专题13 导数中的恒成立与有解问题（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题03 导数中的恒成立与有解问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、导数中单变量恒（能）成立问题 1 类型二、导数中双变量恒（能）成立问题 3 类型三、导数中双函数恒（能）成立问题 4 压轴专练 6 类型一、导数中单变量恒（能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 1．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南郴州·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 6．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．e 8．（24-25高二下·广东广州·期末）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知函数.若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·河北承德·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型二、导数中双变量恒（能）成立问题 双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域. 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（   ） A． B． C． D． 4．设函数.若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型三、导数中双函数恒（能）成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 1．（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·江西景德镇·期末）函数在上单调递增，则参数的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏苏州·月考）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二下·江西·期末）若对任意，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 14．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二下·广东深圳·期末）若、都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 20．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．若函数对，，均有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数中的恒成立与有解问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、导数中单变量恒（能）成立问题 1 类型二、导数中双变量恒（能）成立问题 8 类型三、导数中双函数恒（能）成立问题 14 压轴专练 20 类型一、导数中单变量恒（能）成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③求最值. 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 3、等价转化法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 1．若函数总在直线的上方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，问题转化为恒成立，求的取值范围. 【详解】设，因为函数总在直线的上方， 所以在上恒成立. 因为， 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 由. 故选：C 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知不等式对任意的正实数恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求导得其最大值，从而得到，解出即可. 【详解】令，则，令，则， 因为，，所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为对于恒成立，则有，即，且，解得. 故选：A. 3．已知不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析得在区间上恒成立，故只需利用导数求的最小值即可. 【详解】不等式在区间上恒成立，在区间上恒成立. 设， 则. 当时，， 当且仅当时，等号成立，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递减， ，即实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二下·安徽·期中）已知函数，若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简将问题转化为有解，再构造利用导数研究函数的性质得出最小值解题. 【详解】由题意得在区间上有解， 可转化为，令，则， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 因此要使得在区间上有解， 只需满足，即. 故选：B. 5．（25-26高二上·湖南郴州·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】令，分析可知在上恒成立，根据端点效应可得，解得，并把代入检验即可. 【详解】因为，则， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 令，则, 即在上恒成立，且， 可得，解得， 若，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则， 可知函数在上单调递增，则，符合题意； 综上所述：实数的最大值为2. 故选：C. 6．（23-24高二下·广东·期末）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意转化为导函数有解，参变分离有解，设，则实数，求导计算可得解； 【详解】函数的定义域为, 求导得，函数存在单调递减区间， 所以有解，即有解， 设，则实数， 则，令，得， 当时，在上递增； 当时，在上递减； 所以函数有最大值， 因此. 故选：D. 7．（24-25高二下·四川成都·期末）已知函数，若存在唯一的使得，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，根据单调性，讨论函数存在唯一零点时的情况，列出方程，求出参数的值. 【详解】由题意得， 因为，令，解得， 可知当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增，在处取得极小值， 当时，，当时，， 若存在唯一的使得，必有， 所以，化简得， 因为，所以，解得. 故选：B. 8．（24-25高二下·广东广州·期末）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将存在唯一的整数，使得，即，转化为在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方，利用导数判断函数单调性，作出其大致图象，数形结合，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意， 令 ， 因为存在唯一的整数，使得，即， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故当时，函数取得极小值也是最小值， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 是斜率为a，且过定点的直线，作出其大致图象如图： 当时，存在无穷多个满足条件的整数满足不等式，不符合题意， 故，此时需满足在图象上只有一个横坐标为整数的点在直线下方， 则需满足，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：D 9．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知函数.若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，，构造函数，，求导，得到函数单调性，求出，得到a的取值范围. 【详解】由题意得，，即，， 令，，则， 令，，则恒成立， 故在上单调递减，其中， 故当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 所以，实数a的取值范围时. 故选：B 10．（24-25高二下·河北承德·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，对变量进行分情况讨论，把恒成立问题转化为函数最值性问题，利用导数处理函数最值即可解得的取值范围. 【详解】，， ①时，成立，； ②时，，令，， 所以在单调递减，在单调递减，在单调递增， 所以时，，则， 又在单调递增，所以得解为； ③时，，又在单调递减，此时， 所以； 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 类型二、导数中双变量恒（能）成立问题 双变量问题与值域关系 1、第1类.“任意=存在”型 ，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即. 其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高. 2、第2类.“存在=存在”型 ，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即. 其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分. 3、第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型 ，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型. 4、第4类.型. 由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值. 上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域. 1．（25-26高二上·湖南怀化·期末）若，有成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简已知不等式得出在上单调递减，再应用导函数结合恒成立转化为最值得出参数范围. 【详解】由题得， ∴在上单调递减， 恒成立，即恒成立， 又，所以． 故选：B. 2．若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知函数，若存在，使得，且的最大值为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】探讨函数的性质，由已知可得，再构造函数，由其最大值为求出值. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减， 由存在，使，得，则，， 因此， 令函数，求导得， 当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 而的最大值为，于是，解得， 此时，符合题意， 所以的值为. 故选：B 4．设函数.若，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由恒成立，对分类讨论可知与零点相同，再根据构造函数，对其求导研究单调性，得到最小值. 【详解】令，，则. 当时，；当时，. ①当时，，但不一定保证恒成立，不符合题意； ②当时，可知当时，； 当时，，由于，， 得，即，，. 令，则，由得，得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 6．已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过求导判断函数在上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性，求出函数在上的值域，继而可求出参数范围. 【详解】由，求导得， 则当 时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，即当时，， 由奇函数的性质可知时，，故时有， 如图所示，，都有，所以， 故由恒成立可得. 故选：C. 类型三、导数中双函数恒（能）成立问题 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 1．（24-25高二下·天津·期末）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【详解】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 3．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 注意到，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 又因为，由二次函数性质可知， 可得，即实数的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用导数分别求得函数和的单调性及最小值和，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由函数在上单调递增，所以函数， 因为函数，，使得成立， 可得，解得，即实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【详解】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分别对函数求导，然后讨论当时两个函数的单调性和最值，判断其乘积是否大于等于0. 【详解】由题意得， 当时，，则函数与均在上单调递增，所以，故此时恒成立； 当时，，则在上单调递增，，在上单调递增，在上单调递减，故的最小值为，此时不满足恒成立； 当时，在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，但在存在小于零的情况，不满足恒成立； 当时，与都存在大于零和小于零的情况，故也不满足恒成立； 综上可知的取值范围为. 故选：A. 7．已知函数，，若，使得，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导函数证明在区间上单调递增，从而得出的值域；同理得出的单调区间和值域，由题意可知，这两个函数值域需要有交集，得出不等式组，从而得出范围. 【详解】，∴时，， ∴在区间上单调递增， ∴当时， ，令， 则，令，则， ∵， ∴时，，∴单调递增， ∴， ∴在上单调递增， ∴， 由题意可知， ∴. 故选：B 8．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 1．（24-25高二下·江西景德镇·期末）函数在上单调递增，则参数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间单调性得对任意恒成立，即，利用导数研究右侧函数单调性，进而求参数的范围. 【详解】因为，所以， 由题，可得，对任意， ，即，， 令，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，所以， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东菏泽·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，在上单调递增可以转化为在上恒成立，构造函数利用导数求得最大值即可得出结果. 【详解】函数，其定义域为， 求导得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 移项可得，即在上恒成立. 令，， 对求导得. 令，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值. 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·江苏苏州·月考）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 4．（24-25高二下·江西·期末）若对任意，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为，设，利用导数求出的最值可得答案． 【详解】由对任意，得， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，单调递减， 所以，所以． 故选：D． 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，化为在区间上有解，再应用参变分离或二次函数性质研究不等式能成立，求参数范围. 【详解】由，则． 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 方法一：即在区间上有解，所以． 令，则， 令在上单调递增，所以，即， 所以． 方法二：当时，在恒成立，不符合； 当时，开口向上，只需或，所以． 故选：D 6．已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 7．已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题中条件“，使得”可转化为和值域交集非空，分别求出和值域分析求解即可. 【详解】由得：， 因为本题中，所以， 所以单调递减，所以， 由得：， 当时，，所以单调递增， 所以， 因为，使得， 所以， 所以， 故选：D. 8．（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 9．（25-26高二上·广西贵港·月考）已知函数，若对任意（0，2]，存在[1，2]，使，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确“任意-存在”型不等式的转化逻辑，再利用导数判断函数的单调性并求出其最值解决问题. 【详解】，令，解得或， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 因为对任意，存在，使， 所以在上有解，整理得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为，所以， 所以. 故选：B 10．已知函数，，若成立，则n－m的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，， ∴，，即， 若，则， ∴，有， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴，即的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 11．已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围. 【详解】因为对于存在，存在，使， 所以，，， 又，， 显然在上单调递减，则， 当时，，即在上单调递增， 则， 由解得：， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 12．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 13．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性并化简不等式，构造函数，结合已知可得新函数单调性，再利用导数求出的范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 不妨设，则，由， 得，即， 令函数，则函数在区间上单调递减， 因此对，恒成立， 而函数在上单调递增，则当时，取得最小值3，于是， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 14．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域记作集合，根据题意可得，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B 15．已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，使得成立，可得函数的值域包含的值域.利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解. 【详解】由，使得成立， 则函数的值域包含的值域. 当时，函数开口向上，对称轴， 所以在上单调递减，且， 所以； 当时，，则， ①若，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，即，解得； ②若，则，在上单调递增， 此时值域为，符合题意. ③当时，的值域为，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：B. 16．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）若，当时，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转化为时，恒成立，从而构造函数，推出该函数在上单调递减，求出其导数，分离参数，结合函数的最值，即可求得答案. 【详解】等价于， 即等价于，即等价于． 令， 则条件等价于，当时，， 即函数在上单调递减，即，则． 又，，所以， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 17．（24-25高二下·山东聊城·期中）已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，在上单调递增，即恒成立，参变分离即在上恒成立，再，利用导数求其最大值即可得a的取值范围. 【详解】对任意的，当时，都有， 即在上恒成立， 设，则当时，恒有， 即在上单调递增， 又，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，等号不会同时取到，所以， 则在上单调递减，所以，则， 所以实数a的取值范围为. 故选：D 18．（24-25高二下·广东深圳·期末）若、都有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则不等式可化为，即，可知函数在上单调递增，则恒成立，所以恒成立，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】不妨设，则不等式可化为， 整理得， 则函数在上单调递增， 故恒成立，所以恒成立. 令，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故，所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 19．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 20．（24-25高二下·山东济宁·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得，得到得单调性和，转化为成立，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，进而得到在上单调递减，求得，即可求解. 【详解】由函数，可得， 当时，，此时在上单调递增， 所以在上的最小值为， 则，使得恒成立， 即，使得成立，即成立， 令，即， 因为， 令，可得， 所以在上单调递减，所以， 所以，可得在上单调递减，所以， 所以，即实数的取值范围为. 故选：A. 21．（2025高二·全国·专题练习）若，若存在唯一的整数使得，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数导数与函数单调性的关系，以及直线过定点的概念，作出函数图像，对参数进行分类讨论，列出不等式组，求出结果. 【详解】由题意可得，即有唯一整数解， 可知恒过， 设函数，则， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 可知，， 当时，且， 当时， ， 则函数和函数图像如下图所示， 若，由函数图像可知，恒成立，则必有无数个整数点，不满足； 故，若在轴右边有整数解，只能是成立，不成立， 即，即， 若在轴左边有整数解，只可能在成立，不成立， 即，即， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 22．（24-25高二下·福建福州·期中）已知函数，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合题意易得，构造函数，转化为存在，使得，对求导后按照和两类进行讨论求解即可. 【详解】函数在上为增函数， 不妨设，则，， 所以由，得， 则， 设，，则， 而， 当时，，函数在上为增函数， 此时不存在，使得； 当时，要满足题意，则在区间上有变号零点， 使得在区间上不单调， 则，即， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上为增函数，在上为减函数， 又，且时，，所以. 故选：C. 23．（24-25高二下·天津滨海新·期末）已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，即，通过研究函数可得，然后通过研究， 可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，其中，. ，则在上单调递减，从而. 则，其中. 令，则，. 令，， ， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 令，， 令，， 则在上单调递减，在上递增， 从而. 则. 故选：B 24．（24-25高二下·天津南开·期中）已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，即，求导分析单调性可得，即，令，求导分析单调性，求即可 【详解】由题意，， 令， 则，恒成立，即恒成立，即， ， 令，解得， 令，即在上单调递增； 令，即在上单调递减. ， ，， 令，， 令，即在单调递增； 令，即在单调递减； ， ，即的取值范围为. 故选：B 25．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为． 故，即，解得. 故选：C. 26．若函数对，，均有恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过求导可判断的单调性，进而可化简不等式为，移项后，再构造函数，根据的单调性，进行求参数即可. 【详解】因为，所以， 设函数，则， 易知，当时，恒成立， 所以在上单调递增， 设，，则，， 即， 所以恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，即，，恒成立， 所以在上单调递减，所以在上恒成立， 又，则， 又，所以恒成立， 令，则，， 设函数，则， 易知当时，恒成立，所以函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 所以. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $