小升初奥数培优：质数、合数与分解质因数-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

《质数、合数与分解质因数》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们探索数的世界时，质数与合数就像“数字的基石”与“数字的建筑”。每一个大于1的自然数，要么是质数——只能被1和自身整除的“孤独守护者”，要么是合数——由质数“搭建”而成的“复合体”。理解质数与合数，掌握分解质因数的方法，不仅是我们小学数学的重要内容，更是未来学习数论、代数、密码学等领域的基础。 本讲义围绕“质数、合数与分解质因数”展开，从基本概念入手，逐步深入到实际应用与奥数思维训练。通过系统梳理、典型例题和分层练习，你将学会如何判断一个数是否为质数，如何将合数“拆解”为质数的乘积，以及如何运用这些知识解决实际问题。 希望你在学习中保持好奇心与严谨性，像一名“数字侦探”一样，去发现数字背后的规律与秘密。相信通过本讲的学习，你不仅能提升数学思维能力，更会感受到数学逻辑的简洁与美。 知识梳理 1、质数与合数的基本概念 （1）自然数的分类（按因数个数）： 质数：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做质数（也称素数）。 例如：2、3、5、7、11、13…… 注意：2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数。 例如：4、6、8、9、10、12…… 特殊数： 1既不是质数，也不是合数，因为它只有一个因数。 0不是自然数，不参与此分类。 （2）常见质数表（100以内）： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 （共25个，建议熟记） 2、分解质因数 （1）定义： 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 例如：12 = 2 × 2 × 3，其中2和3都是质数。 （2）方法： 短除法：用质数从小到大依次去除，直到商为质数为止。 步骤： 用最小的质数2去除，能整除则继续； 不能整除时，换下一个质数3、5、7……； 每次除得的商写在下面，直到商是质数； 所有除数和最后的商都是质因数。 树形图法：将合数拆分为两个因数，再分别拆分，直到全部为质数。 （3）规范书写： 按从小到大排列质因数； 相同质因数用乘方表示（如：12 = 2² × 3）； 结果必须是质数的乘积。 3、应用与拓展 （1）判断质数的方法： 对于较小的数（≤100）：查质数表或试除法（用小于√n的质数试除）； 对于较大的数：需系统试除。 （2）分解质因数的作用： 求最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）； 简化分数； 解决整除、余数类奥数问题； 分析数的结构。 4、解题策略 熟记20以内质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19； 掌握短除法步骤，书写规范； 遇到大数先看是否为偶数、能否被3或5整除； 分解后检查：所有因数是否为质数，乘积是否等于原数。 例题讲解 【例题1】（判断质数与合数） 题目：在下列数中，哪些是质数？哪些是合数？ 13, 27, 31, 49, 53, 65, 77, 89 解析： 13：只能被1和13整除 → 质数 27：能被3整除（2+7=9，是3的倍数） → 27 = 3×9 → 合数 31：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 49：7×7 = 49 → 合数 53：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 65：以5结尾，能被5整除 → 65 = 5×13 → 合数 77：7×11 = 77 → 合数 89：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 答：质数有：13, 31, 53, 89；合数有：27, 49, 65, 77。 【跟踪训练】 题目：判断下列各数是质数还是合数：17, 21, 37, 45, 59, 63, 73, 91 答案与解析： 17：质数（试除无因数） 21：3×7 → 合数 37：质数 45：5×9 → 合数 59：质数 63：7×9 → 合数 73：质数 91：7×13 → 合数 答：质数：17, 37, 59, 73；合数：21, 45, 63, 91。 【例题2】（分解质因数——短除法） 题目：用短除法将60分解质因数。 解析： 所以：60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 答：60 = 2² × 3 × 5 【跟踪训练】 题目：用短除法将84分解质因数。 答案与解析： 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7 答：84 = 2² × 3 × 7 【例题3】（分解质因数——树形图法） 题目：用树形图法将72分解质因数。 解析： 质因数：2, 2, 2, 3, 3 所以：72 = 2³ × 3² 答：72 = 2³ × 3² 【跟踪训练】 题目：用树形图法将54分解质因数。 答案与解析： 质因数：2, 3, 3, 3 → 54 = 2 × 3³ 答：54 = 2 × 3³ 【例题4】（综合应用） 题目：一个合数是两个不同质数的乘积，且这两个质数的和是20。这个合数可能是多少？ 解析： 找两个不同质数，和为20。 可能组合： 3 + 17 = 20 → 合数：3×17 = 51 7 + 13 = 20 → 合数：7×13 = 91 11 + 9 = 20（9不是质数）× 13 + 7 已列 所以可能的合数是：51 或 91。 答：这个合数可能是51或91。 【跟踪训练】 题目：一个合数是两个不同质数的乘积，且这两个质数的和是18。这个合数可能是多少？ 答案与解析： 质数组合和为18： 5 + 13 = 18 → 5×13 = 65 7 + 11 = 18 → 7×11 = 77 11 + 7 已列 3 + 15 = 18（15不是质数）× 13 + 5 已列 答：这个合数可能是65或77。 提升练习 1.判断：101是质数吗？说明理由。 2.用短除法将96分解质因数。 3.用树形图法将48分解质因数。 4.一个合数是两个质数的和为24，且这两个质数的乘积是一个三位数。写出所有可能的合数。 5.三个连续自然数的乘积是336，这三个数中最大的一个是质数吗？说明理由。 6.一个数分解质因数后是2³ × 5²，这个数是多少？它的所有因数有哪些？ 答案与解析 1.解：101是质数。因为√101≈10.05，只需用小于11的质数（2,3,5,7）试除。101是奇数，不被2整除；1+0+1=2，不被3整除；不以0或5结尾；101÷7≈14.4，7×14=98，101-98=3，不整除。故101是质数。 2.解：96 ÷ 2 = 48；48 ÷ 2 = 24；24 ÷ 2 = 12；12 ÷ 2 = 6；6 ÷ 2 = 3（质数）。所以96 = 2⁵ × 3。 3.解：48 = 6×8 → 6=2×3，8=2×2×2 → 48 = 2⁴ × 3。 4.解：和为24的质数组合：5+19=24 → 95；7+17=24 → 119；11+13=24 → 143。乘积为三位数：95（两位）、119、143 → 可能为119或143。 5.解：设三个连续数为n-1,n,n+1。乘积(n-1)n(n+1)=336。试算：6×7×8=336 → 三个数为6,7,8。最大是8，8=2³，是合数，不是质数。 6.解：数 = 2³ × 5² = 8 × 25 = 200。因数：1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200。 模拟赛场 1.有两个质数，它们的和是小于100的奇数，且是15的倍数。这两个质数分别是多少？ 2.一个合数由三个不同的质数组成，这三个质数的和是20。这个合数最小是多少？ 3.甲、乙两人各写一个质数，它们的和是30。甲写的数比乙大，甲可能写的是哪些质数？ 4.一个数分解质因数后是2⁴ × 3²，另一个数是2³ × 3³。这两个数的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？ 5.一个长方形的面积是180平方厘米，长和宽都是整厘米数，且都是合数。这个长方形的长和宽可能是多少？（写出所有可能） 答案与解析 1.解：和为奇数 → 一个偶质数（只能是2），另一个为奇质数。和是15的倍数且<100 → 可能15,30,45,60,75,90。但2+奇质数=奇数 → 和为奇数 → 只能是15,45,75。 15-2=13（质数）→ 2和13 45-2=43（质数）→ 2和43 75-2=73（质数）→ 2和73 答：可能是2和13，或2和43，或2和73。 2.解：三个不同质数和为20，最小合数 → 尽量选小质数。可能组合：2+3+15（×），2+5+13=20 → 2×5×13=130；2+7+11=20 → 2×7×11=154；3+5+12（×）。最小为130。 3.解：和为30的质数组合：7+23, 11+19, 13+17。甲>乙 → 甲可能是23,19,17。 4.解：最大公因数 = 2³ × 3² = 8×9=72；最小公倍数 = 2⁴ × 3³ = 16×27=432。 5.解：180 = 2² × 3² × 5。找两个合数乘积为180。可能组合： 4×45, 6×30, 9×20, 10×18, 12×15, 15×12, 18×10, 20×9, 30×6, 45×4。 去重后：(4,45), (6,30), (9,20), (10,18), (12,15)。 所有数均为合数 → 都符合。 答：可能为4cm×45cm，6cm×30cm，9cm×20cm，10cm×18cm，12cm×15cm。 学科网（北京）股份有限公司 $ 《质数、合数与分解质因数》 【知识梳理+例题讲解+提升练习+模拟赛场】 学习寄语 亲爱的同学们： 在我们探索数的世界时，质数与合数就像“数字的基石”与“数字的建筑”。每一个大于1的自然数，要么是质数——只能被1和自身整除的“孤独守护者”，要么是合数——由质数“搭建”而成的“复合体”。理解质数与合数，掌握分解质因数的方法，不仅是我们小学数学的重要内容，更是未来学习数论、代数、密码学等领域的基础。 本讲义围绕“质数、合数与分解质因数”展开，从基本概念入手，逐步深入到实际应用与奥数思维训练。通过系统梳理、典型例题和分层练习，你将学会如何判断一个数是否为质数，如何将合数“拆解”为质数的乘积，以及如何运用这些知识解决实际问题。 希望你在学习中保持好奇心与严谨性，像一名“数字侦探”一样，去发现数字背后的规律与秘密。相信通过本讲的学习，你不仅能提升数学思维能力，更会感受到数学逻辑的简洁与美。 知识梳理 1、质数与合数的基本概念 （1）自然数的分类（按因数个数）： 质数：一个大于1的自然数，如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做质数（也称素数）。 例如：2、3、5、7、11、13…… 注意：2是最小的质数，也是唯一的偶数质数。 合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数，这样的数叫做合数。 例如：4、6、8、9、10、12…… 特殊数： 1既不是质数，也不是合数，因为它只有一个因数。 0不是自然数，不参与此分类。 （2）常见质数表（100以内）： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 （共25个，建议熟记） 2、分解质因数 （1）定义： 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 例如：12 = 2 × 2 × 3，其中2和3都是质数。 （2）方法： 短除法：用质数从小到大依次去除，直到商为质数为止。 步骤： 用最小的质数2去除，能整除则继续； 不能整除时，换下一个质数3、5、7……； 每次除得的商写在下面，直到商是质数； 所有除数和最后的商都是质因数。 树形图法：将合数拆分为两个因数，再分别拆分，直到全部为质数。 （3）规范书写： 按从小到大排列质因数； 相同质因数用乘方表示（如：12 = 2² × 3）； 结果必须是质数的乘积。 3、应用与拓展 （1）判断质数的方法： 对于较小的数（≤100）：查质数表或试除法（用小于√n的质数试除）； 对于较大的数：需系统试除。 （2）分解质因数的作用： 求最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）； 简化分数； 解决整除、余数类奥数问题； 分析数的结构。 4、解题策略 熟记20以内质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19； 掌握短除法步骤，书写规范； 遇到大数先看是否为偶数、能否被3或5整除； 分解后检查：所有因数是否为质数，乘积是否等于原数。 例题讲解 【例题1】（判断质数与合数） 题目：在下列数中，哪些是质数？哪些是合数？ 13, 27, 31, 49, 53, 65, 77, 89 解析： 13：只能被1和13整除 → 质数 27：能被3整除（2+7=9，是3的倍数） → 27 = 3×9 → 合数 31：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 49：7×7 = 49 → 合数 53：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 65：以5结尾，能被5整除 → 65 = 5×13 → 合数 77：7×11 = 77 → 合数 89：试除2、3、5、7，均不能整除 → 质数 答：质数有：13, 31, 53, 89；合数有：27, 49, 65, 77。 【跟踪训练】 题目：判断下列各数是质数还是合数：17, 21, 37, 45, 59, 63, 73, 91 【例题2】（分解质因数——短除法） 题目：用短除法将60分解质因数。 解析： 所以：60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5 答：60 = 2² × 3 × 5 【跟踪训练】 题目：用短除法将84分解质因数。 【例题3】（分解质因数——树形图法） 题目：用树形图法将72分解质因数。 解析： 质因数：2, 2, 2, 3, 3 所以：72 = 2³ × 3² 答：72 = 2³ × 3² 【跟踪训练】 题目：用树形图法将54分解质因数。 【例题4】（综合应用） 题目：一个合数是两个不同质数的乘积，且这两个质数的和是20。这个合数可能是多少？ 解析： 找两个不同质数，和为20。 可能组合： 3 + 17 = 20 → 合数：3×17 = 51 7 + 13 = 20 → 合数：7×13 = 91 11 + 9 = 20（9不是质数）× 13 + 7 已列 所以可能的合数是：51 或 91。 答：这个合数可能是51或91。 【跟踪训练】 题目：一个合数是两个不同质数的乘积，且这两个质数的和是18。这个合数可能是多少？ 提升练习 1.判断：101是质数吗？说明理由。 2.用短除法将96分解质因数。 3.用树形图法将48分解质因数。 4.一个合数是两个质数的和为24，且这两个质数的乘积是一个三位数。写出所有可能的合数。 5.三个连续自然数的乘积是336，这三个数中最大的一个是质数吗？说明理由。 6.一个数分解质因数后是2³ × 5²，这个数是多少？它的所有因数有哪些？ 模拟赛场 1.有两个质数，它们的和是小于100的奇数，且是15的倍数。这两个质数分别是多少？ 2.一个合数由三个不同的质数组成，这三个质数的和是20。这个合数最小是多少？ 3.甲、乙两人各写一个质数，它们的和是30。甲写的数比乙大，甲可能写的是哪些质数？ 4.一个数分解质因数后是2⁴ × 3²，另一个数是2³ × 3³。这两个数的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？ 5.一个长方形的面积是180平方厘米，长和宽都是整厘米数，且都是合数。这个长方形的长和宽可能是多少？（写出所有可能） 学科网（北京）股份有限公司 $