第六讲 解析几何 直线与圆、抛物线小题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第6讲 解析几何-直线与圆、抛物线小题 知识核心 一、直线 1、距离公式 （1）点点距：平面内两点，间的距离公式为： （2）点线距：点到直线的距离 （3）线线距：两条平行直线，则与之间的距离. 2、直线斜率 3、直线系方程 （1）过定点P（x0，y0）的直线方程是：y－y0＝k（x－x0），点斜式方程 （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0（λ≠C）； （3）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R，但不包括l2）． 4、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称：通常利用中点坐标公式，点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）. （2）直线关于点的对称直线通常用取特殊点来求，设l的方程为Ax+By+C=0和点P（x0，y0）， 则l关于点P的对称直线方程为A（2x0-x）+B（2y0-y）+C=0. （3） 点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”，设P（x0，y0），l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）， P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4） 求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 二、圆 1、圆的方程 圆的标准方程，圆心为，半径为 圆的参数方程：. 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法（两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|） 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、直线与圆的位置关系 直线与圆相交：记直线被圆截得的弦长为的常用方法 几何法（优先推荐）：①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式： 代数法：弦长公式：； ． 4、圆的切线方程 1、点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 5、两圆的公共弦求法（公共弦所在的直线方程：两圆作差） ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 三、抛物线的标准方程与性质 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹；定直线叫做抛物线的准线 2、通径：长度为2p，通径是所有焦点弦中长度最短的弦 3、常用结论：若为抛物线的焦点弦，，，是的中点，是抛物线的准线，设α为AB的倾斜角，，则有以下结论：（证明） （1）； （2）， （3），， ＋为定值. （4）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，为通径 （5）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （6）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 （7）焦点弦长公式2： （8）的面积公式： （9）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 （10）若恒过定点. 4、离心率秒杀公式 1、椭圆：已知椭圆，两焦点分别为， 设焦点三角形，，则椭圆的离心率 2、双曲线：已知双曲线两焦点分别为， 设焦点三角形，则 3、焦半径之比：焦点在横轴：椭圆； 双曲线 解析几何：3年真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为，所以圆心，半径， 当时，的最小，此时.故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.  故选：C 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【详解】法一：令，则，代入原式化简得， 因为存在实数，则，即，化简得，解得，故 的最大值是， 法二：，整理得，令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值，故选：C. 5．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【详解】对，令，则，所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得.所以. 故选：C 6．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确；对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则，又，，所以， 所以，同理，又， 所以，即，显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得，易知，则，又，， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理，又 ， ， 所以， 则，故D正确.故选：ACD. 7．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.选：D. 8．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即，到直线的距离为， 所以三角形的面积为，由上述分析可知，所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.故选：AC.   解析几何：2年模拟 1. （2026河南濮阳一模-多选）已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有条 【详解】对于选项A，由圆的方程，可知圆心坐标为，半径为4，故A正确； 对于选项B，由题意，圆的圆心到直线的距离为，因为，所以直线与圆相交， 所以弦长为，故B正确； 对于选项C，设圆心关于直线的对称点， 由直线，得其斜率为，故， 又对称点的中点在直线上，所以， 化简得，即． 又由得，即，整理为； 联立，解得：． 因此，圆的圆心为，方程为16，故C错误； 对于选项D，点到圆心的距离：，所以点在圆外． 所以，过点且与圆相切的直线有且仅有条，故D正确．故选：ABD 2. （2026福建泉州一模）已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为___________． 【详解】由，得，令， 则抛物线方程可化为，其焦点坐标为，准线方程为， 因此原抛物线的焦点为，准线方程为. 因为点在抛物线上，所以等于点到准线的距离， 设到轴的距离为，则， 过点作轴于点，则的长度就是点到轴的距离，即， 所以当三点共线时，最小，最小值为3. 3. （2026山东潍坊一模-多选）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 当时， 【详解】对于，因为抛物线的准线方程为，已知点在准线上， 所以，解得，即，焦点.故正确； 对于，设过且斜率为的直线方程为， 联立抛物线方程，整理得， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 解得或，故错误； 对于，设，由抛物线定义，， 要判断，即， 两边平方，化简得，即， 因为直线与抛物线有两个交点，所以直线与抛物线不相切，即， 所以成立，即，故正确； 对于，当时，是的中点，设，， 则，由韦达定理， 所以，解得（舍去），或，则， 则，由对称性，不妨令，则， 则由，得，正确.选： 4. （2026山东潍坊一模）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【详解】设，，则，， 由，消去整理得， 则，所以，，则 ，所以，解得.B 5.（2026山东威海一模） 已知抛物线的焦点为，过的直线交于、两点，分别过、向的准线作垂线，垂足为、，若，则____________. 【详解】如下图所示： 易知抛物线的焦点为，准线方程为， 设点、，则点、，由题意可知直线不与轴重合，设直线的方程为，联立可得，， 由韦达定理得，， ，同理可得， 所以 ，所以， ，，. 6. （2026山东威海一模-多选）已知平面内两点，动点满足，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. |PB|的最小值为1 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 满足的点有且仅有两个 【详解】设 ，由，得到， 化简得到，因此，点 P 的轨迹是以为圆心、半径 的圆， 所以点到点的距离为定值，选项A正确； 圆心到点的距离为 , 因为点B在圆内，所以|PB|的最小值为，选项B正确； 圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为，选项C错误；， 因为，所以，即；化简得到， 联立方程，即，代入，得到，解得，得到两个解，故D正确.故选：ABD. 7. （2026山东济南一模）若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 抛物线的准线方程为，圆与抛物线的准线相切，则有，解得，所以抛物线的焦点坐标为.故选：B 8. （2026广东茂名一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为， 则圆心关于直线的对称点坐标， 则可知与的中点在直线上，所以有解之可得，则， 而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为， 则与之间距离为， 圆上点关于直线在上的对称点为， 所以.故选： 9. （2026广东茂名一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 【详解】抛物线的焦点为，为抛物线上一点，设， 根据抛物线的定义可得，又到轴的距离为2，，又，，即， 故抛物线方程为，将代入抛物线得，， 根据两点之间的距离公式得.故选：D. 10. （2026广东湛江一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 【详解】抛物线，即，焦点坐标，准线方程， 设点到直线的距离为，点到直线的距离为， 由抛物线的定义可知点到直线的距离等于点到焦点的距离， 过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，则， 过点作直线的垂线，垂足为， 故点到直线的距离之和为， 当且仅当三点共线时等号成立， 即点到直线的距离之和的最小值为焦点到直线的距离，即. 11. （2026江西萍乡一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【详解】由已知，，变形可得， 所以，曲线：表示单位圆的右半部分， 直线过定点，且斜率为，要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足， 联立，消元整理得， 该方程为关于的一元二次方程，开口向上， 设根为，由韦达定理：， 若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根， 由得：； 若，则且，两根均为负根，不符合条件；当时，直线过曲线右半部分的端点，代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点；故的最大值为.故选：C. 12. （2026江西九江一模）已知抛物线焦点为，准线为为上一点，为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【详解】抛物线的焦点为，准线为的方程，如图： ∵ 是正三角形，∴ ，由抛物线定义知 则B点横坐标，又 ∵ ，则点在的垂直平分线上，由对称性可知： ，则的边长为4.故选：D 13. （2026湖南湘潭一模）已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【详解】因为，且，所以函数定义域为． 设，，则是直线的斜率．点是半圆上的动点．如图， 设点，则．设切线的方程为，即．由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为，则．故选：A. 14. （2026湖南邵阳一模）已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【详解】圆化为标准方程为：，圆心，半径， 如图所示： 则点到直线的距离为：， 而，，得，则劣弧的长为：， 故选：B 15. （2026湖南常德一模）已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 4 【详解】已知抛物线：的焦点为，所以. 所以以为圆心且半径为2的圆的方程为. 联立圆的方程和抛物线方程得，化简得. 所以解得（舍去）. 所以对应的或. 所以，所以.故选：C. 16. （2026湖南岳阳一模-多选）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. D. 当直线斜率都存在时， 【详解】对于A，设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，，则且不重合， 故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点）， 则曲线的方程为，故A正确， 对于B，由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以， 则的最大值为，所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，设，则，即， 由题意设，则，即， 则，故D错误，故选：ABC. 17. （2026湖南岳阳一模）已知圆和直线，若圆上存在三点到直线距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【详解】设圆上三点到直线的距离分别为，圆心到直线的距离为， 若直线与圆相切或相交，此时可以取非常小的正数， 则必存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列； 若直线与圆相离，即， 则圆上任意一点到直线的距离位于， 若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列， 则需，得，则的最小值为.故选：C 18. （2026安徽宿州一模）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 【详解】由焦点，得，所以抛物线的方程为，准线为. 又由，得，所以，设椭圆的左焦点为， 有，故，可得离心率为. 故答案为：. 19. （2026安徽宿州一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【详解】因为圆，圆心，半径， 直线过定点，则定点到圆心的距离， 故定点在圆内，定点与圆心连线垂直时，此时弦长最小，故最小值为.故选：D. 20. （2026安徽黄山一模-多选）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 【详解】A，由圆，可化为，所以圆的圆心为，正确； B，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线最大距离为，正确； C，由切线长公式，可得，所以的最小值为，错； D，如图所示，连接，则，设，则 在直角中，设，则，且， 因为， 令，则，则， 又因为，当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，即的最大值为，正确.故选：ABD 21. （2026安徽淮南一模）已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________． 【详解】抛物线焦点，准线方程，如图，过点作于点， 由抛物线的定义可知， 由圆的性质，当且仅当为线段与圆的交点时等号成立， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时等号成立， 所以， 22. （2026安徽淮北一模）已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________． 【详解】抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为， 由题意知，.抛物线的准线方程为， 因为，所以，即. 设在第一象限，将代入抛物线方程可得，所以. 代入双曲线方程，又，所以. 设，则，整理得， 解得，因为，所以，所以. 23. （2026安徽淮北一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【详解】圆的半径.， 所以，，所以是等腰直角三角形， 此时弦的长度为，. 选项A：，不符合条件. 选项B：，不符合条件. 选项C：，不符合条件. 选项D：，符合条件.故选：D. 24. （2026湖北孝感一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 详解】对于A：若，则，即，无解，所以A错误； 对于B：直线，令则， 所以直线过定点，又因为，即在圆C内，所以直线与圆C相交，所以B错误; 对于C：若两弦长相等，则， 所以，所以或，所以或，所以C错误 对于D：直线，令，则， 所以直线也过定点，因为，所以为定值，所以D正确.故选：D 25. （2026湖北荆州一模）已知平面上的点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【详解】因为点在直线上，点在曲线上， 又因为，，令，解得，可得， 的最小值即为点到直线的距离.故选：D. 26. （2026湖北荆州一模）若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】记直线直线为，则直线恒过定点， 记已知圆为，圆的方程 ，配方得：， 所以圆心为，半径，，即. 当点在已知圆外时，总存在，使得直线与圆没有公共点，不合题意； 当点在已知圆上时，代入圆的方程得，此时圆的半径为，圆心与轴的距离为，所以圆与轴不相切，所以一定存在，使得直线与圆相切，即只有一个公共点，不合题意； 当点在圆内部时，对于，直线与圆都相交，即有2个公共点，符合题意. 点在圆内部时， ，解得：， 综上，的取值范围是.故选：D. 27. （2025湖北武汉二调） 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ， ，则，因此，所以. 故选：A 28．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 【详解】圆O与圆M的半径分别为1，4，圆心坐标分别为， 则，故圆O与圆M的位置关系是内切.故选：A. 29．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由可知直线的斜率为，且经过定点， 由点，可得直线的斜率分别为：， 作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点， 需使，解得.故选：C. 30．（2025·安徽·一模）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 【详解】设，则到直线的距离为：， 所以当时，距离取得最小值为. 31．（2025·安徽滁州·一模）已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为 . 【详解】因为点M满足，设，则， 两边平方整理得，即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆， 的最小值是M到准线的最短距离， 因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小， 圆心到准线的距离是， 圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是，因此，的最小值是 32．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 【详解】设直线，代入抛物线C方程，消元可得， 设，，则，，， 由，得，，，则， 因为，， 所以， 由抛物线定义得，，则， 得，所以，即， 又，则 33．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 【详解】（1）的标准方程为， 由的准线方程为，得， 故的标准方程为； （2）将代入，得，设，则， ， 所以， 所以，即； （3）联立，得， 设， 则，所以，所以， ， 所以的周长为， 因为函数为增函数，且， 所以方程的解为，所以.   学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 解析几何-直线与圆、抛物线小题 知识核心 一、直线 1、距离公式 （1）点点距：平面内两点，间的距离公式为： （2）点线距：点到直线的距离 （3）线线距：两条平行直线，则与之间的距离. 2、直线斜率 3、直线系方程 （1）过定点P（x0，y0）的直线方程是：y－y0＝k（x－x0），点斜式方程 （2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0（λ≠C）； （3）过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是： A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R，但不包括l2）． 4、对称问题的解决方法 （1）点关于点的对称：通常利用中点坐标公式，点P（x，y）关于Q（a，b）的对称点为P′（2a-x，2b-y）. （2）直线关于点的对称直线通常用取特殊点来求，设l的方程为Ax+By+C=0和点P（x0，y0）， 则l关于点P的对称直线方程为A（2x0-x）+B（2y0-y）+C=0. （3） 点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”，设P（x0，y0），l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）， P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上来求得. （4） 求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 二、圆 1、圆的方程 圆的标准方程，圆心为，半径为 圆的参数方程：. 2、圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法（两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|） 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、直线与圆的位置关系 直线与圆相交：记直线被圆截得的弦长为的常用方法 几何法（优先推荐）：①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式： 代数法：弦长公式：； ． 4、圆的切线方程 1、点在圆上， 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 5、两圆的公共弦求法（公共弦所在的直线方程：两圆作差） ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 三、抛物线的标准方程与性质 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹；定直线叫做抛物线的准线 2、通径：长度为2p，通径是所有焦点弦中长度最短的弦 3、常用结论：若为抛物线的焦点弦，，，是的中点，是抛物线的准线，设α为AB的倾斜角，，则有以下结论：（证明） （1）； （2）， （3），， ＋为定值. （4）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，为通径 （5）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （6）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 （7）焦点弦长公式2： （8）的面积公式： （9）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 （10）若恒过定点. 4、离心率秒杀公式 1、椭圆：已知椭圆，两焦点分别为， 设焦点三角形，，则椭圆的离心率 2、双曲线：已知双曲线两焦点分别为， 设焦点三角形，则 3、焦半径之比：焦点在横轴：椭圆； 双曲线 解析几何：3年真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 5．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．【多选】（2025·全国一卷·高考真题）设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．【多选】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 解析几何：2年模拟 1. （2026河南濮阳一模-多选）已知圆和直线，下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心坐标为，半径为 B. 直线与圆相交，且弦长为 C. 若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 D. 过点且与圆相切的直线有且仅有条 2. （2026福建泉州一模）已知点，若为抛物线上的动点，则的最小值为___________． 3. （2026山东潍坊一模-多选）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过且斜率为的直线交于两点，则（ ） A. B. C. D. 当时， 4. （2026山东潍坊一模）已知为坐标原点，直线与圆交于两点，且，则（ ） A. B. C. D. 5.（2026山东威海一模） 已知抛物线的焦点为，过的直线交于、两点，分别过、向的准线作垂线，垂足为、，若，则____________. 6. （2026山东威海一模-多选）已知平面内两点，动点满足，则（ ） A. 点到点的距离为定值 B. |PB|的最小值为1 C. 点到直线的距离的最大值为2 D. 满足的点有且仅有两个 7. （2026山东济南一模）若圆与抛物线的准线相切，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 8. （2026广东茂名一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. （2026广东茂名一模）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，到轴的距离为2，则到原点的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 10. （2026广东湛江一模）已知直线和直线，则抛物线上一动点P到直线的距离之和的最小值为________． 11. （2026江西萍乡一模）直线：与曲线：有交点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 12. （2026江西九江一模）已知抛物线焦点为，准线为为上一点，为上一点.若是正三角形，则的边长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 13. （2026湖南湘潭一模）已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 14. （2026湖南邵阳一模）已知直线与圆相交于两点，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 15. （2026湖南常德一模）已知抛物线：的焦点为，以为圆心且半径为2的圆与抛物线相交于、两点，则（ ） A. B. C. D. 4 16. （2026湖南岳阳一模-多选）如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ） A. 曲线的方程为 B. 的最小值为 C. D. 当直线斜率都存在时， 17. （2026湖南岳阳一模）已知圆和直线，若圆上存在三点到直线距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. （2026安徽宿州一模）已知椭圆与抛物线有相同的焦点，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为__________. 19. （2026安徽宿州一模）已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 20. （2026安徽黄山一模-多选）点在直线上，过作圆的切线（为切点），则下列结论正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆上的点到直线距离的最大值为 C. 的最小值为3 D. 的最大值为1 21. （2026安徽淮南一模）已知点，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________． 22. （2026安徽淮北一模）已知抛物线的焦点是双曲线：的右焦点，点是两曲线的一个公共点，为坐标原点．若，则的离心率为__________． 23. （2026安徽淮北一模）已知过点的直线与圆交于两点．若的面积为8，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 24. （2026湖北孝感一模）已知圆，直线，直线，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 存在，使得与圆C相切 C. ，且，都与圆C相交，但被圆C截得的两条弦长不可能相等 D. 设圆心到，的距离分别为，，则为定值 25. （2026湖北荆州一模）已知平面上的点，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 26. （2026湖北荆州一模）若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 27. （2025湖北武汉二调） 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 28．（2025·安徽·一模）圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．外离 C．外切 D．内含 29．（2025·安徽马鞍山·一模）设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（2025·安徽·一模）已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是 31．（2025·安徽滁州·一模）已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为 . 32．（2025·安徽合肥·一模）已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的 倍. 33．（2025·安徽·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与交于两点. (1)求的标准方程. (2)若，为坐标原点，证明：. (3)若为的焦点，且的周长为，求的值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $