小升初奥数培优：奇偶性分析-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《奇偶性分析》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们探索数学奥秘的旅途中，数字的“奇偶性”看似简单，却蕴含着深刻的逻辑规律。它不仅是整数分类的基础，更是解决许多复杂问题的“钥匙”。从简单的加减运算到复杂的逻辑推理，从图形覆盖到数列规律，奇偶性分析都能帮助我们快速判断、巧妙解题。 本讲义将带你系统梳理奇偶数的基本性质，深入理解其在运算中的变化规律，并通过典型例题掌握如何运用“奇偶性”进行逻辑推理与问题突破。学习过程中，请你多观察、多思考、多总结，学会从“是奇还是偶”这一角度切入问题，培养严谨的数学思维。 愿你在奇偶世界的探索中，发现数学的简洁之美，提升逻辑推理能力，成为真正的“数学小侦探”！ 知识梳理 1、奇数与偶数的定义 （1）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。 如：0、2、4、6、8、10…… 注意：0是最小的偶数，也是特殊的偶数。 （2）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。 如：1、3、5、7、9、11…… （3）分类原则： 所有整数按奇偶性分为两类：奇数和偶数； 相邻两个整数，必为一奇一偶。 2、奇偶性在四则运算中的规律 （1）加减法： 偶数 ± 偶数 = 偶数 例：6 + 4 = 10，10 - 4 = 6 奇数 ± 奇数 = 偶数 例：7 + 5 = 12，9 - 3 = 6 奇数 ± 偶数 = 奇数 例：7 + 4 = 11，8 - 3 = 5 口诀：同偶异奇——相同奇偶性相加减得偶，不同得奇。这个口诀可以帮助我们快速判断两个数的和或差的奇偶性：如果两个数都是偶数或都是奇数，结果是偶数；如果两个数一个是偶数，一个是奇数，结果是奇数。 （2）乘法： 偶数 × 偶数 = 偶数 例：4 × 6 = 24 奇数 × 奇数 = 奇数 例：3 × 5 = 15 奇数 × 偶数 = 偶数 例：3 × 4 = 12 结论：若有一个因数为偶数，则乘积必为偶数。 （3）除法： 除法不保证结果仍为整数，因此一般不讨论奇偶性，除非明确结果为整数。 3、奇偶性的重要性质与应用 （1）和的奇偶性由奇数个数决定： 一组整数相加，若其中奇数的个数是偶数个，则和为偶数； 若奇数的个数是奇数个，则和为奇数。 （2）差的奇偶性： 与加法相同，差的奇偶性与被减数和减数的奇偶性关系一致。 （3）实际应用方向： 判断算式结果的奇偶性； 推理未知数的奇偶性； 解决“能否实现”类问题（如：能否用若干奇数之和得到某个偶数）； 图形覆盖问题（如：棋盘染色、地砖铺设）； 数列与周期问题中的奇偶规律。 例题讲解 【例题1】（基础判断——运算奇偶性） 题目：判断下列算式的结果是奇数还是偶数： （1） （2） （3） 解析： （1）23（奇）、45（奇）、68（偶）→ 奇 + 奇 = 偶，偶 + 偶 = 偶 → 结果为偶数 （2）37（奇）× 46（偶）→ 奇 × 偶 = 偶 → 结果为偶数 （3）先算括号：15+28=43（奇），31-14=17（奇）→ 奇 × 奇 = 奇 → 结果为奇数 答：（1）偶数；（2）偶数；（3）奇数 【跟踪训练】 题目：判断下列结果的奇偶性： （1） （2） （3） 【例题2】（推理应用——未知数奇偶性） 题目：已知 ， 是偶数。问： 和 中至少有几个是偶数？ 解析： （奇数）→ 一奇一偶（因为奇+偶=奇） 是偶数 → 至少有一个是偶数 结合可知：恰好有一个是偶数，一个是奇数 所以“至少有几个是偶数”？答：1个 答：至少有1个是偶数。 【跟踪训练】 题目：已知 ， 是奇数。问： 和 的奇偶性分别是什么？ 【例题3】（实际应用——能否实现问题） 题目：能否找到5个连续的奇数，使它们的和等于60？说明理由。 解析： 设5个连续奇数为： （ 为奇数） 和 = 要求 → 但12是偶数，与 应为奇数矛盾 或从奇偶性角度：5个奇数相加 → 奇数个奇数相加 = 奇数，而60是偶数 → 不可能 答：不能。因为5个奇数的和是奇数，而60是偶数，矛盾。 【跟踪训练】 题目：能否找到4个连续的偶数，使它们的和等于50？ 【例题4】（综合应用——图形覆盖问题） 题目：一个 的方格棋盘，用 的长方形纸片去覆盖，能否恰好盖住全部格子？说明理由。 解析： 个格子，是奇数 每张 纸片覆盖2个格子（偶数个） 无论多少张，总覆盖格子数都是偶数 奇数 ≠ 偶数 → 不可能恰好覆盖 答：不能。因为总格子数为奇数，而每张纸片覆盖偶数个格子，总和必为偶数，矛盾。 【跟踪训练】 题目：一个 的棋盘，去掉左上角和右下角两个格子，还能用 的纸片恰好覆盖吗？ 提升练习 1.有10个整数，它们的和是奇数。这10个数中奇数的个数可能是多少？ 2.判断： 的和是奇数还是偶数？ 3.一个正方形被分成若干个小正方形，每个小正方形的边长是整数厘米。如果总共有奇数个小正方形，那么这些小正方形的边长之和是奇数还是偶数？ 4.甲、乙两人轮流报数，每次报1或2，从0开始累加，先使总和达到30的人获胜。若甲先报，是否有必胜策略？（提示：考虑奇偶性） 5.有9个杯子，杯口朝下，每次翻转2个杯子，能否经过若干次操作后，使所有杯子杯口朝上？ 模拟赛场 1.有7个连续奇数，它们的和是119。求这7个数中最大的一个。 2.一个数加上它自己的和是偶数，这个数是奇数还是偶数？说明理由。 3.能否将1到10这10个数分成两组，使每组5个数，且两组的和都是奇数？为什么？ 4.一个 的国际象棋棋盘，去掉两个对角的格子（同色），能否用 的骨牌恰好覆盖？说明理由。 5.甲、乙两人轮流写数字，每次写1到3中的一个，从0开始累加，先使总和达到20的人获胜。若甲先写，是否有必胜策略？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 《奇偶性分析》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们探索数学奥秘的旅途中，数字的“奇偶性”看似简单，却蕴含着深刻的逻辑规律。它不仅是整数分类的基础，更是解决许多复杂问题的“钥匙”。从简单的加减运算到复杂的逻辑推理，从图形覆盖到数列规律，奇偶性分析都能帮助我们快速判断、巧妙解题。 本讲义将带你系统梳理奇偶数的基本性质，深入理解其在运算中的变化规律，并通过典型例题掌握如何运用“奇偶性”进行逻辑推理与问题突破。学习过程中，请你多观察、多思考、多总结，学会从“是奇还是偶”这一角度切入问题，培养严谨的数学思维。 愿你在奇偶世界的探索中，发现数学的简洁之美，提升逻辑推理能力，成为真正的“数学小侦探”！ 知识梳理 1、奇数与偶数的定义 （1）偶数：能被2整除的整数叫做偶数。 如：0、2、4、6、8、10…… 注意：0是最小的偶数，也是特殊的偶数。 （2）奇数：不能被2整除的整数叫做奇数。 如：1、3、5、7、9、11…… （3）分类原则： 所有整数按奇偶性分为两类：奇数和偶数； 相邻两个整数，必为一奇一偶。 2、奇偶性在四则运算中的规律 （1）加减法： 偶数 ± 偶数 = 偶数 例：6 + 4 = 10，10 - 4 = 6 奇数 ± 奇数 = 偶数 例：7 + 5 = 12，9 - 3 = 6 奇数 ± 偶数 = 奇数 例：7 + 4 = 11，8 - 3 = 5 口诀：同偶异奇——相同奇偶性相加减得偶，不同得奇。这个口诀可以帮助我们快速判断两个数的和或差的奇偶性：如果两个数都是偶数或都是奇数，结果是偶数；如果两个数一个是偶数，一个是奇数，结果是奇数。 （2）乘法： 偶数 × 偶数 = 偶数 例：4 × 6 = 24 奇数 × 奇数 = 奇数 例：3 × 5 = 15 奇数 × 偶数 = 偶数 例：3 × 4 = 12 结论：若有一个因数为偶数，则乘积必为偶数。 （3）除法： 除法不保证结果仍为整数，因此一般不讨论奇偶性，除非明确结果为整数。 3、奇偶性的重要性质与应用 （1）和的奇偶性由奇数个数决定： 一组整数相加，若其中奇数的个数是偶数个，则和为偶数； 若奇数的个数是奇数个，则和为奇数。 （2）差的奇偶性： 与加法相同，差的奇偶性与被减数和减数的奇偶性关系一致。 （3）实际应用方向： 判断算式结果的奇偶性； 推理未知数的奇偶性； 解决“能否实现”类问题（如：能否用若干奇数之和得到某个偶数）； 图形覆盖问题（如：棋盘染色、地砖铺设）； 数列与周期问题中的奇偶规律。 例题讲解 【例题1】（基础判断——运算奇偶性） 题目：判断下列算式的结果是奇数还是偶数： （1） （2） （3） 解析： （1）23（奇）、45（奇）、68（偶）→ 奇 + 奇 = 偶，偶 + 偶 = 偶 → 结果为偶数 （2）37（奇）× 46（偶）→ 奇 × 偶 = 偶 → 结果为偶数 （3）先算括号：15+28=43（奇），31-14=17（奇）→ 奇 × 奇 = 奇 → 结果为奇数 答：（1）偶数；（2）偶数；（3）奇数 【跟踪训练】 题目：判断下列结果的奇偶性： （1） （2） （3） 答案与解析： （1）56（偶）-37（奇）= 奇，奇 + 21（奇）= 偶 → 偶数 （2）44（偶）×55（奇）= 偶 → 偶数 （3）67-22=45（奇），34+11=45（奇），奇 + 奇 = 偶 → 偶数 【例题2】（推理应用——未知数奇偶性） 题目：已知 ， 是偶数。问： 和 中至少有几个是偶数？ 解析： （奇数）→ 一奇一偶（因为奇+偶=奇） 是偶数 → 至少有一个是偶数 结合可知：恰好有一个是偶数，一个是奇数 所以“至少有几个是偶数”？答：1个 答：至少有1个是偶数。 【跟踪训练】 题目：已知 ， 是奇数。问： 和 的奇偶性分别是什么？ 答案与解析： （偶数）→ 可能两奇或两偶 是奇数 → 两数都必须是奇数（奇×奇=奇） 所以 和 都是奇数 答： 和 都是奇数。 【例题3】（实际应用——能否实现问题） 题目：能否找到5个连续的奇数，使它们的和等于60？说明理由。 解析： 设5个连续奇数为： （ 为奇数） 和 = 要求 → 但12是偶数，与 应为奇数矛盾 或从奇偶性角度：5个奇数相加 → 奇数个奇数相加 = 奇数，而60是偶数 → 不可能 答：不能。因为5个奇数的和是奇数，而60是偶数，矛盾。 【跟踪训练】 题目：能否找到4个连续的偶数，使它们的和等于50？ 答案与解析： 设4个连续偶数： （ 为偶数） 和 = → ，不是整数 → 不可能 或：4个偶数相加 = 偶数，50是偶数 → 可能，但需验证 实际：最小4个连续偶数和为0+2+4+6=12，最大无上限，但50÷4=12.5，无法构成整数中心 → 无解 答：不能。 【例题4】（综合应用——图形覆盖问题） 题目：一个 的方格棋盘，用 的长方形纸片去覆盖，能否恰好盖住全部格子？说明理由。 解析： 个格子，是奇数 每张 纸片覆盖2个格子（偶数个） 无论多少张，总覆盖格子数都是偶数 奇数 ≠ 偶数 → 不可能恰好覆盖 答：不能。因为总格子数为奇数，而每张纸片覆盖偶数个格子，总和必为偶数，矛盾。 【跟踪训练】 题目：一个 的棋盘，去掉左上角和右下角两个格子，还能用 的纸片恰好覆盖吗？ 答案与解析： 原有 格，去掉2格 → 剩34格（偶数） 但考虑染色法：将棋盘黑白相间染色， 有18黑18白 左上角和右下角同色（如都是黑色）→ 去掉2个黑格 → 剩16黑，18白 每张 纸片必覆盖一黑一白 → 总需黑白数相等，但16≠18 → 不可能 答：不能。 提升练习 1.有10个整数，它们的和是奇数。这10个数中奇数的个数可能是多少？ 2.判断： 的和是奇数还是偶数？ 3.一个正方形被分成若干个小正方形，每个小正方形的边长是整数厘米。如果总共有奇数个小正方形，那么这些小正方形的边长之和是奇数还是偶数？ 4.甲、乙两人轮流报数，每次报1或2，从0开始累加，先使总和达到30的人获胜。若甲先报，是否有必胜策略？（提示：考虑奇偶性） 5.有9个杯子，杯口朝下，每次翻转2个杯子，能否经过若干次操作后，使所有杯子杯口朝上？ 答案与解析 1.奇数个数为奇数个。因为偶数个奇数相加为偶，奇数个奇数相加为奇。总和为奇 → 奇数个数为奇数。可能为1、3、5、7、9。 2.偶数。 ，是偶数。或：1到20有10个奇数，偶数个奇数相加为偶。 3.无法确定。小正方形个数为奇数，但边长奇偶性未知。如1个边长为3的正方形 → 和为3（奇）；3个边长为1的 → 和为3（奇）；但3个边长为2的 → 和为6（偶）。所以不能确定。 4.甲有必胜策略。目标30为偶数。甲先报2（使和为偶），之后无论乙报1或2，甲都报（3-乙报数），保持每轮和增加3，且甲始终控制和为偶数。最终甲可达到30。 5.不能。初始9个杯口朝下（偶数个“朝下”）。每次翻转2个 → “朝下”数量变化为：-2、0、+2 → 奇偶性不变。初始9（奇数）→ 始终为奇数 → 不可能变为0（偶数）。不能。 模拟赛场 1.有7个连续奇数，它们的和是119。求这7个数中最大的一个。 2.一个数加上它自己的和是偶数，这个数是奇数还是偶数？说明理由。 3.能否将1到10这10个数分成两组，使每组5个数，且两组的和都是奇数？为什么？ 4.一个 的国际象棋棋盘，去掉两个对角的格子（同色），能否用 的骨牌恰好覆盖？说明理由。 5.甲、乙两人轮流写数字，每次写1到3中的一个，从0开始累加，先使总和达到20的人获胜。若甲先写，是否有必胜策略？ 答案与解析 1.设中间数为 ，则7个数为 ，和 = → → 最大为 2.这个数是任意整数。因为 ，总是偶数，与 的奇偶性无关。所以无法判断。 3.不能。1到10的和为55（奇数）。若两组和都为奇数 → 奇 + 奇 = 偶，但55是奇数 → 矛盾。不可能。 4.不能。 棋盘有32黑32白。去掉两个对角格子（同色，如都黑）→ 30黑，32白。每张骨牌覆盖一黑一白 → 需黑白数相等 → 不可能。 5.甲有必胜策略。目标20。甲先写2，使和为2（偶）。之后每轮甲使总和增加3（乙写 ，甲写 ），控制节奏，最终甲可达到20。 学科网（北京）股份有限公司 $