专题05 正、余弦定理解三角形及面积问题（压轴题8大类型专项训练）高一数学人教A版必修第二册

专题05 正、余弦定理解三角形及面积问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、余弦定理解三角形 1 类型二、正弦定理解三角形（含边角互化） 3 类型三、正余弦定理结合解三角形 5 类型四、三角形中解的个数问题 6 类型五、三角形面积问题 8 类型六、三角形外接球半径问题 9 类型七、三角形的形状问题 10 类型八、距离、高度、角度测量问题 11 压轴专练 15 类型一、余弦定理解三角形 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 5．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 7．（24-25高一下·重庆·月考）在中，边上的高等于，，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 类型二、正弦定理解三角形（含边角互化） 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 1．（24-25高一下·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高一下·重庆·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则中最大的边长为（   ） A． B． C． D． 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东深圳·期中）在梯形ABCD中，，，，.若，则（    ）. A． B． C． D．2 9．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 11．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 类型三、正余弦定理结合解三角形 1．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 2．（24-25高一下·河南濮阳·期中）在中，若，则的最大内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）在中，角的对边分别为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，角所对的边分别为，若，，则（    ） A．4 B． C． D．2 7．（24-25高一下·重庆·月考）在中，角的对边分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（    ） A． B．3 C． D． 类型四、三角形中解的个数问题 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 1．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 6．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型五、三角形面积问题 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 1．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ）． A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 6．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 8．在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 类型六、三角形外接球半径问题 1．（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 7．若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 类型七、三角形的形状问题 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 1．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 2．在 中， 若， 则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 4．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 5．（23-24高一下·山东·月考）在中，角所对的边分别为，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 6．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 类型八、距离、高度、角度测量问题 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 4．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 7．（24-25高一下·江西南昌·期末）八一起义纪念碑是南昌的标志性建筑，也是游客的日常打卡地．为测量八一起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得纪念碑顶端的仰角为75°，则测量的八一起义纪念碑的高度约为（参考数据：，）（   ）      A． B． C． D． 8．（24-25高一下·河南平顶山·期末）为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 2．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 5．在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·河南开封·期中）在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）在等腰直角中，，点将三等分，则（   ） A． B． C． D． 13．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 14．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 15．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 17．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 18．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河南商丘·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高一下·广西河池·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一下·浙江·期中）已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 23．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 24．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 25．已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（    ） A．2 B． C．4 D． 26．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 27．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 28．（24-25高一下·广东江门·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 30．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 33．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 正、余弦定理解三角形及面积问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、余弦定理解三角形 1 类型二、正弦定理解三角形（含边角互化） 6 类型三、正余弦定理结合解三角形 13 类型四、三角形中解的个数问题 17 类型五、三角形面积问题 21 类型六、三角形外接球半径问题 26 类型七、三角形的形状问题 30 类型八、距离、高度、角度测量问题 33 压轴专练 41 类型一、余弦定理解三角形 1、公式表达： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accosB， c2＝a2＋b2－2abcosC 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 注：余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝ 4、余弦定理在解三角形中的应用 （1）类型1：已知两边及一角，解三角形 方法概要：先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路： 一是利用余弦定理的推论求出其余角； 二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解； （2）类型2：已知三边解三角形 法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一 法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解 1．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 3．（24-25高一下·河南郑州·期末）在 中，，，，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，即为钝角，进而即可得到答案． 【详解】由余弦定理得， 又在 中，，则为钝角， 所以为钝角三角形． 故选：C． 4．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，，则（    ） A．4 B．3 C．5 D．3或5 【答案】C 【分析】根据已知条件，用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理:, 代入已知条件，即， 化简得， 解一元二次方程：， 解得：或（舍去）， 所以. 故选：C. 5．在中，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用三角形的内角和定理和余弦的倍角公式，求得，再利用余弦定理，即可求得的长. 【详解】因为，所以为等腰三角形，可得，且， 又因为且， 所以， 由余弦定理得， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·黑龙江大庆·月考）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，通过对进行变形，从而求出边的长度. 【详解】已知余弦定理，因为， 所以，那么. 又因为完全平方公式，可得， 将其代入中，就得到. 已知，，将其代入可得：， 所以. 故选：B. 7．（24-25高一下·重庆·月考）在中，边上的高等于，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设边上的高为，为垂足，即可得到，设，即可求出，，，再由余弦定理计算可得. 【详解】设边上的高为，为垂足，所以， 因为，所以，所以， 设,那么,. 由勾股定理，， 又， 由余弦定理可知. 故选：C 8．在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】在中，由余弦定理结合得： ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知A为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D 9．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 类型二、正弦定理解三角形（含边角互化） 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 3、已知两角及一边解三角形 方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值； （2）如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一； （3）如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论 1．（24-25高一下·广东江门·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，则（    ）． A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可得：，解得， 因为，所以， 所以或. 故选：D 2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、， 则. 故选：C. 3．（24-25高一下·江苏南京·期中）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：D. 4．（24-25高一下·甘肃白银·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 5．在中，a，b，c三边对应的角分别为A，B，C，若，，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求出，，再根据两角和的正弦公式求得，进而结合正弦定理求解即可. 【详解】在中，，则， 因为，则，， 又，解得，，又， 在中，，所以， 所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·重庆·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则中最大的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意结合正弦定理求出角C，进而求出角B，从而结合正弦定理即可求最大边. 【详解】由题，且由正弦定理得， 又，所以，所以，则， 又， 所以中最大的边长为. 故选：A, 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角. 【详解】 由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 故选：B． 8．（24-25高一下·广东深圳·期中）在梯形ABCD中，，，，.若，则（    ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】用表示和中相关的角，再用正弦定理建立关系，并整理得关于的方程即可作答. 【详解】梯形中，，，令， 则，， 中，由正弦定理得：， 中，由正弦定理得：， 两式相除得：， ，则， 所以. 故选：D. 9．（24-25高一下·广东河源·期末）在中，内角所对的边分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，由边化角，根据三角形内角和以及两角和的正弦公式，化简等式，依据辅助角公式求出结果. 【详解】由题意得， 因为，所以， 代入得， 化简得， 化简得，得， 得， 因为，所以， 所以，解得. 故选：C. 10．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在中，，，分别是，，所对的边，已知，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦定理化简得，再由正弦定理化边为角，得到，最后根据基本不等式求最值的可求得结果. 【详解】由余弦定理，即， 由正弦定理知，， 即，即， 在中，且、同号，故， 所以.当且仅当时，等号成立 故. ∵， ∴，时.取得最小值. 故选：B. 11．（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）锐角中，角A、B、C所对的边长a、b、c，若，则的范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角形先求得，进而根据正弦定理边角互化求解即可. 【详解】因为锐角中， 所以， 即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，即的范围为 故选：B 类型三、正余弦定理结合解三角形 1．（24-25高一下·重庆·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出. 【详解】因为，，，由正弦定理， 可得，即，可得， 由余弦定理可得，所以. 故选：B． 2．（24-25高一下·河南濮阳·期中）在中，若，则的最大内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可设，，，利用余弦定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得，其中最大角为 设，，，其中， 又由余弦定理，可得． 故选：D． 3．（24-25高一下·安徽安庆·月考）在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 4．（23-24高一下·青海西宁·期末）在中，内角所对的边分别是，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，得到，再根据余弦定理代入化简，即可得角. 【详解】已知， 则由正弦定理得， 由余弦定理可得，代入上式可得 ，即，则， 因为，所以. 故选：B. 5．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）在中，角的对边分别为，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得，由正弦定理得，再利用正弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为 ， 所以， 因为，所以，或舍去，可得， 因为，由正弦定理得， 所以， 因为，所以，可得， ，所以. 故选：D. 6．在中，角所对的边分别为，若，，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，然后由，求得，再由正弦定理求解. 【详解】根据条件，由正弦定理，得， 所以，所以． 由余弦定理，得， 因为，所以． 由，得， 所以． 由正弦定理，得，所以． 故选：C. 7．（24-25高一下·重庆·月考）在中，角的对边分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据边角互化以及和差角公式可得，进而可得，故，结合余弦定理即可求解. 【详解】由可得, 故, , 由可得, 则， 由余弦定理可得，故， 故，则， 故选：C 8．若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由，CD平分交于可得，后由余弦定理可得答案. 【详解】因CD平分，则，由正弦定理：， 又，则. 设，则.又, 由余弦定理： . 故选：C 类型四、三角形中解的个数问题 已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 1．（24-25高一下·河南·月考）在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A利用三角形全等的判定方法可判断；B利用大边对大角可判断；C利用可判断；D由正弦定理得，结合可判断. 【详解】对于A，根据三角形全等的判定方法，可知满足条件的三角形只有一解，故A正确； 对于B，因为，所以，又为钝角，所以不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B错误； 对于C，因为，所以三角形不存在，故C错误； 对于D，因为，所以， 因为且，所以有两解且这两个解互补，故D错误. 故选：A 2．（24-25高一下·福建龙岩·期末）在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 3．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，再由三角形有两解，可得，可得角的取值范围. 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以， 故选: . 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 5．（24-25高一下·陕西西安·期中）的内角的对边分别为，如果有一解，则的值不可能为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】法一；利用正弦定理求出，再分别代入验证，求出，再结合的范围可得. 【详解】法一：在中，利用正弦定理可得，则， 若，则，因，则或（舍）， 则有一解，故A错误； 若，则，因，则或（舍），则有一解， 故B错误； 若，则，因，则，则有一解，故C错误； 若，则，因，则或， 则有两解，故D正确. 法二：利用或者可知，或， 故选：D 6．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为，设，则，由勾股定理求得．由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动，故，可得的范围． 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 类型五、三角形面积问题 三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） 证明：当为锐角三角形时，作于点， 设的面积为，则； 当为钝角三角形时，作边长的高， 则， ∴； 当为直角三角形时，上述结论依然成立。 （3） 证明： （4） 证明： 1．（24-25高一下·陕西商洛·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，．则的面积为（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理可求解，即可由面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得， 即，即，解得或（舍去）， ∵，∴， 所以， 故选:D． 2．（24-25高一下·山东青岛·期末）已知的面积为，，，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由余弦定理和三角形面积公式即可求得结果. 【详解】设中角所对的边分别为， 因为的面积为，，所以， 又，所以，结合上式得：， 由余弦定理得：，故. 故选：A 3．（24-25高一下·江苏常州·期末）在中，角，，的对边分别为，，，为的面积.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理、三角形面积公式得，即可求解. 【详解】因为，， 若，则，而， 所以，. 故选：D. 4．（24-25高一下·江苏常州·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以. 故选：D. 5．已知三角形的三个内角A，，所对边为，，，若，且，，则三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化可得，随后由正弦定理可得，最后由面积公式得答案. 【详解】由正弦定理边角互化，， 得，又在三角形中，有，则. 又，由正弦定理，，则三角形面积为： . 故选：B 6．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 整理可得：， 可得， 因为为三角形内角，，所以． 因为，所以， 因为，且，所以， 解得， 由余弦定理得， 解得．所以， 故选：A． 7．（24-25高一下·安徽·月考）记的内角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角，结合辅助角公式得到，再结合三角形面积公式及余弦定理求得，即可求解. 【详解】由正弦定理得， ，， ，， ，又， . ， ，由，， 得， 则 故， 周长为. 故选：C 8．在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求. 【详解】对进行化简， 通分可得， 即，又，解得； 已知，由余弦定理，可得， 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则，可得， 三角形面积，当且仅当时等号成立, 故选：A. 类型六、三角形外接球半径问题 1．（23-24高一下·宁夏·期末）已知外接圆的周长为，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先设外接圆的半径由周长求出半径，再应用正弦定理得出边长. 【详解】设半径为，又因为外接圆的周长为，所以, 又因为正弦定理得,所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理与三角函数的和差公式求得角，再利用的外接圆直径求得，从而得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为， . 故选：B. 3．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径. 【详解】由得， ， 即：，可得. 又因为，可得． 又已知，， 由余弦定理得 ， 解得. 则外接圆直径. 故选：D. 4．（24-25高一下·山东临沂·月考）的内角，，所对的边分别为，，，点是的外接圆的圆心，，，，则该外接圆的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得出角，再由余弦定理得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由，得， 又因，得，所以，所以， 由余弦定理得， 由正弦定理得，所以， 所以圆的面积. 故选：C 5．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在中，，则该三角形外接圆半径与内切圆半径的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解. 【详解】在中，，由正弦定理可得， 设， 由余弦定理得，所以， 则， 所以，则， 所以， 故选：C 6．在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的定义求得，然后由正弦定理和余弦定理解得，再由正弦定理求出外接圆半径，代入圆的面积公式求解即可. 【详解】， ，即， 又，由正弦定理可知， ，即， 由余弦定理及，得，解得， 由得， . 故选：D. 7．若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 类型七、三角形的形状问题 判断三角形形状时常用到的结论 1、为直角三角形或或 2、为锐角三角形，且，且 3、为钝角三角形，且，且 4、若，则或 1．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）若，则为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，利用正弦函数的性质可判断三角形的形状. 【详解】因为，，所以或者. 即或者（）. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C 2．在 中， 若， 则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式得，利用正弦定理得，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 由有， 利用正弦定理有：，即， 由余弦定理有，所以是钝角三角形， 故选：C. 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期中）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】结合余弦定理和可求C的大小，利用三角恒等变换公式和可求A与B的关系，从而可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 4．（24-25高一下·山东潍坊·月考）在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得或，分类讨论可得结论. 【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形. 综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形. 故选：B. 5．（23-24高一下·山东·月考）在中，角所对的边分别为，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】首先由三角形面积公式数量积定义得，结合化简得，即，由此即可判断. 【详解】因为，所以，解得， 又， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以，即， 又， 所以此三角形的形状为等边三角形. 故选：C. 6．在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理，余弦定理化角为边，化简已知等式可得，即可判断的形状． 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 类型八、距离、高度、角度测量问题 测量距离问题 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 测量高度问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 测量角度问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 1．（24-25高一下·北京顺义·期末）一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（   ） A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile 【答案】C 【分析】结合已知条件应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为，且.. 在中，由余弦定理得， 即. 所以； 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）如图，一同学想利用所学习的解三角形知识测量河对岸的塔高AB，他选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，，，，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用正弦定理求得的值，在中根据即可求解 【详解】由题可知，在中，，，故， 由正弦定理，得， 因为. 所以， 因为在中，. 故选：C. 3．（24-25高一下·甘肃白银·期末）美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再在中，由正弦定理求得，进而利用三角函数求出高度 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 4．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 5．如图，在处（点在水平地面下方）进行某仪器的垂直弹射，水平地面上的两个观察点相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．在地测得最高点的仰角（为与水平地面的交点），在地测得该仪器在处的俯角，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，利用余弦定理求出，再在中，利用正弦定理得. 【详解】设米，则米． 在中，由余弦定理得， 即，解得． 在中，米，，， 由正弦定理得， 即，解得（米）． 故选：B 6．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，某河流两边有（在同一个平面内）四点，已知两个观察点在河的南岸，二者间的距离为，为了测量在河的北.岸两个目标点间的距离，某小组测得，则两个目标点间的距离为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】在中，求得则，再在中，求得，利用正弦定理求得，在中，结合余弦定理，即可求解. 【详解】在中，由， 则. 在中，可得， 由正弦定理，可得，解得， 在中， 由余弦定理， 可得，解得， 所以两个目标点间的距离为. 故选：C. 7．（24-25高一下·江西南昌·期末）八一起义纪念碑是南昌的标志性建筑，也是游客的日常打卡地．为测量八一起义纪念碑的高度，某中学研究学习小组选取，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得纪念碑顶端的仰角为75°，则测量的八一起义纪念碑的高度约为（参考数据：，）（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由正弦定理得，再运用正切和角公式得到，结合代入计算取近似值即可. 【详解】在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为在直角中，，所以， 又因为， 所以， 即八一起义纪念碑的高度OC约为52m. 故选：B 8．（24-25高一下·河南平顶山·期末）为测量河流对岸某“5G”信号塔的塔顶信号源A到地面的距离AB，甲设计了如下测量方案：如图，在河岸上选取一基准线PQ，且测得，在基点P，Q以及PQ的中点M处分别测得塔顶信号源A的仰角为，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先由三角函数得到，，，在和中，分别使用余弦定理，结合得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，设， 则在中，，故， 同理可得，， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 由于，故， 即， 即， 解得. 故选：A 1．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，已知，则（    ） A．3 B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 2．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，，，，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据同角三角函数得出，再应用正弦定理计算求解. 【详解】在中，，所以， 又因为，则由正弦定理得，解得. 故选：D. 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再利用正弦定理即可. 【详解】由题意得，所以， 设外接圆的半径为，则由正弦定理得， 所以， 故选：B. 4．（24-25高一下·湖北黄石·期末）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（   ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式，得到，不妨设，验证能构成三角形，然后结合余弦定理，求得，即可求解. 【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为， 由三角形的面积公式，可得， 不妨设，其中，则的最大角为角， 由余弦定理，可得， 又因为， 所以能构成三角形， 因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形. 故选：D. 5．在中, 角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积. 【详解】由正弦定理可知,, 即 ，因为,， ，根据正弦定理可知，得， 则的外接圆面积. 故选：D 6．（23-24高一下·河南开封·期中）在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设及三角形面积公式、余弦边角关系可得，即可求角的大小. 【详解】由题设，又， 所以，则，而， 所以. 故选：D 7．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】A 【分析】根据余弦定理解三角形，根据正弦面积公式求出三角形面积. 【详解】，，，， 则，的面积为， 故选：A． 8．（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 9．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长. 【详解】，由正弦定理得 ， 又， 所以， 则，或，（舍）， 所以，， 则， . 故选：A. 10．（24-25高一下·山东威海·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角C=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式得，又即可求，进而得. 【详解】由有，由正弦定理有， 又， 所以，又为的内角，所以，即， 又由，所以， 又，所以，所以. 故选：C. 11．（24-25高一下·河南商丘·期末）记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 12．（24-25高一下·江苏南通·期中）在等腰直角中，，点将三等分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，易得，再应用余弦定理求，由同角三角函数关系求其正切值. 【详解】设，则，则， 故，同理， 所以，又，则， 所以. 故选：C 13．如图，四边形中，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由锐角三角函数可得，再由余弦定理及降幂公式即可求解. 【详解】设，，则， 由余弦定理可得， 所以，解得． 故选：B． 14．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】在中，利用余弦定理可得，，再结合几何性质运算求解即可. 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 15．（24-25高一下·重庆·期末）在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得，从而，再由得到的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果. 【详解】，由正弦定理得， ， ，即， ，，， ，，. 故选：A. 16．（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，，若最长边的长为，则最短边的长为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】易得，则，再利用两角和的正切公式求出，即可得出最长边和最短边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】由，，，则，所以， 又， 又，故， 所以，则，为最短边， 由，则，解得， 由正弦定理，. 故选：C. 17．（24-25高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面下方，O为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B相距100米，，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．在A地测得该仪器在C处的俯角为，在A地测得最高点H的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中，由余弦定理求得，在中，运用正弦定理求得即可. 【详解】在中，设，则， 由余弦定理得， 即，解得． 在中，． 由正弦定理得，即，解得． 故选：B． 18．在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，或，进而可得. 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 19．（24-25高一下·四川眉山·期末）在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式可求得的值，结合余弦定理可得出的值，然后利用连比定理可求得结果. 【详解】由三角形的面积公式可得，解得， 由余弦定理可得，故， 由正弦定理知， 由连比定理可得. 故选：B. 20．（23-24高一下·河南商丘·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的数量积公式、余弦定理、正弦定理得，再由余弦定理得，平方求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 整理得，又， 由正弦定理得，所以 ， 所以， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，所以. 故选：A. 21．（24-25高一下·广西河池·月考）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由利用正弦定理得，又利用余弦定理得，利用余弦定理计算，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由和正弦定理，可得， 由和余弦定理，可得， 整理化简得：，代入化简得， 又由余弦定理得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D. 22．（23-24高一下·浙江·期中）已知四边形内接于圆，且满足，，，则圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，分别在中和在中利用余弦定理求出和，然后在中，由正弦定理可得 【详解】由题意可得， 在中，由余弦定理得, 在中，由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得圆的半径为， 故选：A 23．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 24．（24-25高一下·天津滨海新区·期末）在中， 记角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理得，进一步讨论得或即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以符号相同， 若，则，而这会导致，这与三角形内角和矛盾， 从而只能，所以， 所以或， 所以或, 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 25．已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果. 【详解】 即 即 又，故， 所以 所以 ， 因为 又因为， ， 所以， 所以，解得. 故选：A. 26．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，有A，B，C三艘渔船在海岛D附近作业，D在A的东北方向，D在B的东偏北方向，C在B的东偏北方向，B在A的正东方向，已知A，B相距，B，C相距，则（   ） A．D在C的北偏西方向 B． C．D，C相距 D．D，B相距 【答案】C 【分析】根据方位角，画出图形，利用正弦定理及勾股定理求解. 【详解】如图所示， 又， 所以在中，解得， 在中，， 所以，则， 所以在的北偏西方向，且,相距． 故选：C. 27．（24-25高一下·湖北武汉·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理和余弦定理即可求解. 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 28．（24-25高一下·广东江门·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向，且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】由题可得示意图：平面，，，， 设山顶高于海面的距离为， 由题意，， 在中，，， 由余弦定理得， 即，即， 解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面米. 故选：D. 29．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即A的最大值为． 故选：B． 30．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 31．（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，角所对的边分别为，若，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出，然后由余弦定理结合重要不等式得范围，最后由面积公式求最值即可. 【详解】根据题意，由正弦定理角化边为：， 再由余弦定理得：， 因为，所以，又， 由余弦定理，即， 因为，所以，即， 当且仅当时等号成立， 故的面积， 所以面积的最大值为. 故选：B. 32．记的内角的对边分别为，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先根据题设结合正弦定理，三角恒等变换公式化简得到，进而得到，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得， 根据正弦定理得， 而， 于是，其中， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 故选：B． 33．（24-25高一下·重庆·期中）如图，在凸四边形ABCD中，，当变化时，对角线BD的最大值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设，求出，利用正弦定理和余弦定理计算表示出，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】设，则，所以， 由正弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 ， 所以当时，取到最大值，此时. 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $