20.1勾股定理及其应用（第1课时勾股定理）同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，系统梳理其定义（直角三角形两直角边平方和等于斜边平方）、验证方法（赵爽弦图、总统证法等面积法）及勾股数（定义、常见数组及规律），构建从概念理解到拓展应用的学习支架，衔接三角形性质与后续几何综合问题。 资料以12类题型（如折叠问题、网格计算、弦图背景题）为载体，通过典例与跟随训练结合，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）及模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后通过过关检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

20.1勾股定理及其应用（第1课时 勾股定理）同步培优讲义 （3知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用勾股定理解三角形】 1 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 3 【题型3 勾股数问题】 6 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 8 【题型5 勾股定理与网格问题】 10 【题型6 勾股定理与折叠问题】 11 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 14 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 17 【题型9 勾股定理的证明方法】 19 【题型10 以弦图为背景的计算题】 22 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 25 【题型12 勾股定理与无理数】 28 · 理解勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 · 掌握勾股定理的证明方法（面积法、弦图法）。 · 理解勾股数、两点间距离公式、面积关系等拓展知识。 03 知识•梳理 知识点1：勾股定理的定义 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 1. 符号表示：设Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边分别为a（BC）、b（AC），斜边为c（AB），则 。 2. 核心说明： · 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用； · 分清直角边和斜边：斜边是直角所对的边，最长边一定是斜边（c > a，c > b）； · 变形公式：，，（用于求未知边长度）。 知识点2：勾股定理的验证 核心思路：通过“等面积法”，将直角三角形拼接成规则图形（正方形、矩形等），利用图形面积的两种表示方法建立等式，验证定理。 常见验证方法： · 赵爽弦图：由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形，大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积； · 总统证法：由2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积=2个直角三角形面积+等腰直角三角形面积； · 其他方法：拼图法、数格子法等，本质均为“等面积法”，体现“数形结合”思想。 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c².又大正方形的面积 所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则 .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，又有 所以 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 又 所以 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 由图②得大正方形的面积 比较两式易得 欧 几 里 得证法 图中 矩形ADLM,、 正方形AFHC,∴ S矩形ADLM =a²,同 理 可 得 S矩形MLEB = b²,∴ S正方形 即 知识点3：勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，称为勾股数（也叫勾股弦数）。 2. 常见勾股数（必记）： · 基础组：3，4，5（最常用，其整数倍也为勾股数）； · 延伸组：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41； · 规律：若k为正整数，a、b、c是一组勾股数（c最大），则ka、kb、kc也是一组勾股数（如3，4，5→6，8，10→9，12，15）。 易错点警示 · 忽略前提：未判断三角形为直角三角形，直接套用勾股定理； · 斜边判断错误：将直角边当作斜边计算，导致结果出错； · 勾股数判断：误认为非正整数的三条边（如2，3，）是勾股数（勾股数必须是正整数）； · 分类讨论遗漏：已知直角三角形两边，求第三边时，未考虑“已知边为斜边”的情况（如已知两边为4和5，第三边可能为3或）。 【题型1 用勾股定理解三角形】04 题型•汇总 【典例1】．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求直角三角形斜边长，再根据图形特点计算风车外围周长． 【详解】解：“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为：， 则这个风车的外围周长是：． 故选：C． 跟随训练1-1．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将问题转化为直角三角形的问题，利用勾股定理计算斜边长度，从而得到两棋子之间的距离． 【详解】解：根据题意得，“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为：． 故选：C． 跟随训练1-2．如图，在中，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接并延长交于点．则下列结论：①，②，③是等腰三角形，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】结合等边三角形的性质推出，再根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理判断求解即可． 【详解】解：如图，是直角三角形， ∴， ∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①②正确； ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③正确； 在中，， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 【典例2】．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 跟随训练2-1．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 跟随训练2-2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的考试知识集中在平面直角坐标系和三角形全等首先根据点的坐标及中点性质，得出；再结合和直角条件用定理证 ，推得；最后因在轴上，分正负半轴讨论，得到的坐标． 【详解】解：∵点是的中点，点， ∴， ∵点， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 点在轴负半轴上时，坐标为； 点在轴正半轴上时，坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 【题型3 勾股数问题】 【典例3】．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．，， D．3，，5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数； 根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：∵，，， ∴3，4，7不是勾股数； B选项：∵，，且5、12、13均为正整数， ∴5，12，13是勾股数； C选项：∵、、不是正整数， ∴该组不是勾股数； D选项：∵不是正整数， ∴该组不是勾股数； 故选：B． 跟随训练3-1．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质，关键是勾股定理的应用；根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵图①中所有正方形的面积和为：； 第一次操作后所有正方形的面积和为：； 第二次操作后所有正方形的面积和为：； …… 第次操作后所有正方形的面积和为：； ∴当时，， 故选：C ． 跟随训练3-2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义（三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方），结合勾股定理的逆定理判断各选项即可． 【详解】解：A．、、不是正整数，不符合勾股数定义，故不符题意； B．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意； C．，，即，且7、24、25均为正整数，故C选项是勾股数； D．，，，不满足勾股定理逆定理，故不符题意， 故选：C． 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例4】．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的直角边长的平方即为相应的正方形的面积． 由正方形的面积公式可知，，在中，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：∵在中， 由勾股定理得：， ∵正方形的面积分别为36，64， ∴，， ， ． 故选：A． 跟随训练4-1．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积．由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 跟随训练4-2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴正方形和正方形的面积之和为：， 故选：． 【题型5 勾股定理与网格问题】 【典例5】．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 跟随训练5-1．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．不妨设每个小正方形的边长为，则，，再根据全等三角形的性质解答即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为， ∴， 由网格可知，， ∵， ∴，， 如图，观察四个点可知，点可能是图中的点， 故选：A． 跟随训练5-2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理，计算各条线段的长度，后判定它们的属性解答即可． 本题考查了勾股定理，无理数，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是有理数，不符合题意； ，是无理数，符合题意； 故选：D． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 【典例6】．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：D． 跟随训练6-1．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据折叠得到，，，，然后求出 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵，，然后利用勾股定理求解即可． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：C． 跟随训练6-2．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，一元一次方程，掌握相关知识点是解题的关键． 设的长度为x，根据折叠和，可证为直角三角形，用含有x的式子将表示出来，用勾股定理列方程，即可求解． 【详解】解：设的长度为x， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，可得， 即，解得， 的长度为． 故选：A． 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【典例7】．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 跟随训练7-1．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 跟随训练7-2．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例8】．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，勾股定理．由角度比确定三角形为等腰直角三角形，利用勾股定理求解边长关系． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 跟随训练8-1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 跟随训练8-2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【题型9 勾股定理的证明方法】 【典例9】．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ，展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为， ， 展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ， 化简得，可以验证勾股定理． 故选：C． 跟随训练9-1．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 跟随训练9-2．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 【题型10 以弦图为背景的计算题】 【典例10】．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理以及完全平方公式及其变形．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：如图， ∵大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为，设大正方形边长为， ， ， ∴直角三角形的面积是， 又∵直角三角形的较短直角边长为，较长直角边长为， ， ， ， 故选：A． 跟随训练10-1．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 【答案】B 【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，推出，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设，交于点M ∵，，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴得， ∴ ∴正方形的面积． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，全等三角形的性质和判定，完全平方公式的变形应用，勾股定理等知识点，正确理解题意，利用勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 跟随训练10-2．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图的面积关系与完全平方公式的应用，解题的关键是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的面积，推导出ab的值，再代入完全平方公式计算． 由大正方形面积与小正方形面积可求得；再根据完全平方公式，代入数值即可算出结果． 【详解】解：∵ 大正方形面积为13， ∴ ①，， ∵ 小正方形面积为， ∴ ②， 将②代入①，得， 解得， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 【典例11】．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 跟随训练11-1．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 跟随训练11-2．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 【题型12 勾股定理与无理数】 【典例12】．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与用数轴上的点表示无理数，解题的关键是利用勾股定理求得的长． 利用勾股定理及同圆半径相等即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为，点O在原点上， ∴，又 由勾股定理得：． ∴． 即数轴上点A表示的实数是， 故选：D． 跟随训练12-1．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 跟随训练12-2．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 05 过关•检测 1．设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、等边三角形的性质与判定、勾股定理，利用轴对称的性质将折线的长进行转化是解题的关键． 先分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，，根据轴对称的性质可得，，，，则，再由勾股定理求出的长，由两点之间线段最短可得的长即为折线的长的最小值． 【详解】解：如图，分别作A、D关于、的对称点、，连接、、，，， 则，，，， ∴， ∴当共线时，有最小值， 由轴对称的性质得，， ∴， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故折线的长的最小值为． 故选：B． 2．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理即可求得斜边需要的小木棒的数量． 【详解】解：∵两直角边分别用了3根、4根长度相同的小木棒， ∴由勾股定理，得到斜边需要：（根）， 故选：C． 3．把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠问题、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，由于，所以，两次折叠后，有许多相等的量，利用这些条件结合勾股定理可得出正确答案． 【详解】解：∵等腰直角中，∵， ∴， ∵折叠 ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形 中，， ∴， ∴， ∴ ∴，， 的周长等于； ∵， ∴不平分， ∴①，③错误，②④正确， 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质以及平面直角坐标系中点的坐标特征． 解题的关键在于分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，再结合点在轴上这一条件，确定点的位置． 【详解】解：当时 已知，根据两点间距离公式，可得． 因为点在轴上，设，则． 由，即，解得，此时点的坐标为或，有个点． 当时 设，，根据两点间距离公式，． 因为，且，所以． 两边同时平方可得，即． 开方得． 当时，，此时与原点重合，不符合三角形的定义，舍去． 当时，，此时点的坐标为，有个点． 当时 设，，，． 由，即． 两边同时平方可得． 展开得． 移项化简得，解得，此时点的坐标为，有个点． 综上，符合条件的点有，，，，共个． 故选D． 5．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 6．如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握手拉手的全等模型是解题的关键． 如图连接，证，得到，证，得到三点共线且，再证，由勾股定理，得，结合全等，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据题意，可知四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 又， ， 是直角三角形， ， 三点共线， ； ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理，可知正方形的面积等于正方形面积之和， ， 又，， ， ； 综上所述，可知图形①、②的面积与的面积相等． 故选：A． 7．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8．如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质，平行线的性质，推出，根据三线合一，得到，求出，根据含30度角的直角三角形和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，； 故选C． 9．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查勾股定理的应用， 需分两种情况讨论：当已知两边均为直角边时，或当其中一边为斜边时（由于斜边最长，6不能为斜边，故只考虑8为斜边的情况）. 【详解】解：在直角三角形中，若两条边6和8均为直角边，则斜边长由勾股定理得； 若8为斜边，则另一条直角边长由勾股定理得． 综上所述，第三边长为10或． 故答案为：10或． 10．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离，解题的关键是掌握勾股定理公式的应用． 利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， ． 故答案为：． 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ∴， ∴正方形的面积为3，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积是正方形的面积和，即正方形的面积为， ∴同理可得，正方形的面积为， 故答案为：8． 12．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形的面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． ∴字母A所代表的正方形的边长为 故答案为：． 13．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 【答案】3 【详解】本题考查的是翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 设，根据勾股定理求出的长，根据翻折变换的性质用x表示出，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 解：设， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， 则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． 故答案为：3． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 17．我们从生活实际发现，当一个直角三角形两长确定时，斜边长也就确定了，古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则，这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．    (1)如图，4个完全一样的直角三角形（其两直角边长为，斜边长为）与1个小正方形，不重叠无峰隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”． (2)若直角三角形中两直角边的和，斜边长为3，求直角三角形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积，即可得到答案； （2）根据（1）的结论以及完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：依图示可得 ∴ （2）解：， ， 得 【点睛】本题主要了完全平方公式，利用大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积是解题的关键． 18．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 19．我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着用逆向思考的方式进行如下项目研究． 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明； 【理解内化】（2）请直接应用“情境建模”中小明探索出的结论解决问题： 如图2，在四边形中，平分，，，， ，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，是江苏省锡中锡西分校位于岔路口的绿化施工区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建地下排水和地上宣传广告等设施，则需要 的围挡才能将围成一圈（即求的周长）．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）证出，则可得出结论； （2）延长，交的延长线于点M，根据证明，得到，，即，根据求出，根据求出，即可求出的长； （3）延长交于点H，延长交于点G，同（2）可得，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：延长，交的延长线于点M， ∵平分，， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∵，， ∴， 即， 解得（负值舍去）， 则； （3）解：延长交于点H，延长交于点G， 同（2）可得，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长 ． 即围挡的长度为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1勾股定理及其应用（第1课时 勾股定理）同步培优讲义 （3知识点+12题型+过关检测） 【题型1 用勾股定理解三角形】 1 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 4 【题型3 勾股数问题】 5 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 6 【题型5 勾股定理与网格问题】 6 【题型6 勾股定理与折叠问题】 7 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 8 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 9 【题型9 勾股定理的证明方法】 9 【题型10 以弦图为背景的计算题】 11 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 12 【题型12 勾股定理与无理数】 13 · 理解勾股定理的内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 · 掌握勾股定理的证明方法（面积法、弦图法）。 · 理解勾股数、两点间距离公式、面积关系等拓展知识。 03 知识•梳理 知识点1：勾股定理的定义 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 1. 符号表示：设Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边分别为a（BC）、b（AC），斜边为c（AB），则 。 2. 核心说明： · 勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形不适用； · 分清直角边和斜边：斜边是直角所对的边，最长边一定是斜边（c > a，c > b）； · 变形公式：，，（用于求未知边长度）。 知识点2：勾股定理的验证 核心思路：通过“等面积法”，将直角三角形拼接成规则图形（正方形、矩形等），利用图形面积的两种表示方法建立等式，验证定理。 常见验证方法： · 赵爽弦图：由4个全等的直角三角形和1个小正方形拼成大正方形，大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积； · 总统证法：由2个全等的直角三角形和1个等腰直角三角形拼成直角梯形，梯形面积=2个直角三角形面积+等腰直角三角形面积； · 其他方法：拼图法、数格子法等，本质均为“等面积法”，体现“数形结合”思想。 方法 图形 证明 赵爽“勾股圆方图”(“赵爽弦图”) 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c².又大正方形的面积 所以 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则 .根据“出入相补，以盈补虚”的原理，又有 所以 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则 又 所以 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积 由图②得大正方形的面积 比较两式易得 欧 几 里 得证法 图中 矩形ADLM,、 正方形AFHC,∴ S矩形ADLM =a²,同 理 可 得 S矩形MLEB = b²,∴ S正方形 即 知识点3：勾股数 1. 定义：满足 的三个正整数，称为勾股数（也叫勾股弦数）。 2. 常见勾股数（必记）： · 基础组：3，4，5（最常用，其整数倍也为勾股数）； · 延伸组：5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41； · 规律：若k为正整数，a、b、c是一组勾股数（c最大），则ka、kb、kc也是一组勾股数（如3，4，5→6，8，10→9，12，15）。 易错点警示 · 忽略前提：未判断三角形为直角三角形，直接套用勾股定理； · 斜边判断错误：将直角边当作斜边计算，导致结果出错； · 勾股数判断：误认为非正整数的三条边（如2，3，）是勾股数（勾股数必须是正整数）； · 分类讨论遗漏：已知直角三角形两边，求第三边时，未考虑“已知边为斜边”的情况（如已知两边为4和5，第三边可能为3或）。 【题型1 用勾股定理解三角形】04 题型•汇总 【典例1】．图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”则这个风车的外围周长是（    ） A．44 B．51 C．76 D． 跟随训练1-1．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 跟随训练1-2．如图，在中，以为边作等边三角形，以为边作等边三角形，连接并延长交于点．则下列结论：①，②，③是等腰三角形，④，其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【题型2 已知两点坐标求两点距离】 【典例2】．如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 跟随训练2-1．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，若点在轴上，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型3 勾股数问题】 【典例3】．下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．3，4，7 B．5，12，13 C．，， D．3，，5 跟随训练3-1．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为，则次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．8，15，16 C．7，24，25 D．4，5，6 【题型4 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【典例4】．如图，在中，，正方形的面积分别为36，64，则的长为（　　） A．10 B．14 C．28 D．2 跟随训练4-1．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．16 C．12 D．6 跟随训练4-2．如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【题型5 勾股定理与网格问题】 【典例5】．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练5-2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（   ） A． B． C． D． 【题型6 勾股定理与折叠问题】 【典例6】．如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 跟随训练6-1．如图，在三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，再折叠纸片，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 跟随训练6-2．如图，在纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使得点落在上的点处，再折叠纸片，使得点与点重合，若折痕交于点，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【题型7 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【典例7】．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 跟随训练7-2．如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【题型8 利用勾股定理证明线段平方关系】 【典例8】．在中，所对的边分别是，且，则下列等式正确的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练8-1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 跟随训练8-2．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【题型9 勾股定理的证明方法】 【典例9】．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-2．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【题型10 以弦图为背景的计算题】 【典例10】．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，大正方形的面积是14，小正方形的面积是4，直角三角形的两直角边分别为，，那么的值是（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 跟随训练10-1．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（    ） A．28 B．29 C．30 D．24 跟随训练10-2．如图是“赵爽弦图”，由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的图形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．36 B．25 C．19 D．4 【题型11用勾股定理构造图形解决问题】 【典例11】．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 跟随训练11-1．如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 跟随训练11-2．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【题型12 勾股定理与无理数】 【典例12】．如图，的直角边的长为1，将斜边绕点O旋转，如果点B的对应点A落在数轴上，那么点A所表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 跟随训练12-1．如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练12-2．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 05 过关•检测 1．设，为上一点，，为上一点，，为上任一点，是上任一点，那么折线的长最小值是（    ） A．12 B． C．8 D． 2．劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．把等腰直角按如图所示的方式折叠，已知，则下列说法：①平分；②是等腰三角形；③；④的周长等于的长．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4．在平面直角坐标系中，为原点，已知点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 6．如图，以直角三角形的每一条边为边向上作三个正方形，其中阴影部分的各个几何图形面积与相等的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在长方形中，为对角线，为的中点，将沿所在直线折叠至该长方形所在平面内，得与交于点，连接，若，则边的长度为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知一个直角三角形的两条边长分别为6和8，则它的第三条边长为 ． 10．在平面直角坐标系中，点，点．则的长为 ． 11．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2，1，3，2，则最大的正方形的面积为 ． 12．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是 ． 13．如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则 ． 14．如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 15．如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 16．如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 17．我们从生活实际发现，当一个直角三角形两长确定时，斜边长也就确定了，古代数学就已经发现，在直角三角形中，若两直角边长为，斜边长为，则，这就是著名的“勾股定理”（西方把它称为“毕达哥拉斯定理”）．    (1)如图，4个完全一样的直角三角形（其两直角边长为，斜边长为）与1个小正方形，不重叠无峰隙拼接成的正方形，请用这个图验证“勾股定理”． (2)若直角三角形中两直角边的和，斜边长为3，求直角三角形的面积． 18．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 19．我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，简称“三线合一”，小明尝试着用逆向思考的方式进行如下项目研究． 【情境建模】（1）如图1，点D在的边上，平分，且，则．请你帮助小明完成证明； 【理解内化】（2）请直接应用“情境建模”中小明探索出的结论解决问题： 如图2，在四边形中，平分，，，， ，求的长． 【拓展应用】（3）如图3，是江苏省锡中锡西分校位于岔路口的绿化施工区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建地下排水和地上宣传广告等设施，则需要 的围挡才能将围成一圈（即求的周长）．（步道宽度忽略不计） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $