小升初奥数培优：因数与倍数的性质（最大公因数与最小公倍数的应用）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《因数与倍数的性质（最大公因数与最小公倍数的应用）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握“因数”“倍数”“质数”“合数”等基本概念的基础上，本讲义将带领大家深入探索“最大公因数”与“最小公倍数”的实际应用。这不仅是小学数学的核心内容，更是解决许多生活实际问题和奥数难题的重要工具。 从分割长方形纸片到安排多人同时值班，从约分通分到解决周期性问题，最大公因数与最小公倍数无处不在。它们就像数学世界的“桥梁”，连接着数字之间的关系，帮助我们找到最优解、最简形式和最小重复周期。 本讲义以“理解本质—掌握方法—灵活应用”为主线，通过系统梳理、典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题思路，提升逻辑推理与综合应用能力。希望你在学习中多思考、多总结，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维解决问题。 愿你在因数与倍数的探索中，感受数学的简洁之美与逻辑之妙！ 知识梳理 1、因数与倍数的回顾 （1）定义： 如果整数 （ ），且商为整数而没有余数，那么 是 和 的倍数， 和 是 的因数。 例如：12 ÷ 3 = 4 → 12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 （2）性质： 一个数的因数个数是有限的，最小是1，最大是它本身； 一个数的倍数个数是无限的，最小是它本身； 因数与倍数是相互依存的关系，不能单独存在。 2、最大公因数（GCD） （1）定义： 几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 例如：12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以 。 （2）求法： 列举法：分别列出各数的所有因数，找出公共的，取最大； 短除法：用质数连续去除，直到商互质，所有除数相乘； 分解质因数法：将各数分解质因数，取公共质因数的最低次幂相乘。 3、最小公倍数（LCM） （1）定义： 几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 例如：4 和 6 的公倍数有 12、24、36……，最小的是 12，所以 。 （2）求法： 列举法：列出倍数，找最小公共； 短除法：用质数连续去除，直到商互质，所有除数与最后商相乘； 分解质因数法：取所有质因数的最高次幂相乘。 4、重要关系与性质 （1）两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数 即： （2）互质数： 公因数只有1的两个数叫做互质数； 例如：5和7、8和9、11和13； 互质数的最小公倍数是它们的乘积。 （3）特殊情况： 两数成倍数关系：最大公因数是小数，最小公倍数是大数； 两数互质：最大公因数是1，最小公倍数是乘积。 5、应用方向 分割问题（最大正方形、最大方块）； 分组问题（每组人数相同、无剩余）； 周期问题（几人同时值班、几车同时发车）； 图形拼接（最少块数、最大边长）； 分数运算（通分、约分）。 例题讲解 【例题1】（基础应用——最大公因数） 题目：有一张长方形纸，长48厘米，宽36厘米。要把它剪成若干个大小相同的正方形，且没有剩余。问：正方形的边长最大是多少厘米？可以剪成多少个？ 解析： 要求“正方形边长最大”，即找48和36的最大公因数； 用短除法： 除数：2×2×3 = 12 → 正方形边长最大为12厘米； 可剪个数： 个。 答：正方形边长最大是12厘米，可以剪成12个。 【跟踪训练】 题目：一个长方形铁皮，长60厘米，宽45厘米，要剪成若干个相同的正方形且无剩余。正方形边长最大是多少？能剪几个？ 【例题2】（基础应用——最小公倍数） 题目：甲、乙两人在同一单位值班，甲每6天值一次班，乙每8天值一次班。今天两人都值班，至少再过多少天两人又同时值班？ 解析： 求6和8的最小公倍数； 短除法： 除数：2，商：3和4 → 所以24天后两人再次同时值班。 答：至少再过24天两人又同时值班。 【跟踪训练】 题目：三路公交车分别每10分钟、12分钟、15分钟发一班车。早上6:00三辆车同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 【例题3】（实际应用——周期问题） 题目：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次，小刚每6天去一次。今天三人都去了图书馆，至少再过多少天三人又在同一天去图书馆？ 解析： 求3、4、6的最小公倍数； 短除法： 除数：2×3 = 6，商：1,2,1 → 所以12天后三人再次同时去图书馆。 答：至少再过12天三人又在同一天去图书馆。 【跟踪训练】 题目：三个齿轮互相咬合，第一个齿轮有24个齿，第二个有36个，第三个有54个。从某一起始位置开始转动，至少转多少圈后三个齿轮的齿再次同时回到起始位置？ 提升练习 1.有三根铁丝，长度分别为24米、36米、48米，要剪成同样长的小段且没有剩余。每段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 2.两个数互质，它们的最小公倍数是105，其中一个数是7，另一个数是多少？ 3.甲、乙两人绕操场跑步，甲跑一圈要6分钟，乙要8分钟。两人同时从起点出发，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？ 4.三个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数是多少？ 5.用最大公因数为6的两个数，组成一对数，使它们的最小公倍数为90。写出所有可能的组合。 模拟赛场 1.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，且这两个数的差是36。求这两个数。 2.有一个三位数，它是最小公倍数为360的两个两位数的和。这两个数最大可能是多少？ 3.甲、乙、丙三人定期去敬老院服务，甲每9天去一次，乙每12天去一次，丙每18天去一次。某天三人同时去了，至少再过多少天三人又同时去？ 4.一个数除以6、8、9都能整除，且这个数在100到200之间。这个数最小是多少？ 5.两个数的乘积是540，最大公因数是6。求这两个数的和最小是多少？ 6.用长8厘米、宽6厘米的长方形瓷砖铺成一个正方形，至少需要多少块？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《因数与倍数的性质（最大公因数与最小公倍数的应用）》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们已经掌握“因数”“倍数”“质数”“合数”等基本概念的基础上，本讲义将带领大家深入探索“最大公因数”与“最小公倍数”的实际应用。这不仅是小学数学的核心内容，更是解决许多生活实际问题和奥数难题的重要工具。 从分割长方形纸片到安排多人同时值班，从约分通分到解决周期性问题，最大公因数与最小公倍数无处不在。它们就像数学世界的“桥梁”，连接着数字之间的关系，帮助我们找到最优解、最简形式和最小重复周期。 本讲义以“理解本质—掌握方法—灵活应用”为主线，通过系统梳理、典型例题和分层训练，帮助你建立清晰的解题思路，提升逻辑推理与综合应用能力。希望你在学习中多思考、多总结，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维解决问题。 愿你在因数与倍数的探索中，感受数学的简洁之美与逻辑之妙！ 知识梳理 1、因数与倍数的回顾 （1）定义： 如果整数 （ ），且商为整数而没有余数，那么 是 和 的倍数， 和 是 的因数。 例如：12 ÷ 3 = 4 → 12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。 （2）性质： 一个数的因数个数是有限的，最小是1，最大是它本身； 一个数的倍数个数是无限的，最小是它本身； 因数与倍数是相互依存的关系，不能单独存在。 2、最大公因数（GCD） （1）定义： 几个数公有的因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 例如：12 和 18 的公因数有 1、2、3、6，其中最大的是 6，所以 。 （2）求法： 列举法：分别列出各数的所有因数，找出公共的，取最大； 短除法：用质数连续去除，直到商互质，所有除数相乘； 分解质因数法：将各数分解质因数，取公共质因数的最低次幂相乘。 3、最小公倍数（LCM） （1）定义： 几个数公有的倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 例如：4 和 6 的公倍数有 12、24、36……，最小的是 12，所以 。 （2）求法： 列举法：列出倍数，找最小公共； 短除法：用质数连续去除，直到商互质，所有除数与最后商相乘； 分解质因数法：取所有质因数的最高次幂相乘。 4、重要关系与性质 （1）两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数 即： （2）互质数： 公因数只有1的两个数叫做互质数； 例如：5和7、8和9、11和13； 互质数的最小公倍数是它们的乘积。 （3）特殊情况： 两数成倍数关系：最大公因数是小数，最小公倍数是大数； 两数互质：最大公因数是1，最小公倍数是乘积。 5、应用方向 分割问题（最大正方形、最大方块）； 分组问题（每组人数相同、无剩余）； 周期问题（几人同时值班、几车同时发车）； 图形拼接（最少块数、最大边长）； 分数运算（通分、约分）。 例题讲解 【例题1】（基础应用——最大公因数） 题目：有一张长方形纸，长48厘米，宽36厘米。要把它剪成若干个大小相同的正方形，且没有剩余。问：正方形的边长最大是多少厘米？可以剪成多少个？ 解析： 要求“正方形边长最大”，即找48和36的最大公因数； 用短除法： 除数：2×2×3 = 12 → 正方形边长最大为12厘米； 可剪个数： 个。 答：正方形边长最大是12厘米，可以剪成12个。 【跟踪训练】 题目：一个长方形铁皮，长60厘米，宽45厘米，要剪成若干个相同的正方形且无剩余。正方形边长最大是多少？能剪几个？ 答案与解析： ： 除数：3×5 = 15 → 边长最大15厘米； 个数： 个。 答：边长最大15厘米，可剪12个。 【例题2】（基础应用——最小公倍数） 题目：甲、乙两人在同一单位值班，甲每6天值一次班，乙每8天值一次班。今天两人都值班，至少再过多少天两人又同时值班？ 解析： 求6和8的最小公倍数； 短除法： 除数：2，商：3和4 → 所以24天后两人再次同时值班。 答：至少再过24天两人又同时值班。 【跟踪训练】 题目：三路公交车分别每10分钟、12分钟、15分钟发一班车。早上6:00三辆车同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 答案与解析： 求 除数：2×3×5 = 30 → 分钟 6:00 + 60分钟 = 7:00 答：下一次同时发车是7:00。 【例题3】（实际应用——周期问题） 题目：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次，小刚每6天去一次。今天三人都去了图书馆，至少再过多少天三人又在同一天去图书馆？ 解析： 求3、4、6的最小公倍数； 短除法： 除数：2×3 = 6，商：1,2,1 → 所以12天后三人再次同时去图书馆。 答：至少再过12天三人又在同一天去图书馆。 【跟踪训练】 题目：三个齿轮互相咬合，第一个齿轮有24个齿，第二个有36个，第三个有54个。从某一起始位置开始转动，至少转多少圈后三个齿轮的齿再次同时回到起始位置？ 答案与解析： 求24、36、54的最小公倍数； 分解质因数： 24 = 36 = 54 = 各自圈数： 第一个：216 ÷ 24 = 9 圈 第二个：216 ÷ 36 = 6 圈 第三个：216 ÷ 54 = 4 圈 答：至少转9、6、4圈后，三个齿轮同时回到起始位置。 提升练习 1.有三根铁丝，长度分别为24米、36米、48米，要剪成同样长的小段且没有剩余。每段最长多少米？一共可以剪成多少段？ 2.两个数互质，它们的最小公倍数是105，其中一个数是7，另一个数是多少？ 3.甲、乙两人绕操场跑步，甲跑一圈要6分钟，乙要8分钟。两人同时从起点出发，至少多少分钟后两人再次在起点相遇？ 4.三个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数是多少？ 5.用最大公因数为6的两个数，组成一对数，使它们的最小公倍数为90。写出所有可能的组合。 答案与解析 1. ，每段12米；段数： 段 2.互质， ，7×15=105，15与7互质 → 另一个数是15 3. ，24分钟后相遇 4.三个连续自然数：3、4、5 → ，成立；其他组合如4、5、6 → ，也成立 → 答案：3、4、5 或 4、5、6 5.设两数为6a、6b， 、 互质， → → (1,15)、(3,5) → 数对：(6,90)、(18,30) 模拟赛场 1.两个数的最大公因数是12，最小公倍数是180，且这两个数的差是36。求这两个数。 2.有一个三位数，它是最小公倍数为360的两个两位数的和。这两个数最大可能是多少？ 3.甲、乙、丙三人定期去敬老院服务，甲每9天去一次，乙每12天去一次，丙每18天去一次。某天三人同时去了，至少再过多少天三人又同时去？ 4.一个数除以6、8、9都能整除，且这个数在100到200之间。这个数最小是多少？ 5.两个数的乘积是540，最大公因数是6。求这两个数的和最小是多少？ 6.用长8厘米、宽6厘米的长方形瓷砖铺成一个正方形，至少需要多少块？ 答案与解析 1. ， → 两数为12a、12b， ， → → a=5,b=2 → 60和24 2. ，两位数和为三位数 → 最大可能：180+120=300（但lcm≠360）→ 试120和90 → lcm=360 → 和210 → 可行 3. 天 4. ，倍数：72,144,216 → 144在100~200之间 → 最小是144 5. ， → 设6a、6b， ，和=6(a+b)，最小当a=3,b=5 → 和=6×8=48 6.正方形边长为 ，面积 ，每块瓷砖 ，块数： 块 学科网（北京）股份有限公司 $