第八讲 解析几何 椭圆大题 讲义-2026届高三数学二轮复习

第8讲 解析几何-椭圆大题 知识核心 一、椭圆的标准方程与性质 定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 性 质 焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |PF1|+|PF2|=2a a2=b2+c2(a最大) 短轴长:2b,长轴长:2a,焦距:|F1F2|=2c;离心率e== (0<e<1) 1、椭圆的焦点三角形:椭圆(a>b>0)上的点P(x0,y0)与两焦点构成的 PF1F2叫做焦点三角形,设∠F1PF2= 。椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. (1)|PF1| |PF2|≤=a2. (2)【焦半径1】|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.(当焦点在y轴上时,r1=a+ey0,r2=a-ey0)(记忆:左加右减) (3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c. (4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos . (5)=b2tan =|PF1||PF2|sin =c|y0|,当|y0|=b,即点P的位置为短轴端点时, 最大,S取最大值, 最大值为bc () (6)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos . (7)焦点三角形的周长为2(a+c) (8)已知过焦点F1的弦AB,则 ABF2的周长为4a. (9)【焦半径2】椭圆的一个焦点为F,P为椭圆上任意一点,设,则椭圆的焦半径,若延长交椭圆于另一点Q,则椭圆的焦点弦. (证明)椭圆焦点三角形的面积为 证明:设 . 双曲线中焦点三角形的面积为 2、椭圆方程的设法:一般设方程为mx2+ny2=1(双曲线也可以) (1)与椭圆=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为=1 (2)与椭圆=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为= 或= 3、椭圆的通径:过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径,其长度为. 4、焦点弦:过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 二、大题常用几何技巧 1、最大的原则连两焦点:椭、双上的点一定要连两个焦点,目的是构造出2a,可以得到一个方程 特别是:过原点的直线与椭圆交于AB两点 一定要和两个焦点连接补成平行四边形(同时两组对面分别平行且相等),然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图: 2、已知平行条件,找相似,转为线段的相似比关系;找全等三角形 3、已知垂直条件, ①用法一:若未知点的坐标,根据边长构造勾股定理 ②用法二:若已知点的坐标,考虑用斜率相乘等于 ③用法三:斜边上的中线等于斜边的一半 4、已知等腰,找底边中线,构造垂直关系 使用勾股定理 5、已知中线,且等于斜边的一半,则斜边所对的角是直角 使用勾股定理 6、已知角平分线,①使用角平分线的性质:已知AD为角平分线,则, ②考虑转化为垂直平分线:已知AD为角平分线,则过点C做CEAD交AB与点E,AC=AE,CF=EF. 7、已知中点, ①几何法:连接形成中位线 中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法:若已知中点坐标 利用中点坐标公式 8、已知角度, ①用法一:可以使用余弦定理或者正弦定理(边多用余弦定理,角多用正弦定理) ②用法二:如果是特殊角,通过做垂线,构造特殊的直角三角形,从而转化为边长的倍数关系 三、大题常用面积方法 1、三角形面积问题 直线方程: 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意:为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、拆分法:将三角形沿着轴或轴拆分成两个三角形,拆分时顶点在轴或者轴上 4、平行四边形的面积 直线为,直线为, ;注意:为联立后消去后的一元二次方程的系数. 四、大题常用联立方法 一、直线和曲线联立(以椭圆和抛物线为例) 1、一般选择正设:椭圆与直线相交于两点,设, , 过定点选择反设:椭圆与过定点的直线相交于两点,设为,如此消去,保留,构造的方程如下:, 2、开口向上选择正设:抛物线与直线相交于两点,设, 联立可得,时, 抛物线与直线相交于两点,设, 开口向右选择反设:联立可得,时, 二、中点弦斜率公式:点差法 1.椭圆中点弦斜率公式 (1) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . (2) 若 为椭圆 弦 的中点, 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 (1) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 (2) 若 为双曲线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 (1) 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 (2) 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中, 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 证明:直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、,其中中点为,则有。 证明:设、,则有,作差得,∴, ∴,∴。 三、斜率和(积)构造与韦达定理 主要特征就是一定点、两动点,而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点。 倘若定点,在椭圆上的动点,那么: (1),此时直接代入韦达定理求解 (2),这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程:,化简可得:(*),再代入韦达定理. (3). 五、焦点弦长公式 1.椭圆的斜率式焦点弦长公式 (1)为椭圆的左、右焦点,过(或)斜率为的直线与椭圆交于两点,则 (2)为椭圆的下、上焦点,过(或斜率为的直线与椭圆交于两点,则 2.双曲线的斜率式焦点弦长公式 (1)为双曲线的左、右焦点,过斜率为的直线与双曲线交于两点,则 (1)在同支弦,; (2)在异支弦, (2)为双曲线的上、下焦点,过斜率为的直线与双曲线交于两点,则 (1)在同支弦,; (2)在异支弦, 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 (1) 焦点在 轴上, ; (2) 焦点在 轴上, 六、大题探索定点、定值方法 1、定值问题 ①从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关; ②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值。 2、定点问题 1、参数无关法:把直线或者曲线方程中的变量,当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时的参数的系数就要全部为零,这样就得到一个关于,的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法:根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关。 二级结论:圆锥曲线中的定值问题(斜率) (1)在椭圆中:已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率. (2)在双曲线:中,定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率. (3)在抛物线:,定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率. 七、圆锥曲线硬解定理(重磅) 一、题型综述:直曲联立利用韦达求弦长、、等是圆锥曲线考察频率比较高,若果能快速记住一些必要的结论,可以有效提升做题的速度及准确度 二、硬解定理:设交点为 1、椭圆与直线,联立 (1); (2) (3)(+:-a2k换成b2; :a2和b2、b2和a2k互换) (4); (5); (6) (7); 2、椭圆与直线,联立(反设直线,只是把和互换,换成) (1); (2) (3); (4) 3、双曲线与直线,联立(对于双曲线,将椭圆中的换作即可) (1); (2) (3); (4) 4、双曲线与直线,联立(加法不变;乘法:x轴b +、a k -;y 轴b -、a k +, 括号内符号同步反) (1); (2) (3); (4) 解析几何:3年真题大题 1.(2025 全国二卷 高考真题)已知椭圆的离心率为,长轴长为4. (1)求C的方程; (2)过点的直线l与C交于两点,为坐标原点,若的面积为,求. 2.(2025 全国一卷 高考真题)设椭圆的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足. (i)设,求点的坐标(用m,n表示); ( )设O为坐标原点,是椭圆上的动点,直线OR的斜率为直线的斜率的3倍,求的最大值. 3.(2025 上海 高考真题)已知椭圆,,A是的右顶点. (1)若的焦点,求离心率e; (2)若,且上存在一点P,满足,求m; (3)已知AM的中垂线l的斜率为2,l与交于C、D两点,为钝角,求a的取值范围. 4.(2025 北京 高考真题)已知椭圆的离心率为,椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程; (2)设O为坐标原点,点在椭圆E上,直线与直线,分别交于点A,B.设与的面积分别为,比较与的大小. 5.(2025 天津 高考真题)已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,P为上一点,且直线的斜率为,的面积为,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A),求证:PF平分. 6.(2024 全国甲卷 高考真题)已知椭圆的右焦点为,点在上,且轴. (1)求的方程; (2)过点的直线交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:轴. 7.(2024 北京 高考真题)已知椭圆:,以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点,过点和的直线与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程及离心率; (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 8.(2023 全国乙卷 高考真题)已知椭圆的离心率是,点在上. (1)求的方程; (2)过点的直线交于两点,直线与轴的交点分别为,证明:线段的中点为定点. 9.(2023 天津 高考真题)已知椭圆的左右顶点分别为,右焦点为,已知. (1)求椭圆的方程和离心率; (2)点在椭圆上(异于椭圆的顶点),直线交轴于点,若三角形的面积是三角形面积的二倍,求直线的方程. 10.(2024 新课标 卷 高考真题)已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B,且的面积为9,求的方程. 11.(2023 全国甲卷 高考真题)已知直线与抛物线交于两点,且. (1)求; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,,求面积的最小值. 解析几何:2年模拟大题 1. (2026河北沧州一模)已知椭圆:的离心率为,且经过点.,是的左、右焦点. (1)求的标准方程; (2)过的直线与交于,两点.若的内切圆半径为,,求的值. 2.(2026山东枣庄一模) 如图,,,圆半径为4,是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点,当在圆上运动时,记动点的轨迹为. (1)求的方程; (2)过点,分别作直线交于,,,四点(,在轴的上方),且. ( )判断四边形的形状(只提供结论,无需证明); ( )求四边形面积的最大值. 3. (2026广东茂名一模)已知椭圆的右焦点为,离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. (1)求的方程; (2)若的平分线垂直于轴. (i)求实数的值; (ii)以为半径的圆的面积分别记为的面积为,求的取值范围. 4. (2026广东湛江一模)已知椭圆的左、右顶点分别为,其离心率为,且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为,过点的直线交椭圆于两点,直线分别交直线于点. (1)求椭圆的方程; (2)证明:三点共线; (3)试问以为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由. 5. (2026江西上饶一模)已知椭圆的焦距为2,点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)如图,斜率存在且不为0的直线与相交于点(在的左侧),,分别为左右焦点,设直线的斜率分别为,且. ①求证:直线过定点; ②设直线相交于点,求证:为定值. 6. (2026江西九江一模)已知椭圆的中心在坐标原点,在上,是的焦点,垂直于轴,斜率为的直线经过点且与交于两点. (1)求的标准方程; (2)记直线与的交点为,若,求. 7. (2026湖南常德一模)已知椭圆:过点,且离心率为,,分别为椭圆的左、右焦点,点是椭圆上在第一象限内的一个动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)直线,分别交椭圆于点,,直线,的斜率分别为,,求的最小值. 8.(2026湖南岳阳一模) 已知椭圆的离心率为,且经过点. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左,右顶点分别为,过轴上的一点作直线交椭圆于两点(异于点).设直线斜率为,直线斜率为. (i)求(用表示); (ii)若,的面积为,的面积为,求的最大值. 9. (2026安徽合肥一模)已知椭圆的离心率为,点在上. (1)求的方程; (2)过点的直线交于,两点. (i)求证:以为直径的圆过定点; (ii)当直线的斜率存在时,记的外接圆和内切圆的半径分别为,且,求直线的斜率. 10. (2026安徽马鞍山一模)已知,动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是,记点的轨迹为. (1)求的方程; (2)已知椭圆以分别为左,右焦点,离心率为.直线与轴平行,与交于点,与交于两点.直线与轴交于点. (i)求面积的最大值; (ii)求证:为定值,并求出该定值. 11. (2026安徽黄山一模)已知椭圆的离心率为,且过点. (1)求椭圆的方程; (2)点在椭圆上,分别为椭圆的左、右焦点,且. ( )求点的坐标; ( )点是直线上的动点,过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点,其中的斜率为且,求的值. 12. (2026安徽淮北一模)已知椭圆的短轴长为2,焦距为2,过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和,与交于两点,与交于两点,线段的中点分别为. (1)求椭圆的标准方程; (2)求点的轨迹方程; (3)直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请给出理由. 13. (2026湖北孝感一模)如图①,在圆上任取一点,过点作轴的垂线段,为垂足.点在的延长线上,且.当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.(当点经过圆与轴的交点时,规定点与点重合.) (1)求曲线的方程; (2)矩形中,,.分别是矩形的四条边的中点. ( )如图②,已知点是线段上靠近原点的4等分点,直线与曲线交于两点,与圆交于两点,求的值; ( )如图③,已知点是线段的等分点,点是线段的等分点.证明:直线与()的交点L在曲线上. 14. (2025湖北武汉五调)建立如图所示的坐标系.矩形中,分别是矩形四条边的中点,直线上的动点满足,直线与的交点为. (1)证明点在一个确定的椭圆上,并求此椭圆的方程; (2)当时,过点的直线(与轴不重合)与(1)中的椭圆交于两点,过点作直线的垂线,垂足为点.设直线与轴交于点,求面积的最大值. 15.(2025 安徽黄山 一模)如图,椭圆C:的左右焦点分别为,,离心率为,且短轴长是4,点P是第一象限内C上一点,,的延长线分别交C于A,B两点,设,分别是,的内切圆半径. (1)求C的方程; (2)若点P的横坐标为2,求内切圆的方程; (3)求的最大值. 16.(2025 安徽滁州 一模)已知椭圆的焦距为2,且经过点,M为C的右顶点,过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 17.(2025 安徽马鞍山 一模)已知椭圆的离心率为,且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若A,B为椭圆C上的两点,且满足,求证:直线过定点. 学科网(北京)股份有限公司1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $ 第8讲 解析几何-椭圆大题 知识核心 一、椭圆的标准方程与性质 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆 焦点位置 在x轴上 在y轴上 图形   标准方程 （a>b>0） （a>b>0） 性 质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c） |PF1|+|PF2|=2a a2＝b2＋c2（a最大） 短轴长：2b，长轴长：2a，焦距：|F1F2|＝2c；离心率e＝= （0<e<1） 1、椭圆的焦点三角形：椭圆（a>b>0）上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，设∠F1PF2＝θ。椭圆上的点与焦点之间的线段叫做椭圆的焦半径. （1）|PF1|·|PF2|≤＝a2. （2）【焦半径1】|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝a-ex0．（当焦点在y轴上时，r1=a+ey0，r2=a-ey0）（记忆：左加右减） （3）|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c． （4）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ． （5）＝b2tan ＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，S取最大值， 最大值为bc （） （6）4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. （7）焦点三角形的周长为2（a＋c） （8）已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a． （9）【焦半径2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦. （证明）椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为 2、椭圆方程的设法：一般设方程为mx2＋ny2＝1（双曲线也可以） （1）与椭圆＝1（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为＝1 （2）与椭圆＝1（a>b>0）有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ 3、椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其长度为. 4、焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短. 二、大题常用几何技巧 1、最大的原则连两焦点：椭、双上的点一定要连两个焦点，目的是构造出2a，可以得到一个方程 特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中.如下图： 2、已知平行条件，找相似，转为线段的相似比关系；找全等三角形 3、已知垂直条件， ①用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理 ②用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 ③用法三：斜边上的中线等于斜边的一半 4、已知等腰，找底边中线，构造垂直关系⇒使用勾股定理 5、已知中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角⇒使用勾股定理 6、已知角平分线，①使用角平分线的性质：已知AD为角平分线，则， ②考虑转化为垂直平分线：已知AD为角平分线，则过点C做CEAD交AB与点E，AC=AE，CF=EF. 7、已知中点， ①几何法：连接形成中位线⇒中位线平行且等于底边的一半. ②坐标法：若已知中点坐标⇒利用中点坐标公式 8、已知角度， ①用法一：可以使用余弦定理或者正弦定理（边多用余弦定理，角多用正弦定理） ②用法二：如果是特殊角，通过做垂线，构造特殊的直角三角形，从而转化为边长的倍数关系 三、大题常用面积方法 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 3、拆分法：将三角形沿着轴或轴拆分成两个三角形，拆分时顶点在轴或者轴上 4、平行四边形的面积 直线为，直线为， ；注意：为联立后消去后的一元二次方程的系数. 四、大题常用联立方法 一、直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例） 1、一般选择正设：椭圆与直线相交于两点，设， ， 过定点选择反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， 2、开口向上选择正设：抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 抛物线与直线相交于两点，设， 开口向右选择反设：联立可得，时， 二、中点弦斜率公式：点差法 1.椭圆中点弦斜率公式 （1） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . （2） 若 为椭圆 弦 的中点， 有 . 2. 双曲线的中点弦斜率公式 （1） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 （2） 若 为双曲线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 3. 抛物线的中点弦斜率公式 （1） 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点， 则 （2） 若 为抛物线 弦 （ 不平行 轴） 的中点， 则 4. 中点弦斜率拓展 在椭圆 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在双曲线 中， 以 为中点的弦所在直线的斜率 ; 在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 证明：直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有，作差得，∴， ∴，∴。 三、斜率和（积）构造与韦达定理 主要特征就是一定点、两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点。 倘若定点，在椭圆上的动点，那么： （1），此时直接代入韦达定理求解 （2），这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理. （3）. 五、焦点弦长公式 1.椭圆的斜率式焦点弦长公式 （1）为椭圆的左、右焦点，过（或）斜率为的直线与椭圆交于两点，则 （2）为椭圆的下、上焦点，过（或斜率为的直线与椭圆交于两点，则 2.双曲线的斜率式焦点弦长公式 （1）为双曲线的左、右焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， （2）为双曲线的上、下焦点，过斜率为的直线与双曲线交于两点，则 （1）在同支弦，； （2）在异支弦， 3. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式 （1） 焦点在 轴上， ； （2） 焦点在 轴上， 六、大题探索定点、定值方法 1、定值问题 ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值。 2、定点问题 1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 二级结论：圆锥曲线中的定值问题（斜率） （1）在椭圆中：已知椭圆，定点（）在椭圆上，设，是椭圆上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （2）在双曲线：中，定点（）在双曲线上，设，是双曲线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． （3）在抛物线：，定点（）在抛物线上，设，是抛物线上的两个动点，直线，的斜率分别为，，且满足．则直线的斜率． 七、圆锥曲线硬解定理（重磅） 一、题型综述：直曲联立利用韦达求弦长、、等是圆锥曲线考察频率比较高，若果能快速记住一些必要的结论，可以有效提升做题的速度及准确度 二、硬解定理：设交点为 1、椭圆与直线，联立 （1）； （2） （3）（＋：-a2k换成b2；×：a2和b2、b2和a2k互换） （4）； （5）； （6） （7）； 2、椭圆与直线，联立（反设直线，只是把和互换，换成） （1）； （2） （3）； （4） 3、双曲线与直线，联立（对于双曲线，将椭圆中的换作即可） （1）； （2） （3）； （4） 4、双曲线与直线，联立（加法不变；乘法：x轴b²+、a²k²-；y 轴b²-、a²k²+，Δ括号内符号同步反） （1）； （2） （3）； （4） 解析几何：3年真题大题 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l与C交于两点，为坐标原点，若的面积为，求． 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故，故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得，故即，且， 故， 解得， 故. 2．（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知，法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号,所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号,故. 3．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则，故离心率. （2）由题意，由得，，解得，代入，得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得，由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点，故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得，因为为钝角，则，且， 则有，所以， 即，解得，又， 故，即的取值范围是. 4．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，，整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得，所以 ， ，故． 5．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即，因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即，所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为，所以，解得，则，，所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，，易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即，联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则，所以直线的方程为， 联立，解得，则，以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【详解】（1）设，由题设有且，故，故，故，故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故，又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 7．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【详解】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以，此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 8．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点． 【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在，设， 联立方程，消去y得：， 则，解得， 可得， 因为，则直线，令，解得，即, 同理可得，则 ，所以线段的中点是定点.    【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 9．（2023·天津·高考真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【详解】（1）如图，  由题意得，解得，所以， 所以椭圆的方程为，离心率为. （2）由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，设直线的方程为，联立方程组，消去整理得：， 由韦达定理得，所以，所以，. 所以,,， 所以， 所以，即， 解得，所以直线的方程为. 10．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【详解】（1）由题意得，解得，所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：， 则，解得或，当时，联立，解得或， 即或，当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或. 11．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【详解】（1）设，由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，， 由可得，，所以，， ，因为，所以， 即，亦即， 将代入得，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以，当时，的面积． 解析几何：2年模拟大题 1. （2026河北沧州一模）已知椭圆：的离心率为，且经过点.，是的左、右焦点. （1）求的标准方程； （2）过的直线与交于，两点.若的内切圆半径为，，求的值. 【小问1详解】设椭圆的半焦距为，由离心率为，得，令，， 椭圆：过点，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】由（1）知，设直线的方程为，，， 由消去得， ，， ，， 而，，则，解得， 所以. 2.（2026山东枣庄一模） 如图，，，圆半径为4，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当在圆上运动时，记动点的轨迹为． （1）求的方程； （2）过点，分别作直线交于，，，四点（，在轴的上方），且． （ⅰ）判断四边形的形状（只提供结论，无需证明）； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【小问1详解】连接，由题意知，， 则动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，即，则， 所以的方程为.【小问2详解】 （ⅰ）由题意，，且，，结合椭圆的对称性，易知， 则四边形为平行四边形. （ⅱ）由（ⅰ）知，四边形为平行四边形，为其中心，则四边形面积为， 由题意，设直线的方程为，， 联立，得， 则，，， 则， 则四边形面积为， 令，，则，因为函数在上单调递增，则， 则，即四边形面积的最大值为6. 3. （2026广东茂名一模）已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. （1）求的方程； （2）若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 【小问1详解】由已知，右焦点为 ，故 ，离心率 ，解得 ， 由 ，得椭圆  的方程为 【小问2详解】（i）设直线  的方程为 ， 代入椭圆方程得， 设 ，，则  的平分线垂直于  轴，等价于 ，且直线与椭圆有两个交点， 由  得， 将韦达定理代入：， 化简得：，解得： .因此，实数  的值为 ； （ii）由（i）知 ，直线方程为 （），联立椭圆方程得 则由直线与椭圆有两个交点得： ，三角形  的面积，， 又， 所以， 于是， ，故， 令 ，则： 考虑函数 ，，由，得，故在上单调递增， 当时，，所以的值域为，因此， 的取值范围是 。 4. （2026广东湛江一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率为，且上的点到其中一个焦点的距离的最小值为，过点的直线交椭圆于两点，直线分别交直线于点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：三点共线； （3）试问以为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【小问1详解】设点P是上任意一点，是其左、右焦点，则有． 又，即， 结合以上两式可得，当且仅当三点共线时取等号， 点P到其中一个焦点的距离的最小值为，故．又， 解得，故，∴椭圆的方程为． 【小问2详解】依题意可设直线的方程为， 代入的方程消去x得存在两个不相等的实数根． 设，则 故直线的方程为，令，可得． 又， ． ，故三点共线． 【小问3详解】由（2）易得，直线的方程为，令可得． 设为以为直径的圆上一点，则有， 即， 由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上，令， 得，， ∴以为直径的圆恒过两定点． 5. （2026江西上饶一模）已知椭圆的焦距为2，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线与相交于点（在的左侧），，分别为左右焦点，设直线的斜率分别为，且． ①求证：直线过定点； ②设直线相交于点，求证：为定值． 【小问1详解】如图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为，在椭圆上， 所以且轴，故， 又由于，所以得，故椭圆方程为 【小问2详解】①设直线方程为，与椭圆联立， 消去得， 设，由韦达定理得： 直线的斜率，直线的斜率， 因此：， ，即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为，故直线可写为：，即：直线过和，其方程为：， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以：. 6. （2026江西九江一模）已知椭圆的中心在坐标原点，在上，是的焦点，垂直于轴，斜率为的直线经过点且与交于两点． （1）求的标准方程； （2）记直线与的交点为，若，求． 【小问1详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，标准方程为（）， 由轴，得点坐标为，故，且， 又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】如图所示， FT的方程为，设直线的方程为，联立， 解得，所以，联立，消去y并化简可得， 且，，解得， 设，，则， 由，可得， 整理得，联立，解得， 代入，化简得，解得，（舍去） 7. （2026湖南常德一模）已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值. 【小问1详解】根据题意可得解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】设，，，由（1）可知，， 因为点在椭圆上，所以. 由题意：，：， 将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：.所以. 所以，，即. 同理，将直线与椭圆联立可得. 整理可得：，所以， 所以，，即. 所以的斜率为，的斜率为. 故 因为点在第一象限内.故，. 所以的最小值为，当且仅当在处取到等号. 8.（2026湖南岳阳一模） 已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为. （i）求（用表示）； （ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值. 【小问1详解】由题可知，，化简得， 又因为在椭圆上，则， 联立解得，故椭圆的方程为. 【小问2详解】（i）依题意，设直线的方程为， 则联立，消去得 其中，即， 设，则 则 ； （ii）由（i）可得，解得，即， ，且. 因，， 则 令，则，，当且仅当，即时等号成立.的最大值为. 9. （2026安徽合肥一模）已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点． （i）求证：以为直径的圆过定点； （ii）当直线的斜率存在时，记的外接圆和内切圆的半径分别为，且，求直线的斜率． 【小问1详解】由题意得，解得，所以的方程为． 小问2详解】（i）因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称， 所以以为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称， 所以为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在轴上，设为点， 若直线的斜率存在，设其方程为，点， 联立，消去化简可得， 所以， 由得， ， 即，即， 所以，故以为直径的圆过 若直线斜率不存在，以为直径的圆显然过，综上，以为直径的圆过定点； （ii）由（i）知，，所以，， 因为，所以， 即，也即， 所以，取线段中点为，则， 因为，所以点的坐标为， 当时，，符合题意， 当时，，则，解得． 综上，或，即直线的斜率为0或． 10. （2026安徽马鞍山一模）已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【小问1详解】由题知，，设，则， 由题意知，均不为0，即，再由，得， 即所以的方程为. 【小问2详解】（i）因为椭圆的离心率为，故， 所以椭圆的方程为，如图， 设，其中，，因为在上，所以， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立，而面积 （ii）设，，则三点共线， 所以，即，解得， 则， 所以，为定值. 11. （2026安徽黄山一模）已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，分别为椭圆的左、右焦点，且. （Ⅰ）求点的坐标； （Ⅱ）点是直线上的动点，过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点，其中的斜率为且，求的值. 【小问1详解】依题意，，所以，所以； 又，所以；所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】（Ⅰ） 由（1）知，，所以；又，所以， 又，所以，解得； 又，所以，所以；故点的坐标为或； （Ⅱ）设，即； 由，得， 所以， ，即； 因为， 所以 ， 同理，对于斜率为的直线， 可得； 又，所以， 因为过点作两条互相垂直的直线与分别交椭圆于和四个不同点， 所以点不能在椭圆上；若点在椭圆上，则，即，因此， 所以，即，解得. 12. （2026安徽淮北一模）已知椭圆的短轴长为2，焦距为2，过的左焦点作斜率之和为1的两条直线和，与交于两点，与交于两点，线段的中点分别为． （1）求椭圆的标准方程； （2）求点的轨迹方程； （3）直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请给出理由． 【小问1详解】依题意，设的焦距长为，则，又短轴长， 则，因此，椭圆的标准方程为：． 【小问2详解】（方法一）设，显然直线的斜率存在， 设，和椭圆方程联立， 消去得：， 则进而得， 当时，，代入上式，化简得：， 当时，也满足上式；又，故点的轨迹方程为：． 【小问3详解】由（2）知点也满足方程， 设直线方程为，联立， 消去得：， 设，则， 由得： ， 即，故直线恒过定点． 13. （2026湖北孝感一模）如图①，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．点在的延长线上，且．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合．） （1）求曲线的方程； （2）矩形中，，．分别是矩形的四条边的中点． （ⅰ）如图②，已知点是线段上靠近原点的4等分点，直线与曲线交于两点，与圆交于两点，求的值； （ⅱ）如图③，已知点是线段的等分点，点是线段的等分点．证明：直线与（）的交点L在曲线上． 【小问1详解】设点M坐标为，点的坐标为，则点I的坐标为 由得，，所以， 因为点在圆上，所以，把，代入得：，即曲线的方程是： 【小问2详解】（ⅰ）由题意，点，，， 所以直线方程为 由得所以 由得所以 由相似得 （ⅱ）证明：由题知：，，， ， 直线方程： 直线方程： 联立直线方程和直线方程，得，所以 代入直线方程得 所以 所以所以，点L在椭圆上. 14. （2025湖北武汉五调）建立如图所示的坐标系．矩形中，分别是矩形四条边的中点，直线上的动点满足，直线与的交点为． （1）证明点在一个确定的椭圆上，并求此椭圆的方程； （2）当时，过点的直线（与轴不重合）与（1）中的椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为点．设直线与轴交于点，求面积的最大值． 【小问1详解】由题意可知：由可得， 当时，直线的方程为：， 又由， 所以，可得， 所以直线的方程为：， 上面两直线方程相乘可得：，所以可得点这个椭圆上； 【小问2详解】当时，点，设直线的方程为：， 与椭圆联立，消得：，设交点， 则可得， 依题意，，直线的方程为：， 令，得点的横坐标为：， 代入可得：， 因此直线过定点，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积最大值为. 15．（2025·安徽黄山·一模）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．    (1)求C的方程； (2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程； (3)求的最大值． 【详解】（1）由题意，，，又， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）点的横坐标为2，，又， 轴，由对称性，内切圆圆心在轴正半轴上，且是切点， ，又的周长为，又， ，内切圆的圆心为，内切圆的方程为. （3）设，，，， 因为点在椭圆上，所以，即， 由，即，解得， 同理可得，，， ，直线的方程为， 由，化简得， ，得，同理可得，，， 由，， 当且仅当，时，等号成立，所以的最大值为. 16．（2025·安徽滁州·一模）已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点异于点 (1)求C的标准方程; (2)求面积的最大值. 【详解】（1）由题，故，把代入椭圆方程中得到， 解得：，，所以椭圆的标准方程为； （2）由题，直线PM的方程为，设与直线PM平行的直线m的方程为， 当直线m与椭圆相切时，切点到直线PM距离取得最大值，Q为切点时，面积最大， 把代入椭圆方程中得：，当直线m与椭圆相切时，距离最大， 故有，即，所以，即， 当时，与之间的距离即为椭圆上点到直线PM距离的最大值， 此时，所以面积最大值为 17．（2025·安徽马鞍山·一模）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若A，B为椭圆C上的两点，且满足，求证：直线过定点． 【详解】（1）因为椭圆C离心率为，所以，    又因为点在椭圆C上，所以，解得，，   椭圆C的标准方程为： （2）①当斜率不存在时，设的方程为， 则，，，， 因为，所以，    因为，所以，   所以，解得或（舍）；    ②当斜率存在时，设的方程为， 联立消去y得，    即，设，则，， ，，   因为，所以， 即，   代入化简得， 即，   当时，，此时方程为，过定点，舍去；   当时，，此时方程为，过定点．    综上，直线过定点．    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $