第九讲 解析几何 抛物线、双曲线大题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第9讲 解析几何-抛物线、双曲线大题 知识核心 一、双曲线的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） 渐近线 y=±x y=±x c2＝a2＋b2（c最大） 实轴长：2a； 虚轴长：2b； 离心率e＝= （e>1） 1、双曲线方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： （2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为 （3）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，离心率e=，因此等轴双曲线可设为 2、双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 3、双曲线，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 4、双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 5、切线常用结论： （1）直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （2）直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行（或重合）. 6、【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦. （焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 二、大题常用几何技巧 1、最大的原则连两焦点：椭、双上的点一定要连两个焦点，目的是构造出2a，可以得到一个方程 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系；找全等三角形 3、已知垂直条件， ①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理 ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半 4、已知等腰，找底边中线，构造垂直关系⇒使用勾股定理 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角⇒使用勾股定理 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点， ①几何法：连接形成中位线⇒中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标⇒利用中点坐标公式 8、已知角度， ①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理） ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系 三、大题常用面积方法 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、拆分法：将三角形沿着轴或轴拆分成两个三角形，拆分时顶点在轴或者轴上 4、平行四边形的面积 直线为，直线为， ；注意：为联立后消去后的一元二次方程的系数. 四、大题常用联立方法 一、直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例） 1、一般选择正设：椭圆与直线相交于两点，设， ， 过定点选择反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 2、开口向上选择正设：抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 抛物线与直线相交于两点，设， 开口向右选择反设：联立可得，时， 二、中点弦斜率公式：点差法 1.椭圆中点弦斜率公式 （1） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . （2） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 （1） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 （2） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 （1） 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点， 则 （2） 若 为抛物线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 证明：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有，作差得，∴， ∴，∴。 三、斜率和（积）构造与韦达定理 主要特征就是一定点、两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点。 倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1），此时直接代入韦达定理求解 （2），这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理. （3）. 五、焦点弦长公式 1.椭圆的斜率式焦点弦长公式 （1）为椭圆的左、右焦点，过（或）斜率为的直线与椭圆交于两点，则 （2）为椭圆的下、上焦点，过（或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2.双曲线的斜率式焦点弦长公式 （1）为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， （2）为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 （1） 焦点在 轴上， ； （2） 焦点在 轴上， 六、大题探索定点、定值方法 1、定值问题 ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 2、定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 二级结论：圆锥曲线中的定值问题（斜率） （1）在椭圆中：已知椭圆，定点（）在椭圆上，设，是椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （2）在双曲线：中，定点（）在双曲线上，设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （3）在抛物线：，定点（）在抛物线上，设，是抛物线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 七、圆锥曲线硬解定理（重磅） 一、题型综述：直曲联立利用韦达求弦长、、等是圆锥曲线考察频率比较高，若果能快速记住一些必要的结论，可以有效提升做题的速度及准确度 二、硬解定理：设交点为 1、椭圆与直线，联立 （1）； （2） （3）（＋：-a2k换成b2；×：a2和b2、b2和a2k互换） （4）； （5）； （6） （7）； 2、椭圆与直线，联立（反设直线，只是把和互换，换成） （1）； （2） （3）； （4） 3、双曲线与直线，联立（对于双曲线，将椭圆中的换作即可） （1）； （2） （3）； （4） 4、双曲线与直线，联立（加法不变；乘法：x轴b²+、a²k²-；y 轴b²-、a²k²+，Δ括号内符号同步反） （1）； （2） （3）； （4） 解析几何：真题大题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且，则，    直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得： ，由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 解析几何：2年模拟大题 1. （2026江苏徐州一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 【小问1详解】解：由题知抛物线的准线方程为， 又，所以，， ，则，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】（i）证明：设，则的方程为 因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： ，即 ，即，同理当时有， 将两等式相减可得：，而与外切，则有， 即有，又，则则，故数列为等差数列. （ii）因为与抛物线有且仅有两个公共点，则由得： 即，由，即， 由数列为等差数列，公差为2，则，则. 斜率为1的直线，交抛物线于，两点， 由得：，则，，， 所以，则， 由，则或（舍去）综上，． 2. （2026江苏南通一模）已知两点坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 【小问1详解】设点． 因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以， ，化简得：． 【小问2详解】①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2． 设直线的方程为， 联立消去可得．所以所以中点坐标． 因为点在直线上，所以．因为，所以， 因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点， 即直线不能经过点，若直线过点，则，若直线过点，则． 综上所述：的取值范围是． ②因为为等边三角形，所以点在直线上． 设，则， ． 所以，即，化简得，①． 因为点在直线上，所以②． 由①②消得，．因为，所以， 所以． 3. （2026湖南株洲一模）已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C. （1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由； （2）求的取值范围； （3）求周长的最小值． 【小问1详解】联立得：． 所以抛物线与圆只有唯一交点，即抛物线与圆的交点个数为1. 【小问2详解】显然斜率存在，设的方程分别为， ∵直线：与圆相切，， 化简得：① 于是为①式的两个根，②． ， 把②代入，可化简得：，的取值范围为． 【小问3详解】设的周长为，因为圆为的内切圆（该内切圆的半径）， 所以， 由（2），．令， ， ∴当即时，取等号．周长的最小值为16． 4. （2026河南濮阳一模）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 【小问1详解】由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即，所以抛物线的方程为； 【小问2详解】如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得，两式相减可得，即，由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中，故， 所以， 又因为到直线的距离，所以的面积. 【小问3详解】由（1）得，直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点， 则直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，， 则，因为，所以，， 因为点在上，所以，即，所以． 由，可得，， 因点在上，所以，即，所以． 由，得，因为，，所以，即． 5. （2026山东泰安一模）已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 【小问1详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴焦点到渐近线的距离为， ，；∴双曲线的标准方程为； 【小问2详解】（i）由题意知直线的斜率存在，设的方程为， 由得， 得，法一： ，∵点到直线的距离，， 法二： ，令，， ∴当时，的最小值为； （ii）由题意知，直线BD，BE斜率都存在， ，， ， ， 6. （2026山东威海一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． （1）求方程； （2）已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 【小问1详解】由题意知，， 解得， 所以的方程为 【小问2详解】联立，整理得， 由，可得，设，则 因为，又直线过点，且， 所以，所以①，（也可利用斜率相等或向量共线得出） 将①式代入得，消去得， 解得， 则 7. （2026山东济南一模）已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 【小问1详解】由题意可知，解得，故的方程为. 小问2详解】（i）因为，所以直线方程为， 由于，故，因为，所以， 所以. （ii）由（i）可知，即. 由题意可知，直线的斜率显然存在，设直线，联立，消得 ， ， ，所以， 所以直线，所以直线过定点. 8. （2026湖南长沙模拟）已知为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的左右两支分别相交于两点． （1）若直线的斜率为2，求的取值范围； （2）设直线，分别与轴相交于，两点，若，求双曲线的方程． 【小问1详解】设直线的方程为， 代入双曲线方程并化简得， 因为直线与双曲线左右两支分别相交，所以方程有一正一负两个实根， 所以，，由于，故，解得； 【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设直线，. 联立直线与双曲线方程：， 由韦达定理：， 由题意知，直线与双曲线左右两支分别相交，所以，得. 直线的方程为，令得； 直线的方程为，令得. 又因为，所以，， 代入、，化简得， 因此.其中， 所以. 又因为，且， 所以，解得，所以双曲线的方程为. 9. （2026安徽淮南一模）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点． （i）证明：以为直径的圆过点； （ii）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线交于点，试判断的形状，并给出证明． 【小问1详解】因为双曲线的右焦点为，渐近线方程为． 所以，解得：，所以的方程为． 【小问2详解】（i）由（1）知，，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，如图， 由，可得， ∴，其中， ∴ ， ∴，所以以为直径的圆过点． （ii）是等腰三角形（或等腰锐角三角形）．因为直线的斜率存在，所以． 不妨设直线，其中， 由（i）可知，由，可得，解得， 故可得，即， ∴ ， 所以直线，由，可解得，所以定直线上， 又，所以，所以是等腰三角形（或等腰锐角三角形）． 10. （2026安徽滁州一模）已知双曲线：一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的2倍，且左顶点到直线的距离为，其中. （1）求的方程. （2）过双曲线的右焦点作斜率为（）的直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，在轴上是否存在定点，使，，三点共线？若存在.求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【小问1详解】记两条渐近线的倾斜角分别为，，则，， 由正切的二倍角公式得，即.又左顶点到直线的距离为， 则，又，联立，解得，则的方程为. 【小问2详解】存在，理由如下：由题意直线过右焦点， 则直线的方程为，设，，则. 由，得， ，，， 又的方程为，令，得 ，将，代入上式， 得，所以存在实数，使得，，三点共线. 11. （2026湖北荆州一模）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时，证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 【小问1详解】双曲线两个焦点坐标为， 由可知，，故， 两条平行线设为， 分别与联立，得， 进而有 将②-①×9得，，代入①式得，因为，所以，故，所求斜率为. 【小问2详解】分别延长线段与双曲线交于，由于， 由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点， 关于原点对称，故，设，且，联立，，， 所以. 由两点距离公式，， 所以， 由韦达定理，. 12. （2025湖北武汉二调）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．（附：双曲线以点为切点的切线方程为） 【小问1详解】直线方程中，令，则， 则直线与轴交于，所以．离心率，所以，故． 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】（i）经检验，当一条切线斜率不存在时， 若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为， 联立双曲线方程得， 则， 解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意， 当时，此时只有一条切线，显然不合题意， 则两条切线斜率均存在，设切线斜率，切线方程为， 与双曲线方程联立得：， 令． 整理得：，由于，所以且． 上式整理得：． 由题意，有两个相异实根，所以， 且． 整理得：，解得：． 综上所述，的取值范围是． （ii）设．直线和方程分别为和． 联立得点． 又点在直线上，代入整理得：．① 在直线方程中，令，则，得点． ， 故直线方程为：． 设直线与直线交点为，联立两直线方程：． 解得：． 设直线与直线交点为， 同理可得：． 由①式，作差的分子有 ， 作差的分母有 . 则可得和表达式的分子分母分别相等． 故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是采用证明两交点重合的方程得到定直线方程. 13．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程，所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以，所以. 14．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【详解】（1）设圆，的交点为M，则，，因为，所以，故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线， 从而，，即，，故曲线T的方程为 （2）（ⅰ）要证，只要证线段的中点与线段的中点重合. 设，，其中，由条件，直线l的斜率存在，设l的方程为 因为直线l与圆相切，所以，即 联立，消去y并整理得， 所以，从而线段的中点横坐标为又直线与直线和交点的横坐标分别为和， 则线段中点的横坐标为，所以 （ⅰⅰ）由条件，，即， 所以，由题意知，， 所以 ，即为定值 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 解析几何-抛物线、双曲线大题 知识核心 一、双曲线的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性 质 焦点 F1（-c，0），F2（c，0） F1（0，-c），F2（0，c） 渐近线 y=±x y=±x c2＝a2＋b2（c最大） 实轴长：2a； 虚轴长：2b； 离心率e＝= （e>1） 1、双曲线方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： （2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为 （3）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，离心率e=，因此等轴双曲线可设为 2、双曲线的焦点到渐近线的距离d==b. 3、双曲线，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的最小距离为c-a. 4、双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的通径，其长度为. 5、切线常用结论： （1）直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. （2）直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行（或重合）. 6、【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算： （1）；（2）（记忆：左加右减） 【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦. （焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 二、大题常用几何技巧 1、最大的原则连两焦点：椭、双上的点一定要连两个焦点，目的是构造出2a，可以得到一个方程 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系；找全等三角形 3、已知垂直条件， ①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理 ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半 4、已知等腰，找底边中线，构造垂直关系⇒使用勾股定理 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角⇒使用勾股定理 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点， ①几何法：连接形成中位线⇒中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标⇒利用中点坐标公式 8、已知角度， ①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理） ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系 三、大题常用面积方法 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、拆分法：将三角形沿着轴或轴拆分成两个三角形，拆分时顶点在轴或者轴上 4、平行四边形的面积 直线为，直线为， ；注意：为联立后消去后的一元二次方程的系数. 四、大题常用联立方法 一、直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例） 1、一般选择正设：椭圆与直线相交于两点，设， ， 过定点选择反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 2、开口向上选择正设：抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 抛物线与直线相交于两点，设， 开口向右选择反设：联立可得，时， 二、中点弦斜率公式：点差法 1.椭圆中点弦斜率公式 （1） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . （2） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 （1） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 （2） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 （1） 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点， 则 （2） 若 为抛物线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 证明：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有，作差得，∴， ∴，∴。 三、斜率和（积）构造与韦达定理 主要特征就是一定点、两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点。 倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1），此时直接代入韦达定理求解 （2），这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理. （3）. 五、焦点弦长公式 1.椭圆的斜率式焦点弦长公式 （1）为椭圆的左、右焦点，过（或）斜率为的直线与椭圆交于两点，则 （2）为椭圆的下、上焦点，过（或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2.双曲线的斜率式焦点弦长公式 （1）为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， （2）为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 （1） 焦点在 轴上， ； （2） 焦点在 轴上， 六、大题探索定点、定值方法 1、定值问题 ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 2、定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 二级结论：圆锥曲线中的定值问题（斜率） （1）在椭圆中：已知椭圆，定点（）在椭圆上，设，是椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （2）在双曲线：中，定点（）在双曲线上，设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （3）在抛物线：，定点（）在抛物线上，设，是抛物线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 七、圆锥曲线硬解定理（重磅） 一、题型综述：直曲联立利用韦达求弦长、、等是圆锥曲线考察频率比较高，若果能快速记住一些必要的结论，可以有效提升做题的速度及准确度 二、硬解定理：设交点为 1、椭圆与直线，联立 （1）； （2） （3）（＋：-a2k换成b2；×：a2和b2、b2和a2k互换） （4）； （5）； （6） （7）； 2、椭圆与直线，联立（反设直线，只是把和互换，换成） （1）； （2） （3）； （4） 3、双曲线与直线，联立（对于双曲线，将椭圆中的换作即可） （1）； （2） （3）； （4） 4、双曲线与直线，联立（加法不变；乘法：x轴b²+、a²k²-；y 轴b²-、a²k²+，Δ括号内符号同步反） （1）； （2） （3）； （4） 解析几何：真题大题 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 解析几何：2年模拟大题 1. （2026江苏徐州一模）已知，抛物线的准线与交于，两点，且. （1）求抛物线的方程； （2）已知圆心在轴上，半径为的与外切，且与抛物线有且仅有两个公共点. （i）证明：数列为等差数列； （ii）过点作斜率为1的直线，交抛物线于，两点，且，求的值. 2. （2026江苏南通一模）已知两点坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2． （1）求点的轨迹的方程； （2）已知上存在三点，且关于直线对称． ①求的取值范围； ②若为等边三角形，求． 3. （2026湖南株洲一模）已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C. （1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由； （2）求的取值范围； （3）求周长的最小值． 4. （2026河南濮阳一模）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与交于M，N两点，且点为线段MN的中点，求的面积． （3）若直线过点，且与交于A，B两点与轴交于点，满足，试探究与的关系. 5. （2026山东泰安一模）已知双曲线的左，右顶点分别为，实轴长为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的标准方程； （2）若过点的直线与的左右两支分别交于两点（在第一象限内），记直线的倾斜角分别为. （i）求的最小值； （ii）求的值. 6. （2026山东威海一模）已知双曲线的焦距为2c，渐近线方程为，右焦点到直线的距离为． （1）求方程； （2）已知直线交于B，C两点，的左顶点记为，若，求弦长|BC|． 7. （2026山东济南一模）已知双曲线的实轴长为4，且经过点. （1）求的方程； （2）记的右顶点为，点在线段（不含端点）上运动，垂直于轴的直线交于点（在第一象限），点满足，设直线与的另一个交点为. （i）用表示直线的斜率； （ii）证明直线过定点. 8. （2026湖南长沙模拟）已知为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的左右两支分别相交于两点． （1）若直线的斜率为2，求的取值范围； （2）设直线，分别与轴相交于，两点，若，求双曲线的方程． 9. （2026安徽淮南一模）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求的方程； （2）设为的左顶点，过的直线交的右支于两点． （i）证明：以为直径的圆过点； （ii）设直线的斜率存在，直线与圆的另一交点分别为，直线与直线交于点，试判断的形状，并给出证明． 10. （2026安徽滁州一模）已知双曲线：一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的2倍，且左顶点到直线的距离为，其中. （1）求的方程. （2）过双曲线的右焦点作斜率为（）的直线与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，在轴上是否存在定点，使，，三点共线？若存在.求出实数的值；若不存在，请说明理由. 11. （2026湖北荆州一模）如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点. （1）若，求直线的斜率； （2）当点在双曲线上运动时，证明：为定值； （ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程. 12. （2025湖北武汉二调）双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和． （i）设点的横坐标为，求的取值范围； （ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．（附： 13．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 14．（2025·安徽合肥·一模）已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧 (1)求曲线T的方程； (2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧 （ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $