专题6.1 平面向量的概念（5类必考点）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦平面向量的概念这一核心知识点，系统梳理向量的定义、表示法（字母与几何表示）、模、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等内容，构建从概念辨析到几何应用的递进式学习支架。 资料特色在于结合物理情境（如加速度、位移）培养数学眼光，通过辨析题与网格图问题发展数学思维，用有向线段等几何表示强化数学语言。课中辅助分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，提升对向量概念的理解与应用能力。

专题6.1 平面向量的概念 【知识梳理】 1 【考点1：向量的概念与表示】 2 【考点2：向量的模】 3 【考点3：零向量与单位向量】 7 【考点4：相等向量】 8 【考点5：平行向量（共线向量）】 10 【知识梳理】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 4．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 6．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【考点1：向量的概念与表示】 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 3．（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 4．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 5．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 6．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 7．（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 8．（25-26高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【考点2：向量的模】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 2．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    3．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 5．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 6．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【考点3：零向量与单位向量】 1．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．单位向量都相等 B．零向量的长度为0 C．零向量的方向是任意的 D．单位向量的模都相等 3．（多选）（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 4．（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 5．（多选）（24-25高一下·广东惠州·月考）下列结论中错误的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 6．（多选）（24-25高一下·安徽淮北·月考）下列说法错误的是（    ） A．平面内的单位向量是唯一存在的 B． C．单位向量的方向相同或相反 D．零向量没有大小，没有方向 7．（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·月考）下列说法错误的是（    ） A． B．单位向量的方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．平面内的单位向量是唯一存在的 8．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量是一个单位向量 D．零向量没有方向 【考点4：相等向量】 1．（2026高一·全国·专题练习）设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 2．（2026高一·全国·专题练习）下列命题正确的是（ ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 4．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是模长相等 B．向量与向量是相等向量 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 6．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 7．（2026高一·全国·专题练习）是的什么条件？ 8．（2026高一·全国·专题练习）在下列命题中，哪些是正确的？ (1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； (2)若和的模都是1，则； (3)两个相等的向量的模相等. 【考点5：平行向量（共线向量）】 1．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 2．（2026高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 5．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期中）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 7．（多选）（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 8．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 平面向量的概念 【知识梳理】 1 【考点1：向量的概念与表示】 2 【考点2：向量的模】 4 【考点3：零向量与单位向量】 11 【考点4：相等向量】 14 【考点5：平行向量（共线向量）】 17 【知识梳理】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定. ②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． ③非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 4．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 注： ①零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别. ②平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. ③共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 5．用共线（平行）向量或相等向量刻画几何关系 (1)利用向量的模相等可以证明线段相等，利用向量相等可以证明线段平行且相等. (2)利用向量共线可以证明直线与直线平行，但需说明向量所在的直线无公共点. (3)利用向量可以判断图形的形状(如平行四边形、等腰三角形等)、证明多点共线等. 6．平行向量有关概念的三个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. 【考点1：向量的概念与表示】 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）下列各量中是向量的是（   ） A．时间 B．路程 C．加速度 D．温度 【答案】C 【分析】由向量的定义判断即可. 【详解】因为时间、路程、温度只有大小没有方向，故是数量，加速度既有大小，又有方向，故是向量. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）下列物理量中，不能称为向量的是（   ） A．质量 B．速度 C．位移 D．力 【答案】A 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】由于向量即有大小又有方向，故速度，位移，力为向量，质量只有大小不是向量. 故选：A 3．（24-25高一下·河南·月考）下列量中是向量的为（    ） A．课桌的高度 B．一段路程的公里数 C．上课时老师敲击黑板的频率 D．小汽车受到路面的弹力 【答案】D 【分析】由向量的概念，可得答案. 【详解】因为向量是既有大小，又有方向的量，而高度、公里数、频率只有大小，没有方向， 弹力既有大小，又有方向，所以弹力是向量. 故选：D． 4．（24-25高一下·贵州六盘水·月考）以下选项中，都是向量的是（   ） A．时间、海拔 B．质量、位移 C．加速度、体积 D．浮力、速度 【答案】D 【分析】根据向量的定义判定. 【详解】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量. 位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，是向量. 故选：D 5．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一下·贵州黔南·月考）对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 7．（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 8．（25-26高一·上海·课堂例题）指出下列各种量中的向量： （1）密度；    （2）体积；    （3）速度；    （4）能量； （5）电阻；    （6）加速度；    （7）功；    （8）力矩． 你能找出更多向量的例子吗？ 【答案】速度、加速度、力矩为向量．生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等 【分析】直接利用向量的定义得答案． 【详解】解：向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量． 密度、体积、能量、电阻、功都只有大小，没有方向，不是向量； 而速度、加速度、力矩既有大小，又有方向，为向量． 生活中的向量还有：浮力、重力、位移、风速等． 【考点2：向量的模】 1．（24-25高一下·山东菏泽·月考）如果一架飞机向西飞行，再向南飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，则（    ）． A． B． C． D．与不能比较大小 【答案】A 【分析】根据题意，作图，结合向量的几何意义，可得答案. 【详解】由题意，作图如下： 则该飞机由先飞到，再飞到，则，，， 则飞机飞行的路程为，， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【分析】在直角三角形中求得向量的长度． 【详解】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 3．（25-26高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达点B，然后沿北偏西一定角度的某方向行走了后到达点C，最后向东走了200m后到达点D，发现点D在点B的正北方． (1)作出，，，； (2)求的模． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用给定条件确定点的位置，再标注向量即可. （2）利用两点间距离公式结合向量模的定义求解模长即可. 【详解】（1）根据题意可知，点在坐标系中的坐标为． 因为点在点的正北方，点在点的正西方， 所以，． 又，，所以， 即两点在坐标系中的坐标分别为，． 作出，，，如图所示． （2）由两点间距离公式得， 则． 5．（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【答案】(1)作图见解析； (2)米. 【分析】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【详解】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 6．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 7．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 8．（24-25高一下·全国·课后作业）在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量． (1)，点A在点O的正西方向； (2)，点B在点O的北偏西方向； (3)根据（1）（2），作出向量并求出的值． 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析， 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）因为，点A在点O的正西方向，故向量如图所示． （2）因为，点B在点O的北偏西方向，故向量如图所示． （3）向量如图所示，． 【考点3：零向量与单位向量】 1．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 2．（多选）（2026高一·全国·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．单位向量都相等 B．零向量的长度为0 C．零向量的方向是任意的 D．单位向量的模都相等 【答案】BCD 【分析】由单位向量、零向量的定义逐一辨析. 【详解】单位向量方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误； 零向量的长度为0，故B正确； 零向量的方向是任意的，故C正确； 单位向量的模都等于1，故D正确. 故选：BCD. 3．（多选）（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 4．（多选）（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 5．（多选）（24-25高一下·广东惠州·月考）下列结论中错误的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量，是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】ACD 【分析】由单位向量和零向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1，方向任意，故A错误； 对于B：由相反向量的定义可知向量与向量的长度相等，故B正确； 对于C：当向量时，不满足，故C错误； 对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误. 故选：ACD. 6．（多选）（24-25高一下·安徽淮北·月考）下列说法错误的是（    ） A．平面内的单位向量是唯一存在的 B． C．单位向量的方向相同或相反 D．零向量没有大小，没有方向 【答案】ACD 【分析】结合单位向量定义，举反例判断AC，根据零向量的定义判断D，根据向量的模和相反向量的定义判别B. 【详解】设为单位向量，存在向量满足条件，，故A错误，C错误， 零向量的大小为，任意方向都可作为零向量的方向，D错误， 与的大小相等，方向相反，即，B正确， 故选：ACD. 7．（多选）（24-25高一下·贵州六盘水·月考）下列说法错误的是（    ） A． B．单位向量的方向相同或相反 C．零向量没有大小，没有方向 D．平面内的单位向量是唯一存在的 【答案】BCD 【分析】根据零向量和单位向量以及相反向量的定义即可判断. 【详解】对于A：由相反向量的定义有，故A正确； 对于B：单位向量是模为1的向量，方向不一定相同，故B错误； 对于C：零向量的大小为0，方向任意，故C错误； 对于D：由单位向量的定义有大小为1，方向任意，所以平面内单位向量是不唯一，故D错误； 故选：BCD. 8．（多选）（24-25高一下·陕西榆林·期中）下列结论中正确的为（    ） A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B．向量与向量的长度相等 C．对任意向量是一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】BC 【分析】根据单位向量、共线向量及零向量的定义判断各项的正误即可. 【详解】A：由单位向量的方向不一定相同，故两个有共同起点的单位向量，其终点也不一定相同，错； B：由向量、向量的方向相反、模长相同，即长度相等，对； C：对于任意非零向量，表示与同向的单位向量，对； D：根据零向量的定义，其方向任意，错. 故选：BC 【考点4：相等向量】 1．（2026高一·全国·专题练习）设点是正方形的中心，则向量的关系是（    ） A．方向相同 B．模相等 C．向量相等 D．起点相同 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断即可. 【详解】如图，因为是正方形的中心，则， 而方向不相同，不共线，起点不相同. 故选：B 2．（2026高一·全国·专题练习）下列命题正确的是（ ） A． B．若，则 C．零向量没有方向 D． 【答案】D 【分析】根据向量相等及零向量的定义判断即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误； 对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误； 对于D：模为0，故D正确. 故选：D． 3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 4．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）已知{与方向相同的向量}，{与长度相等的向量}，{与长度相等，方向相反的向量}，其中为非零向量，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的定义，方向相同，方向相反的向量，结合集合间的关系和集合交集运算逐项判断即可. 【详解】由题意，所以A选项错误， 又，故，C选项正确； 因为，故B选项正确，D选项正确； 故选：BCD. 5．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是模长相等 B．向量与向量是相等向量 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】AD 【分析】根据向量模的概念判断A；根据相等向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据平面向量模的定义判断D. 【详解】对于AB，向量与向量是相反向量，模长相等，不是相等向量，故A正确，B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，故C错误； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，故D正确. 故选：AD. 6．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）下列选项中，正确的是（） A．若，则能构成平行四边形 B．在平行四边形中， C．若向量，满足，则或 D．若非零向量与相等，则，重合 【答案】BD 【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；根据平行四边形的定义与向量的定义即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据相等向量的定义即可判断选项D. 【详解】若，四点可能共线，故选项A错误； 在平行四边形中，方向相同、模相等，则，故选项B正确； 由向量的定义可得向量，满足时，向量，的方向不确定，故选项C错误； 若非零向量与相等，因为起点相同，则终点，重合，故选项D正确. 故选：BD 7．（2026高一·全国·专题练习）是的什么条件？ 【答案】充分不必要条件 【分析】先由向量相等的定义证明充分性，再通过“模相等但方向不同”的反例说明必要性不成立，从而得出结论. 【详解】∵若，则由相等向量的定义可知，这两个向量的模相等且方向相同，所以成立. ∴，反之不成立. 如正方形中，，但方向相反， 故， 故是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 8．（2026高一·全国·专题练习）在下列命题中，哪些是正确的？ (1)若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； (2)若和的模都是1，则； (3)两个相等的向量的模相等. 【答案】(1)错误 (2)错误 (3)正确 【分析】（1）根据相等向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断； （3）根据相等向量的概念即可判断. 【详解】（1）由于向量是自由的，两个向量只要大小相等，方向相同就是相等向量， 故（1）表述错误； （2）若和两个向量模都为1，方向不一定相同，故不一定成立， 故（2）表述错误； （3）两个相等的向量模长相等、方向相同，故（3）正确. 【考点5：平行向量（共线向量）】 1．（24-25高一下·山东聊城·期中）下列说法正确的是（   ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若，则 D．长度不相等而方向相反的两个向量是平行向量 【答案】D 【分析】根据单位向量、共线向量的定义及零向量的性质判断各项的正误即可. 【详解】A：单位向量长度相等，但方向不一定相同，错； B：若为零向量时，不一定共线，错； C：若，只能说明的模长相等，但方向不一定相同，错； D：长度不相等而方向相反的两个向量是共线向量，即平行向量，对. 故选：D 2．（2026高三·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 4．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南益阳·开学考试）关于向量下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断. 【详解】对于选项A：若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误； 对于选项B：当时，，，此时未必共线，故B错误； 对于选项C：向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误； 对于选项D：若，则向量，互为相反向量，则，则D正确； 故选：D. 6．（多选）（24-25高一下·四川绵阳·期中）下列叙述中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则与的方向相同 C．若，，则 D．对于任意非零向量，是一个单位向量 【答案】ABC 【分析】A.由平面向量不能比较大小判断；B.由共线向量的定义判断；C.由判断；D.由单位向量的定义判断. 【详解】A.平面向量不能比较大小，故错误； B.若，则与的方向相同或相反，故错误； C.当时，不成立，故错误； D.对于任意非零向量，是一个单位向量，正确， 故选：ABC 7．（多选）（25-26高一上·全国·期末）下列说法不正确的有（    ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【分析】利用向量的平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量相关定义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，则相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 8．（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点. (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意，可得四边形为平行四边形，即可写出与向量共线的向量； （2）根据题意可得出四边形是平行四边形，从而得出，，进而得出结论. 【详解】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以与向量共线的向量为：，，. （2）证明：在平行四边形中，，. 因为，分别是，的中点， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以，，故. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $