5.3.1函数的单调性(第二课时)课件-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性(2) 5.3 导数在研究函数中的应用 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 复习回顾 如果恒有 则 是常数函数. 函数的单调性与其导数的关系： f (x) > 0 f (x) ↗ f (x) ≥ 0 f (x) ↗ 2 复习回顾 ① 求出函数f (x)=的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性. 判断函数单调性的步骤： 注：单调区间不以“并集”出现. x f (x) f (x) x0 (x0, b) 0 － f(x0) ↓ (a, x0) + ↑ ⑤对函数f(x)的单调性下结论. 举例应用 形如 的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究这类函数的单调性. 举例应用 例3 用求函数的单调性: 解: ∵f (x)= ，其定义域为R， ∴ f (x)=x2－x－2=(x+1)(x－2)， 令 f (x)=0，解得 x=－1或x=2. 列表如下： ∴ f (x)在(－∞, －1)和(1, +∞)上单调递增， 在(－1, 2)上单调递减 . x f (x) f (x) －1 (－1, 2) 2 0 － 0 f(－1) = ↓ (－∞, －1) (2, +∞) + ↑ + ↑ x －1 f (x) f(2) = 举例应用 例3 用求函数的单调性: ∴ f (x)在(－∞, －1)和(1, +∞)上单调递增， 在(－1, 2)上单调递减 . x f (x) f (x) －1 (－1, 2) 2 0 － 0 f(－1) = ↓ (－∞, －1) (2, +∞) + ↑ + ↑ f(2) = x y O -1 1 • 2 • 如图所示. 方法总结 ① 求出函数f (x)的定义域，x∈ _______； ② 求出函数的导数f (x)=_______； ③ 令f (x)=0，解得x= _______； ④ 列表写出定义域内不同区间内导数f '(x)的符号，及f (x)在定义域内的单调性. 判断函数 f (x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0)单调性的步骤： 注：单调区间不以“并集”出现. ⑤对函数f(x)的单调性下结论. x f (x) f (x) x1 (x1, x2) x2 0 － 0 f(x1) ↓ f(x2) (a, x1) (x2, b) + ↑ + ↑ 课堂练习 例3 用求函数的单调性: 解: ∵f (x)= ，其定义域为R， ∴ f (x)=x2－x－2=(x+1)(x－2)， 令 f (x)=0，解得 x=－1或x=2. 列表如下： ∴ f (x)在(－∞, －1)和(1, +∞)上单调递增， 在(－1, 2)上单调递减 . x f (x) f (x) －1 (－1, 2) 2 0 － 0 f(－1) = ↓ (－∞, －1) (2, +∞) + ↑ + ↑ x －1 f (x) f(2) = 课堂练习 教材P89 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解: (1) ∵f (x)=3x－x3，其定义域为R， ∴ f (x)=3－3x2=3(1－x2)， 令 f (x)=0，解得 x=－1或x=1. 列表如下： ∴ f (x)在(－∞, －1)和(1, +∞)上单调递减， 在(－1, 1)上单调递增 . x f (x) f (x) －1 (－1, 1) 1 0 + 0 f(－1) =－2 ↑ (－∞, －1) (1, +∞) － ↓ － ↓ x －1 f (x) f(1) = 2 课堂练习 教材P89 1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: 解: (2) ∵f (x)=x3－x2－x，其定义域为R， ∴ f (x)=3x2－2x－1=(x－1)(3x+1)， 令 f (x)=0，解得 x=1或x=. 列表如下： ∴ f (x)在(－∞, －)和(1, +∞)上单调递增， 在(－, 1)上单调递减 . x f (x) f (x) － (－, 1) 1 0 － 0 f(－) = ↓ (－∞, －) (1, +∞) + ↑ + ↑ x f (x) f(1) = －1 课堂练习 教材P89 证明：函数f (x)=x3－x2－x的定义域为R. 新知探究 探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. 函数 递增得越来越慢， 对数函数 的导数为 ， 当x越来越大时， 越来越小， 所以 在 上单调递增. 图象上升得越来越“平缓”. x y O 1 • (1) 新知探究 探究 研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,＋∞)上增长快慢的情况. 当x越来越大时， 越来越大， 所以 在区间 上单调递增． 函数 递增得越来越快， 幂函数 的导数为 ， 图象上升得越来越 “陡峭”. x y O (2) 新知讲授 函数增减的快慢与导数的关系: 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢， 函数的图象就比较“平缓”； 如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快， 函数的图象就比较“陡峭”. 例题分析 例4 x y O 1 • 解： 课堂练习 教材P89 3. 函数y=f ′(x)的图象如图所示，试画出函数y=f(x)图象的大致形状. x y O a b e d c 解： x y O a b e d c $