第七讲 解析几何 椭圆、双曲线小题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第7讲 解析几何-椭圆双曲线小题 知识核心 一、椭圆的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 （a>b>0） （a>b>0） 性 质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） |PF1|+|PF2|=2a a2＝b2＋c2（a最大） 短轴长：2b，长轴长：2a，焦距：|F1F2|＝2c；离心率e＝= （0<e<1） 1、椭圆的焦点三角形：椭圆（a>b>0）上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ。椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. （1）|PF1|·|PF2|≤＝a2. （2）【焦半径1】|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a-ex0．（当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0）（记忆：左加右减） （3）|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． （4）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ． （5）＝b2tan ＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值， 最大值为bc （） （6）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. （7）焦点三角形的周长为2（a＋c） （8）已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． （9）【焦半径2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. （证明）椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为 2、椭圆方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1（双曲线也可以） （1）与椭圆＝1（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为＝1 （2）与椭圆＝1（a>b>0）有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ 3、椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4、焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 二、双曲线的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） 渐近线 y=±x y=±x c2＝a2＋b2（c最大） 实轴长：2a； 虚轴长：2b； 离心率e＝= （e>1） 1、双曲线方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： （2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为 （3）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，离心率e=，因此等轴双曲线可设为 2、双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 3、双曲线，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 4、双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 5、切线常用结论： （1）直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （2）直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行（或重合）. 6、【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦. （焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 解析几何：3年真题小题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即.故选：D 2．【多选】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确；对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确，故选：ACD. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为. 故选：A 4．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，， 所以，，解得：， 即，因此．故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：．故选B 5．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：设而不求 设，则则由得：， 由，得，所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故，由椭圆第三定义得：，故 所以椭圆的离心率，故选A. 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解；解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即；故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为 8．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得，由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为. 故选：A 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则，故， 所以在中，，整理得，故. 11．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线，则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即，整理得，∴，即离心率为2.故选：A 12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，则，解得，所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长.故选：D 解析几何：2年模拟小题 1. （2026四川泸州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得，可得，，所以. 2. （2026四川泸州二模-多选）过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 【详解】对于选项B：由题意可知：，，， 可得，则直线的斜率， 可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故B正确； 对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为， 可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有1个交点，故A错误； 对于选项C：设双曲线的另一个焦点为， 若，可知点为的中点， 且为的中点，则，，可得， 由勾股定理可得：，即， 可得，所以双曲线的离心率为，故C正确； 对于选项D：若，则，， 所以，故D正确.故选：BCD. 3. （2026河北沧州一模）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________. 【详解】设，，联立整理得: ; 所以，得到，所以； 过F作直线PA的垂线与直线交于Q， 因为B,Q,P三点共线，所以Q是直线与BP的交点， Q是与的交点 所以得 ，所以 设则 所以当 时，即m=2即时， 取得最大值. 4. （2026山东潍坊一模）已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【详解】不妨设点在第一象限，由题意得，， 设，则， 故直线的方程为，令，则，故； 直线的方程为，令，则，故， 因为，则，得，则的离心率为.选A 5. （2026山东威海一模）已知椭圆左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为， 将代入，得到， 所以，因为，所以， 所以，即，化简得到， 因为，解得.故选：A. 6. （2026山东枣庄一模）已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为______． 【详解】由抛物线方程可得，解得，故抛物线焦点坐标为， 因双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，故， 又离心率为，解得，则该双曲线的实轴长为. 7. （2026山东济南一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点. 因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为. 又为等腰三角形，，，. 由等腰三角形性质，若，则，则，离心率. 若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立.若，可得，则， 化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立. 因此，椭圆的离心率为.故选：D 8. （2026广东湛江一模-多选）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 【详解】渐近线互相垂直， ，解得，即，两条直线的斜率分别为1和， 双曲线C的离心率为，选项A正确； 点P是双曲线C右支上任意一点，， 若为等腰直角三角形，假设直角顶点为，则，与矛盾； 直角顶点为，故且有，， ，解得，故或， ，，， 无法构成等腰直角三角形，故B错误； 联立直线与双曲线，整理得， 当 时，，，直线与双曲线有2个交点，故C正确； 根据双曲线的定义可知，， 的最小值为， ，的最大值为，故D正确．故选：ACD． 9. （2026江西上饶一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 【详解】设直线的斜率为，，则有，， 两式相减得，即， 又为的中点，即，且，所以，且直线与双曲线有两个交点，对于A：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得，，满足直线与双曲线有两个交点，故A正确； 对于B：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，此时无解，不满足直线与双曲线有两个交点，故B错误； 对于C：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，不满足直线与双曲线有两个交点，故C错误； 对于D：此时数对为，则，直线，双曲线， 联立，得， ，满足直线与双曲线有两个交点，故D正确；故选：AD. 10. （2026江西萍乡一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【详解】设，，由，，易得， 所以，， 所以，代入， 得：，即①，同理得：②，由①②得，直线的方程为：， 令，直线纵截距为：，又，可得， 因为在上单调递增，可得.故选：A. 11. （2026江西二调）设分别为椭圆的上，下焦点.点为上一点（点位于第一象限），且，直线与轴交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 【详解】设该内切圆的圆心为点，且与三角形的三边相切于点. 则， 又由切线定理得， 所以，则，， ，即， 联立，得，即，. 12. （2026江苏徐州一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【详解】设，因为四边形为正方形，故， 故，而，故，故，或，因不重合且不共线，故或，故关于轴对称或关于轴对称， 若关于轴对称，不妨设为上顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，而，故不成立，舍； 若关于轴对称，不妨设为右顶点，则， 因为四边形为正方形，故，则或， 故，故，故即，故选：D. 13. （2026江苏徐州一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【详解】若双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为， 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 若，则双曲线的标准方程为，故， 故，故； 设双曲线的方程为，此时，故离心率为， 此时渐近线方程为， 故“离心率为”推不出“渐近线方程为”； “渐近线方程为”推不出“离心率为”， 故“离心率为”是“渐近线方程为”的既不充分又不必要条件，故选：D. 14. （2026江苏南通一模-多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 【详解】设，直线，由，得， 则，由直线的斜率是，得， 由双曲线定义得，由的周长是16， 得，即，则，而， 因此，解得，双曲线， 对于A，双曲线的渐近线方程为，A错误；对于B，双曲线的实轴长是2，B正确； 对于C，，的面积是，C正确； 对于D，，，因此的外接圆半径，D正确.故选：BCD 15. （2026湖南长沙模拟）已知椭圆的长轴长、短轴长与焦距依次成等比数列，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意，成等比数列，所以，又在椭圆中， 所以，即，则，解得，又， 所以，故选：C 16. （2026湖南株洲一模-多选）下列关于双曲线的说法，正确的是（    ） A. 双曲线的焦距为2 B. 双曲线的两条渐近线相互垂直 C. 双曲线的离心率为 D. 存在一条直线，与双曲线有三个交点 【详解】将双曲线化为标准形式，由此可得 对于A，焦距为，故A错误； 对于B，渐近线方程为，斜率之积为，相互垂直，故B正确； 对于C，离心率，故C正确； 对于D，直线与双曲线联立得到的是二次方程，最多有 2 个解，所以最多有2个交点，故D错误；选：BC. 17. （2026湖南株洲一模）已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. 【详解】已知椭圆离心率 ，短轴顶点为 ，焦点为 ， 在椭圆中， ， ，代入 ，得， ，由于 是三角形内角，取值范围为 ， 且在单调递减，因此故选 ：C 18. （2026湖南湘潭一模-多选）已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 【详解】的焦距为，A正确．当轴时，． （方法一），则，因为的两条渐近线互相垂直，所以，B错误． （方法二）设，，则，， 则， 若，则，解得， 此时，，三点重合，这与题意不符合，所以与不可能垂直，B错误． 当时，，在以为圆心，3为半径圆上， 该圆的方程为，由得， 整理得，解得，， 所以，的横坐标之和可能为，，， 故，的横坐标之和的取值集合为，C正确． 如图，设在第一象限，当直线的倾斜角为时，设直线与轴交于点， 若，则，则直线与的一条渐近线平行，从而点不存在，D错误．故选：AC. 19. （2026湖南邵阳一模-多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，的面积为3 【详解】对于选项A,由已知条件可以知道,离心率是,所以. .所以双曲线的标准方程为.故A正确. 对于选项B,当垂直于轴时,将,代入双曲线方程可得. 此时.当不垂直于轴时,,所以.故选项B错误. 对于选项C,双曲线的方程为其渐近线方程为. 已知,则渐近线方程为.即.故选项C错误. 对于选项D,因为,所以. 设,根据双曲线的定义即.又因为,可以解得.所以的面积.故选项D正确.故选：BC. 20.（2026湖南常德一模） 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________. 【详解】由题知，，，，则，， 又，设，则，解得，所以. 21. （2026安徽合肥一模）已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（） A. B. C. D. 【详解】双曲线的渐近线方程为.将代入渐近线方程： 对于，解得，即点.对于，解得，即点. 所以，解得.双曲线的离心率，其中. 将代入得：因此，离心率.故选：A 22. （2026安徽马鞍山一模-多选）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 【详解】依题意，，即，若双曲线焦点在轴上，则由，解得， 所以，所以焦距为， 若焦点在轴上，则，解得，所以， 所以焦距为，故A错误；由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误；若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线， 则焦点到渐近线的距离， 同理双曲线焦点在轴上，可得，故C正确； 因为与双曲线的一条渐近线平行，故与直线仅一个公共点，所以D正确，故选：CD 23. （2026安徽黄山一模）已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】双曲线的右焦点为，因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线的斜率， 即，所以离心率.故选：B 24. （2026安徽淮南一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设. 由得，所以，，即.代入椭圆方程得，整理得，即. 又，所以.故选：C. 25. （2026安徽滁州一模）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【详解】解：∵，∴. 又，，∴. 记，在中，由正弦定理得， 在中，，得，∴，∴. 又，故，得，∴.∴， 可得，∴. 故选：C 26.（2026湖北孝感一模-多选）曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 【详解】A：将点代入方程左边： 由于在曲线上，故原式等于1，所以也在曲线上，该曲线C关于原点对称，所以A正确. B：曲线方程可改写为：，当时，即， 此时方程为：，即标准双曲线形式：，其中，， 双曲线离心率公式：，所以B正确. C：因为，所以，方程为：， 是椭圆标准形式，可得：，，因为，所以，故，焦点在y轴上，所以C错误. D：将直线代入曲线方程：，展开：， 整理成关于的二次方程：， 根据判别式：，化简得：，因为，所以恒成立,方程恒有两个不同实根，直线与曲线恒有两个交点.所以D正确故选：ABD 27. （2026湖北荆州一模）已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 【详解】由抛物线方程可得， 因为点是与在第一象限的一个交点，且，所以轴， 设，代入解得， 由题意可得椭圆的左焦点为，右焦点为， 则， 所以，，， 所以椭圆的方程是， 28. （2025湖北武汉四调）双曲线的离心率为2，则______． 【详解】双曲线的标准形式为， ， ，，解得. 29. （2025湖北武汉五调）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则_____________． 【详解】由已知得，所以，， 因为，所以，， 因为，所以， 设，则，由，得， 又， 所以， 可得， 所以. 30. （2025湖北武汉二调）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点，则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率.故答案为：. 31．（2025·安徽·一模）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题， 所以，即，所以，即. 故选：A 32．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 【详解】对于双曲线E：，可知，，， 则右焦点，渐近线方程为.对于选项A：双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：直线l：，过定点，斜率为， 若直线l与双曲线E的左右两支均有交点，则直线l的斜率应满足，可得，故B正确；对于选项C：联立，解得， 联立，解得，可取，， 由点M，N在y轴右侧，可得，解得或，即， 则，同理可得， 则， 因为，所以，故C错误； 对于选项D：联立，可得，设，， 则，可得， 设弦AB的中点为，则，， 可知弦AB的垂直平分线的斜率为， 则弦AB的垂直平分线的方程为， 令，可得，即， 则， ，所以，故D正确.故选：ABD. 33．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若为双曲线方程，则， 解得或，故是“为双曲线方程”的充分不必要条件.故选：A 34．（2025·安徽合肥·一模）（多选）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线有4个顶点 C．曲线与直线有4个交点 D．曲线上动点到原点距离的最小值为 【详解】对于A，将交换方程依然成立，所以曲线关于对称，A正确； 对于B，易得曲线有四条对称轴轴，轴，直线，直线，共有8个顶点，B错误； 对于C，由得， 即，可得， 对于方程，， 则方程有两不等实根，且方程的根不为0和3， 所以方程有4个不等实根，从而曲线C与直线有4个交点，C正确； 对于D，由得， ，当且仅当，即时取等号， 则的最小值为，曲线C上动点P到原点距离的最小值，D错误；故选：AC 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 解析几何-椭圆双曲线小题 知识核心 一、椭圆的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 （a>b>0） （a>b>0） 性 质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） |PF1|+|PF2|=2a a2＝b2＋c2（a最大） 短轴长：2b，长轴长：2a，焦距：|F1F2|＝2c；离心率e＝= （0<e<1） 1、椭圆的焦点三角形：椭圆（a>b>0）上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ。椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. （1）|PF1|·|PF2|≤＝a2. （2）【焦半径1】|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a-ex0．（当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0）（记忆：左加右减） （3）|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． （4）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ． （5）＝b2tan ＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值， 最大值为bc （） （6）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. （7）焦点三角形的周长为2（a＋c） （8）已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． （9）【焦半径2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. （证明）椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为 2、椭圆方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1（双曲线也可以） （1）与椭圆＝1（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为＝1 （2）与椭圆＝1（a>b>0）有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ 3、椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4、焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 二、双曲线的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） 渐近线 y=±x y=±x c2＝a2＋b2（c最大） 实轴长：2a； 虚轴长：2b； 离心率e＝= （e>1） 1、双曲线方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： （2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为 （3）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，离心率e=，因此等轴双曲线可设为 2、双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 3、双曲线，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 4、双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 5、切线常用结论： （1）直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （2）直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行（或重合）. 6、【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦. （焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 解析几何：3年真题小题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 2．【多选】（2025·全国二卷·高考真题）双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（   ） A． B． C．C的离心率为 D．当时，四边形的面积为 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 8．（2024·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 11．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 12．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 解析几何：2年模拟小题 1. （2026四川泸州二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 2. （2026四川泸州二模-多选）过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 3. （2026河北沧州一模）设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为____________. 4. （2026山东潍坊一模）已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为为上一点，且轴，点在线段上，直线分别交轴于两点，为坐标原点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. （2026山东威海一模）已知椭圆左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. （2026山东枣庄一模）已知双曲线（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为2，则该双曲线的实轴长为______． 7. （2026山东济南一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（） A. B. C. D. 8. （2026广东湛江一模-多选）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，两条渐近线互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 存在点P，使得为等腰直角三角形 C. 当时，直线与双曲线C一定有两个交点 D. 的最大值为 9. （2026江西上饶一模）对任意有序正实数对，若存在过点的直线与双曲线交于两点，且为线段的中点，则称该数对为有效数对，否则称为无效数对，则下列数对中是有效数对的有（ ） A. B. C. D. 10. （2026江西萍乡一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. （2026江西二调）设分别为椭圆的上，下焦点.点为上一点（点位于第一象限），且，直线与轴交于点.若的内切圆半径为，则的离心率为__________. 12. （2026江苏徐州一模）已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 13. （2026江苏徐州一模）在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为”是“渐近线方程为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. （2026江苏南通一模-多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交于两点．若直线的斜率是的周长是16，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的实轴长是2 C. 的面积是12 D. 的外接圆半径是 15. （2026湖南长沙模拟）已知椭圆的长轴长、短轴长与焦距依次成等比数列，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 16. （2026湖南株洲一模-多选）下列关于双曲线的说法，正确的是（    ） A. 双曲线的焦距为2 B. 双曲线的两条渐近线相互垂直 C. 双曲线的离心率为 D. 存在一条直线，与双曲线有三个交点 17. （2026湖南株洲一模）已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则（    ） A. B. C. D. 18. （2026湖南湘潭一模-多选）已知，是双曲线上两个不同的点，是的左顶点，则（ ） A. 的焦距为 B. 当轴时，与可能垂直 C. 当时，，的横坐标之和的取值集合为 D. 当，的纵坐标异号时，对任意的点，都存在点，使得 19. （2026湖南邵阳一模-多选）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线与的右支相交于两点，则下列结论错误的有（ ） A. 的方程为 B. C. 的渐近线方程为 D. 当时，的面积为3 20.（2026湖南常德一模） 已知双曲线：左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，且，则双曲线的离心率为________. 21. （2026安徽合肥一模）已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（） A. B. C. D. 22. （2026安徽马鞍山一模-多选）已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 23. （2026安徽黄山一模）已知双曲线的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则的离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 24. （2026安徽淮南一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 25. （2026安徽滁州一模）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 26.（2026湖北孝感一模-多选）曲线，，下列说法正确的是（ ） A. 若点在曲线C上，则点也一定在曲线C上 B. 若曲线C表示双曲线，则其离心率 C. 若，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆 D. 不论为何值，直线与曲线C恒有两个交点 27. （2026湖北荆州一模）已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______. 28. （2025湖北武汉四调）双曲线的离心率为2，则______． 29. （2025湖北武汉五调）已知分别为双曲线的左、右焦点．过点作直线与的左、右两支分别相交于两点，直线与相交于点．若，则_____________． 30. （2025湖北武汉二调）直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 31．（2025·安徽·一模）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·安徽滁州·一模）（多选）已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线，则（ ） A．E的离心率 B．若直线l与E的左右两支均有交点，则m的取值范围为 C．若直线l与E的渐近线在y轴右侧交于M，N两点，则面积的最小值为 D．若直线l与E右支交于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，则 33．（2025·安徽黄山·一模）“”是“为双曲线方程”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（2025·安徽合肥·一模）（多选）我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线有4个顶点 C．曲线与直线有4个交点 D．曲线上动点到原点距离的最小值为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $