7.3复数的三角表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.3复数的三角表示 第七章 复数 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 复数的三角表示式 1 复数的三角表示式 如图7.3-1，我们可以用刻画向量大小的模和刻画向量方向的角 来表示复数 . 图7.3-1 一般地，任何一个复数都可以表示成 的形式.其中, . . 6 概念名称 概念的说明 模 是复数的模， . 辐角 是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线射线 为终边的 角，叫做复数的辐角，且, . 三角形式 叫做复数 的三角表示式，简称三角形式， 该式的结构特征是:模非负，角相同，余弦前，加号连. 说明 为了与三角形式区分开来， 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. . . 7 2 辐角的主值 显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍. 例如，复数的辐角是 ,其中 可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零 向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.通常记作 （把一个复数表示成 三角形式时，辐角 不一定取主值）,即 .例如，, , , . 3 三角形式下的复数相等 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值 唯一确定.因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等. . . 8 学思用·典例详解 例1-1 下列复数中是三角形式的是( ) B A. B. C. D. 【解析】复数的三角形式是 ，观察所给的四个复数，只有B中的复 数是三角形式，注意式子是否符合“模非负，角相同，余弦前，加号连”. 9 例1-2 [教材改编P89【习题7.3】T1]将代数形式的复数 改写成三角形式. 【解析】 因为, , 在复平面内与对应的点在第一象限,所以 , 从而的三角形式为 . . . . 10 知识点2 复数乘法运算的三角表示及其几何意义 1 复数乘法运算的三角表示 根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到 , 即 . 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数 的辐角的和. . . 11 2 几何意义 图7.3-2 两个复数, 相乘时，可以像图 7.3-2那样，先分别画出与 ,对应的向量,,然后把向量绕点 按逆时针方向旋 转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角 , 再把它的模变为原来的倍，得到向量, 表示的复数就是积 .这是复数乘法的几何意义. 12 3 推广 根据两个复数乘法运算的三角表示及其几何意义，可以推广到 个复数相乘的情况，即 , 特别地，当 时， . （三角形式的乘方运算） 13 例2-3 若非零复数，则 ____. 【解析】共轭复数在复平面内对应的点关于轴对称，因此 是 的一个辐角,则 , 故 . 点评 若非零复数，则 ，这是一个非常有用的结论. 14 例2-4 不用计算，猜测 的值为___. 1 【解析】的辐角为.如图7.3-4所示， 对应的向量为 ， 图7.3-4 则对应的向量为，对应的向量为.显然 表示的复数为1. 点评 通过复数乘法的几何意义，易得对于， ,1,2，都 有 . 15 知识点3 复数除法运算的三角表示及其几何意义 1 复数除法运算的三角表示 设,,且 ,因为 ， 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商 的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. . . 16 2 几何意义 图7.3-3 如图7.3-3，两个复数,相除时，先分别画出与, 对应 的向量,,然后把向量绕点按顺时针方向旋转角 如果，就要把绕点按逆时针方向旋转角 ,再把它 的模变为原来的倍，得到向量,表示的复数就是商 .这是 复数除法的几何意义. 17 【想一想丨问题质疑】 你能根据例 中的结论，用另一种思路推导复数除法运算的三角表示吗？ 所以根据复数除法的定义，有 提示 由例我们可以得到：若非零复数,则 ，则 ,即 . 这样一来，如果, , 则 , 即 . 18 题型解析 03 题型1 复数的代数形式与三角形式的互化 1 将复数的代数形式化为三角形式 例5 ［教材改编P86 T1］把下列复数表示成三角形式: （1） ; 【解析】由,,知,,因此复数 的三角形式为 . 20 （2） ； 【解析】由,，知点在第二象限，故辐角 为第二象限的角. . 又,所以（辐角的主值的取值范围为） . 因此复数的三角形式为 . . . 21 （3） ; 【解析】由,，知， , 因此复数的三角形式为 . （4） . 【解析】由,,知， ,因此复 数的三角形式为 . 22 复数的代数形式转化为三角形式的步骤：①求出模；②确定辐角的主值；③写出三 角形式. 23 2 将复数的三角形式化为代数形式 例6 ［教材改编P86 T3］将下列复数表示成代数形式: （1） ; 【解析】 ; （2） . 【解析】 名师点评 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出即可. 24 题型2 三角形式下的复数的乘、除运算 例7 ［教材改编P88例5］计算下列各式，并把结果化为代数形式： （1） ； 【解析】 . 25 （2） . 【解析】 . 26 例8 (2025·江西省宜春市期末)若复数 为纯虚数，则正 整数 的最小值为( ) A A.4 B.6 C.8 D.10 27 【解析】因为 ， 所以 . （三角形式下的乘方运算） 因为复数为纯虚数，所以且 ， 所以 ，，得，，所以正整数 的最小值为4. 28 三角形式下复数的运算法则 复数三角形式下的乘法法则:模数相乘,辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则:模数乘方,辐角 倍； 复数三角形式下的除法法则:模数相除,辐角相减. 29 题型3 求 的模和辐角的主值 例9 设复数，求 的模和辐角的主值. 30 【解析】 （注意辐角的主值的范围，化简要彻底）， 复数的模为32，辐角的主值为 （复数乘积的辐角的主值不一定等于各复数辐角 的主值的和）. . . . . . . 31 例10 求复数 的模与辐角主值. 【解析】 （【关键点】利用倍角公式的目的是出现“ ”，便于与“1”相 消） . , , ， ], . . . 32 , , . 故复数的模是,辐角主值是 . 易错警示 从形式上看， 似乎就是三角形式，不少同学认为 ，.错误之处在于没有考虑角 的范围，因此一定要用“模非负， 角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式. 题型4 复数乘、除运算的几何意义的应用 图7.3-5 例11 如图7.3-5，若与分别表示复数 , ,求,并判断 的形状. 【解析】欲求,可计算 . , 且 . 设, ， 由余弦定理,得 ， ,又 , 为有一锐角为 的直角三角形. 34 例12 ［教材改编P90 T10］直角三角形中, ,,点在 上,且 .利用复数证明 . 图7.3-6 【解析】如图7.3-6,以点为坐标原点,所在直线为轴，过点 与垂直的直线为轴建立复平面直角坐标系.设 ,则 , ,, . 设向量对应的复数为, 为 的辐角主值, 向量对应的复数为,为 的 辐角主值. 则,，所以 . 又由题可知，，,所以 . 35 因为 , 所以,即 . 例13 [教材改编P90 T9]在平面直角坐标系中，已知点,，将线段 绕着 点顺时针旋转至线段，求点 的坐标. 图7.3-7 【解析】如图7.3-7，连接，因为线段绕着点顺时针旋转 至线 段，所以三角形为等腰直角三角形，，所以将 逆 时针旋转，且模变为原来的倍即得 . ，即对应的复数为 . 根据复数三角形式乘法的几何意义， 对应的复数为 ，所以 . 所以 ， 故点的坐标为 . 37 知识测评 04 1.下列各式是复数三角形式的是( ) A A. B. C. D. 【解析】由“模非负，角相同，余弦前，加号连”知A正确，B，C，D错误． 39 2.复数 的三角形式是( ) C A. B. C. D. 【解析】 . 40 3.已知，，，则 的值可以是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意可知， ， ， ，结合选项可知选B． 41 4.(2025·四川省雅安中学月考)复数 的三角形式为( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， ， ，A，C错误； ， ， ， ，B正确，D错误.故选B. 42 5.复数 的辐角主值是( ) A A. B. C. D. 【解析】复数 （先变形为三角形式，再判断辐角主值）,由 知,故复数的辐角主值为 ,故选A. . . 43 6.(2025·黑龙江省哈尔滨市月考)已知复数满足,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】设 ， 则 ， 所以，,，即, ， 所以, ， 结合选项，当时，，故可取 . 44 7.[多选题]复数的三角形式是，则 的三角形式 可以是( ) AC A. B. C. D. 【解析】由题意可得， ， 则．故选 ． 45 8.(2025·江苏省南京市期末)在复平面内，常把复数和向量 进行 一一对应.现把复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 ，所得的向量对 应的复数虚部为_ ____. 【解析】复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转 ，可得 ， 所以所得的向量对应的复数虚部为 . 46 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 47 $