专题6.2 平面向量的线性运算（7类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦平面向量的线性运算，系统梳理向量加法（三角形法则、平行四边形法则）、减法（三角形法则）、数乘运算及运算律，衔接向量共线定理，延伸至几何应用与三角形心的向量表示，构建从定义到应用的完整知识支架。 资料以表格直观呈现法则、图形辅助理解，通过辨析题、化简题、几何应用题分层训练，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过不同难度习题巩固，查漏补缺，提升用数学语言表达几何关系的能力。

专题6.2 平面向量的线性运算 【知识梳理】 1 【考点1：向量的加法运算】 3 【考点2：向量的减法运算】 5 【考点3：相反向量】 6 【考点4：向量数乘的有关计算】 8 【考点5：平面向量的混合运算】 9 【考点6：向量的线性运算的几何应用】 10 【考点7：三角形的心的向量表示】 10 【知识梳理】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 6．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 7．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【考点1：向量的加法运算】 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 2．（2026高一·全国·专题练习）化简 ． 3．（2026高一·全国·专题练习）向量加法的性质 （1） . （2） . （3）若，则与大小相等，方向相反，即，称的相反向量是. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 5．（2026高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【考点2：向量的减法运算】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 4．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 5．（2025高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【考点3：相反向量】 1．（25-26高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 2．（2026高一·全国·专题练习）在下图田字格中，以图中的节点为向量的起点或终点. (1)写出与相等的向量； (2)写出与方向相同或相反的向量； (3)写出的模相等方向相反的向量. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 5．（25-26高一·湖南·课后作业）如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 【考点4：向量数乘的有关计算】 1．（24-25高一下·福建福州·月考）正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【考点5：平面向量的混合运算】 1．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·中职高考）（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【考点6：向量的线性运算的几何应用】 1．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【考点7：三角形的心的向量表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 3．（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.2 平面向量的线性运算 【知识梳理】 1 【考点1：向量的加法运算】 3 【考点2：向量的减法运算】 5 【考点3：相反向量】 7 【考点4：向量数乘的有关计算】 11 【考点5：平面向量的混合运算】 13 【考点6：向量的线性运算的几何应用】 15 【考点7：三角形的心的向量表示】 17 【知识梳理】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. (2)多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 2．向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 3．向量的减法运算 (1)相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. (2)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 4．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 5．平面向量线性运算问题的求解思路： (1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化； (2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示. 6．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量(≠0)与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量,共线求参问题，可用两个不共线向量(如,)表示向量,，设=(≠0)，化 成关于,的方程()=-()，由于,不共线，则解方程组即可. 7．利用共线向量定理解题的策略 (1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用. (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线. (3)若与不共线且，则. (4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1. 【考点1：向量的加法运算】 1．（2025高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 2．（2026高一·全国·专题练习）化简 ． 【答案】 【分析】利用向量的加法法则化简即得. 【详解】. 故答案为：. 3．（2026高一·全国·专题练习）向量加法的性质 （1） . （2） . （3）若，则与大小相等，方向相反，即，称的相反向量是. 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．（24-25高一下·全国·课后作业）化简或计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用向量加法的运算律计算求解； （2）应用向量加法的运算律计算求解； 【详解】（1）． （2）． 5．（2026高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 【考点2：向量的减法运算】 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 4．（24-25高一下·江西南昌·期中）化简： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的运算律，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由向量的线性运算法则， 可得. （2）解：由向量的运算法则，可得. 5．（2025高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 【考点3：相反向量】 1．（25-26高一·湖南·课后作业）在等边中，P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点，在向量，，，，，中，与相等的向量有哪些？的相反向量有哪些？ 【答案】详见解析. 【分析】利用相等向量和相反向量的定义判断. 【详解】如图所示： 因为P，Q，R分别是AB，BC，CA的中点， 所以，且， 所以在向量，，，，，中， 与相等的向量有，， 与的相反向量有，. 2．（2026高一·全国·专题练习）在下图田字格中，以图中的节点为向量的起点或终点. (1)写出与相等的向量； (2)写出与方向相同或相反的向量； (3)写出的模相等方向相反的向量. 【答案】(1)，，，， (2)，，，，，，，， (3)，， 【分析】（1）根据相等向量的概念即可求解； （2）根据平行向量的概念即可求解； （3）根据相反向量的概念即可求解. 【详解】（1）如图（1）标出了与方向相同，大小相等的向量，是与相等的向量，有，，，，； （2）与方向相同或相反的向量，长度可以相等也可以不相等，故有，，，，，，，，，如图（2）所示； （3）的相反向量是指模相等，方向相反的向量，故有，，，如图（3）所示. 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图所示，O是正六边形的中心.    (1)与的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与共线的向量有几个？ 【答案】(1)23； (2)存在，4； (3)9. 【分析】（1）利用正六边形的特征，结合平面向量模的意义即可得出结论. （2）利用正六边形的特征，结合互为相反向量的意义即可得出结论. （3）利用正六边形的特征，结合共线向量的意义即可得出结论. 【详解】（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有23个. （2）存在，由正六边形的性质知，， 所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个. （3）由（2）知，，线段OD，AD与OA在同一条直线上， 所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个. 5．（25-26高一·湖南·课后作业）如图，在方格纸中，取两个格子的格点（A，B，C，D，E，F）为起点和终点作向量，写出满足下列条件的向量： （1）与相等的向量； （2）与的相反向量； （3）与的模相等的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量；（2）方向相反且模长相等的向量为相反向量；（3）利用矩形对角线相等，求解与的模相等的向量. 【详解】（1）方向相同且模长相等的向量为相等向量，故与相等的向量为； （2）方向相反且模长相等的向量为相反向量，故与的相反向量为； （3）与的模相等的向量为. 【考点4：向量数乘的有关计算】 1．（24-25高一下·福建福州·月考）正六边形中，=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由图可知. 故选：A. 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】 ，，. 故选：C. 4．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 5．（多选）（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ） A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 【考点5：平面向量的混合运算】 1．（24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 2．（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 3．（24-25高三·全国·中职高考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 4．（25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 5．（24-25高一下·贵州毕节·期中）已知向量，，未知向量，，向量，，，满足关系式，，求向量，． 【答案】， 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合方程组的思想求解即得. 【详解】由，得，而， 因此，解得，， 所以，. 【考点6：向量的线性运算的几何应用】 1．（25-26高一上·北京延庆·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，    则. 故选：C. 2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B 3．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】依题意， . 故选：B 4．（2025·四川资阳·一模）如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， . 故选：D 5．（25-26高三上·北京顺义·月考）设是所在平面内的一点，满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据条件，得到，从而有且，即可求解. 【详解】因为，得到， 如图，且，则到的距离等于到的距离相等， 又，所以， 故选：D. 【考点7：三角形的心的向量表示】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【分析】取中点为，根据向量的线性运算，以及共线定理，即可判断. 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】由题可得，可得点在的角平分线上，同理点在的角平分线上，可得为的内心. 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 5．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $