数学二模模拟卷03（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由，可得， 所以，所以的子集个数为，故选：B 2．（新考向）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】C 【解析】设且，则， 因为为实数，所以，因为，所以，故虚数的实部为.故选C 3．某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 【答案】C 【解析】由题可得抽样比为. 所以小学教师应抽取人.故选：C 4．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以在上的投影向量为故选：B 5．（改编）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 【答案】B 【解析】的展开式中的项为 的展开式中的项为 因此的展开式中的系数为，故， 故选：B 6．（热点）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【解析】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 7．（新情景）如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点在圆上， 所以，解得. 因为当时， ， 即，因为，取，则， 所以. 将代入圆的方程，得，解得或， 结合图象知，即，将代入，得， 所以，即，因为，由图象可知， 即，所以取，得. 所以，将代入，得， 所以. 因此，A，B，C选项错误，D选项正确. 故选：D 8．（新考向）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．当最小时， 【答案】AC 【解析】正项等比数列的公比为，前项的积为, ，， ， ，，，故选项A正确； ，，，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ，，，， 当时，， ，，， 当最小时，或，故选项D错误. 故选：AC. 10．在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 【答案】AC 【解析】对于A，因为分别是的中点，所以. 因为在正方体中，，所以. 因为，所以，A正确； 对于B，因为分别是的中点，所以. 而平面，所以与平面相交，不平行，B错误； 对于C，因为，所以. 因为平面，不在平面内，所以平面. 因为，所以， 因为平面，不在平面内，所以平面. 又平面，所以平面平面，C正确； 如果平面，而平面，所以， 则根据勾股定理有. 设正方体的棱长为1，则在直角三角形中，， 所以， 而. 很显然不成立，所以不成立，所以D错误. 故选：AC. 11．（热点）已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得， 则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为， 由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角， 由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误.故选：AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，且，则的值为 . 【答案】/ 【解析】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以. 13．（新情景）先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则 . 【答案】/ 【解析】假设，则， 故的结果为， 故要使得，只需， 先后掷一个均匀的骰子3次，共有种不同情况， 若，共有种不同情况， 不含的情况有种，不含的情况有种， 不含也不含的情况有种， 故，的不同情况有种； 同理，的不同情况有种； ，的不同情况有种；故. 14．（新考向）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 【答案】 【解析】由，因为均在半径为的球面上， 可将三棱锥放置于长方体中，如图，    设棱长分别为，则， 故长方体对角线平方为， 可设，， ， 考虑到是三角形边长，故，即 所以的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 【解】（1）在中，由正弦定理及 得：， ………………………………2分 化简可得：， 由余弦定理得， ………………………………4分 又，所以 ………………………………6分 （2） 是的角平分线，则， ……………………………7分 由可得 …………………………10分 因为，，即有， 故. ……………………………13分 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， ………………………………2分 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． ………………………………4分 所以. ……………………………5分 （2）取的中点为，连接，，， ………………………………6分 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， ………………………………7分 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ………………………………9分 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， ………………………………11分 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）…………………………13分 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. ………………………………15分 17．（本小题满分15分）（新情景）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 【解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. ………………………………3分 （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． ………………………………4分 由题意知，所以， 所以． ………………………………6分 （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， ………………………………8分 整理可得． 又，所以为等比数列． ……………………………10分 （ii）由（i）可得， 所以， …………………12分 又，所以． … ……………………………13分 所以. ………15分 18．（本小题满分17分）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【解】（1）由题知，， 设，则， ………………………………2分 由题意知，均不为0，即， 再由，得， ………………………………4分 即 所以的方程为. ………………………………5分 （2）（i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， ………………………………7分 如图， 设，其中，， 因为在上，所以， ………………………………8分 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， ………………………………10分 而面积， 所以面积的最大值为. ………………………………12分 （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， ………………………………13分 则， …………15分 所以，为定值. ………………………………17分 19．（本小题满分17分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的最小值； (3)当时，证明：． 【解】（1）函数的定义域为，， …………………1分 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； ……………………………2分 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； ……………………………4分 当时，由得或，由可得， …………………………6分 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. …………………7分 （2）函数的定义域为，， ………………………………8分 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， ………………………………10分 在处取得最小值． ………………………………11分 （3）当时，等价于， 即， 即， ………………………………13分 即，即， ，只需证明， ………………………………15分 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． ………………………………17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C B B D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）在中，由正弦定理及 得：， ………………………………2分 化简可得：， 由余弦定理得， ………………………………4分 又，所以 ………………………………6分 （2） 是的角平分线，则， ……………………………7分 由可得 …………………………10分 因为，，即有， 故. ……………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）由题意得，过作， 因为底面为等腰梯形，且，所以， 所以， 所以，进而得出， ………………………………2分 又，平面. 所以平面，又平面， 所以． ………………………………4分 所以. ……………………………5分 （2）取的中点为，连接，，， ………………………………6分 所以平面，又平面， ，平面. 所以平面，过E作平行于， ………………………………7分 以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， ………………………………9分 假设存在点，设， ， 设平面的一个法向量， ………………………………11分 因为直线与平面所成角的正弦值为， ，解得或（舍）…………………………13分 在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. ………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题， 故所求概率为. ………………………………3分 （2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为， 所以． ………………………………4分 由题意知，所以， 所以． ………………………………6分 （3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对， 则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为． 由全概率公式有， ………………………………8分 整理可得． 又，所以为等比数列． ……………………………10分 （ii）由（i）可得， 所以， …………………12分 又，所以． … ……………………………13分 所以. ………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由题知，， 设，则， ………………………………2分 由题意知，均不为0，即， 再由，得， ………………………………4分 即 所以的方程为. ………………………………5分 （2）（i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， ………………………………7分 如图， 设，其中，， 因为在上，所以， ………………………………8分 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， ………………………………10分 而面积， 所以面积的最大值为. ………………………………12分 （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， ………………………………13分 则， …………15分 所以，为定值. ………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）函数的定义域为，， …………………1分 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； ……………………………2分 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； ……………………………4分 当时，由得或，由可得， …………………………6分 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. …………………7分 （2）函数的定义域为，， ………………………………8分 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， ………………………………10分 在处取得最小值． ………………………………11分 （3）当时，等价于， 即， 即， ………………………………13分 即，即， ，只需证明， ………………………………15分 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． ………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（新考向）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 3．某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 4．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（改编）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 6．（热点）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 7．（新情景）如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 8．（新考向）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．当最小时， 10．在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 11．（热点）已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，且，则的值为 . 13．（新情景）先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则 . 14．（新考向）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（本小题满分15分）（新情景）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 18．（本小题满分17分）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 19．（本小题满分17分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的最小值； (3)当时，证明：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（新考向）若为实数，则虚数的实部为（   ） A．-2 B． C． D．2 3．某地区有高中教师300人，初中教师800人，小学教师1100人，为调查某次教师培训的成效，采用分层抽样的方法从这些教师中抽取一个容量为44的样本进行访问，则小学教师应抽取（    ） A．6人 B．16人 C．22人 D．28人 4．已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（改编）已知的展开式中的系数为0，则a的值为（    ） A． B．160 C． D．960 6．（热点）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 7．（新情景）如图，已知函数的部分图象与圆的两个公共点，当时，的图象无限逼近轴，则下列选项正确的是（   ）    A． B． C． D． 8．（新考向）若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正项等比数列的公比为，前项的积为．若，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．当最小时， 10．在正方体中，P，Q，R分别是的中点，则（   ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面 11．（热点）已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（   ） A．直线的斜率为 B．点M到y轴的距离为7 C．的面积为 D．直线的倾斜角为30°或150° 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，且，则的值为 . 13．（新情景）先后掷一个均匀的骰子3次，得到的点数依次为，记事件为“”，则 . 14．（新考向）已知三棱锥中，，若均在半径为2的球面上，求的范围 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知中，分别为内角的对边，且， (1)求角的大小； (2)设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度． 16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为等腰梯形，，且． (1)求． (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（本小题满分15分）（新情景）某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，． （i）证明：数列为等比数列； （ⅱ）求的值． 18．（本小题满分17分）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 19．（本小题满分17分）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的最小值； (3)当时，证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $