6.2.3·向量的数乘运算【8个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.3·向量的数乘运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量数乘运算几何作图】 【练方法】 知识梳理 1.数乘定义：实数与向量的积是一个向量，记作，其模与方向满足： 模： 方向：时，与同向；时，与反向；时，，方向任意 2.几何本质：数乘运算实现向量的“伸缩”与“反向”，不改变向量的共线性 3.作图核心：以原向量的起点为公共起点，按比例伸缩长度，按的符号确定方向 解题思路 1.单向量数乘作图 步骤1：确定原向量的起点和终点，明确 步骤2：计算，确定伸缩后的长度 步骤3：时，从出发沿方向作有向线段，长度为；时，沿的反方向作图；时，作零向量 2.多系数数乘作图：先完成单个系数的数乘，再以该结果为基础进行下一次数乘，遵循“先伸缩，后反向”的顺序 （24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量与不共线，求作向量．经典例题1例题    （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)． （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，求作向量，．小试牛刀1 （24-25高二·上海·假期作业）已知向量，如图，作向量.小试牛刀2 （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作下列向量：小试牛刀3 (1)； (2)． 【题型2：向量数乘运算的直接计算与化简】 【练方法】 知识梳理 1.核心运算律（为实数，为向量） 结合律： 分配律1： 分配律2： 2.常用结论 （相反向量） ， 若且，则 3.运算优先级：先数乘，后加减，有括号先算括号内的向量运算 解题思路 1.直接计算类：代入已知向量的模和方向，按数乘定义计算模，确定方向，最终表示为向量形式 2.化简类 步骤1：利用分配律展开括号，将数乘分配到每个向量上 步骤2：利用结合律合并同类系数（如） 步骤3：消去零向量，合并相反向量，得到最简向量表达式 （24-25高一·全国·随堂练习）求下列未知向.经典例题1例题 (1)； (2)； (3). （24-25高一·全国·课堂例题）计算：经典例题2例题 (1)； (2)． （23-24高一·湖南·课后作业）化简：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． （24-25高一·江苏·课后作业）计算4()﹣3() .小试牛刀2 （24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型3：向量数乘运算的基本概念判断】 【练方法】 知识梳理 1.核心概念辨析 数乘结果的属性：数乘的结果是向量，而非数量 共线性：与必共线（） 等价性：若（为实数，），则 2.易错边界 零向量的数乘：无论为何值， 系数为零：，与的模和方向无关 解题思路 1.属性判断：紧扣“数乘结果是向量”，排除“数乘为数量”的错误表述 2.共线判断：验证是否存在实数，使得一个向量等于另一个向量的倍（注意非零向量前提） 3.模与方向判断：根据的符号判断方向，根据判断模的伸缩比例，逐一验证选项 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）.经典例题1例题 A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【多选题】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题 A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【多选题】（24-25高三下·广东肇庆·月考）下列叙述命题错误的是（    ）小试牛刀1 A．若，则与的方向不一定相同 B．若，则 C． D．若非零向量与方向相同或相反，则与，中之一向量的方向相同 【多选题】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀2 A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 【多选题】（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ）小试牛刀3 A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【B·能力提升题型】 【题型1：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心关联：数乘运算可表示几何图形中的分线段、平行线对应的向量 2.常用结论 线段中点：若为中点，则， 定比分点：若，则 平行线：若，则（为实数） 3.表示原则：以图形的顶点为向量起点，利用数乘表示分线段向量，结合向量加减法整合表达式 解题思路 1.定位目标向量：明确需表示的向量及其起点、终点 2.找数乘关系：结合图形中的中点、定比分点、平行线等性质，确定目标向量与已知向量的数乘系数 3.整合表达式：利用向量加减法，将数乘向量与已知向量结合，得到目标向量的最终表达式 （25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 .小试牛刀2 （24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【题型2：向量共线（平行）判定与应用】 【练方法】 知识梳理 1.共线定理：向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.核心推论 若且，则（单位向量共线） 若且不共线，则 3.应用场景：判定两向量是否平行、利用共线求参数值、证明向量平行 解题思路 1.判定共线 步骤1：排除零向量（零向量与任意向量共线） 步骤2：对非零向量，尝试求解实数，验证是否成立 2.求参数值 步骤1：根据共线定理列出等式，将向量用坐标或已知表达式表示 步骤2：根据向量相等的条件（横、纵坐标分别相等），列方程组求解和目标参数 3.证明平行：将待证平行的两个向量表示为已知向量的数乘形式，证明存在实数满足共线条件 （24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且.经典例题1例题 （24-25高一下·湖北武汉·期中）已知是两个不共线的向量，向量.若 ，则 .经典例题2例题 （2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且．小试牛刀1 （24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，.小试牛刀2 (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. （24-25高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．小试牛刀3    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【题型3：三点共线的证明】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：三点共线的充要条件是存在实数，使得（或） 2.等价表述 存在实数，使得（为平面内任意一点） 若与有公共起点且共线，则三点共线 3.证明核心：将三点对应的向量转化为共线向量的判定问题 解题思路 1.方法一（向量共线法） 步骤1：计算和（或和） 步骤2：证明存在实数，使得 步骤3：结合公共点，得出三点共线的结论 2.方法二（系数和法） 步骤1：将表示为和的线性组合 步骤2：证明，即可推出三点共线 （2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．经典例题1例题 （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.经典例题2例题      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. （2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线.小试牛刀1 （24-25高一下·广东韶关·月考）已知两个非零向量与不共线，且．小试牛刀2 (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． （24-25高一下·河南·月考）在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 【C·拓展培优题型】 【题型1：与三角形“心”的综合问题】 【练方法】 知识梳理 1.三角形“心”的向量数乘特征 重心：；若为重心，则 外心：（外接圆半径） 内心：（为的三边） 2.核心工具：向量数乘的运算律、共线定理、三角形“心”的定义 解题思路 1.重心问题：利用重心的数乘特征，结合数乘运算律化简向量式，求解参数或证明结论 2.内心问题：结合角平分线的数乘关系（如），利用数乘运算整合向量，关联边长关系求解 3.外心问题：利用外心的模相等性质，结合数乘的模的计算公式，联立几何条件求解参数或证明共线、垂直关系 （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）经典例题1例题 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【多选题】（24-25高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【多选题】（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ）小试牛刀1 A．三点共线 B． C． D．点在的内部 （24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．小试牛刀2    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． （2023高一·全国·单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则 .小试牛刀3 【题型2：综合证明与探索性问题】 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则P在内部，外部，还是哪条边上？经典例题1例题 （24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ）经典例题2例题 ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：小试牛刀1    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【多选题】（23-24高三上·安徽·月考）已知，若点满足，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．点一定在内部 B． C． D． （24-25高一下·山东枣庄·月考）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 2．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（25-26高二上·湖南邵阳·开学考试）已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 7．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、多选题 8．（24-25高一上·河北·月考）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及所在平面内一点满足，与的面积分别为，则 . 11．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 12．（24-25高三上·北京·月考）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【B·能力题型检测】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25高一上·湖北宜昌·期末）已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 5．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 6．（24-25高一下·安徽六安·期末）已知为内一点，且，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知 是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　） A． B． C． D．1 三、填空题 10．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为 ． 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点、在内，，则 . 12．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若为的垂心，，则＝ ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【6.2.3·向量的数乘运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：向量数乘运算几何作图】 【练方法】 知识梳理 1.数乘定义：实数与向量的积是一个向量，记作，其模与方向满足： 模： 方向：时，与同向；时，与反向；时，，方向任意 2.几何本质：数乘运算实现向量的“伸缩”与“反向”，不改变向量的共线性 3.作图核心：以原向量的起点为公共起点，按比例伸缩长度，按的符号确定方向 解题思路 1.单向量数乘作图 步骤1：确定原向量的起点和终点，明确 步骤2：计算，确定伸缩后的长度 步骤3：时，从出发沿方向作有向线段，长度为；时，沿的反方向作图；时，作零向量 2.多系数数乘作图：先完成单个系数的数乘，再以该结果为基础进行下一次数乘，遵循“先伸缩，后反向”的顺序 （24-25高一·全国·随堂练习）如图，已知向量与不共线，求作向量．经典例题1例题    【答案】答案见解析 【分析】画出，从而利用向量减法法则画出. 【详解】如图所示，，，故即为.      （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作向量：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据向量的数乘运算发则，向量的加法减法法则即可求解. 【详解】（1）设， 根据数乘的几何意义可得，如图, （2）根据向量的减法三角形法则可得，如图， （3）先做出，再由向量加法的三角形法则得到，如图， （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，求作向量，．小试牛刀1 【答案】见解析 【分析】根据向量数乘的定义可作向量，. 【详解】若向量为图（1），则 为： 为： 若向量为图（2），则： 为： 为： （24-25高二·上海·假期作业）已知向量，如图，作向量.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】根据向量数乘运算和平行四边形加法法则作图，得到答案. 【详解】如图，作法： 1. 任取一点O，作； 2. 作平行四边形OACB，于是即为所求作的向量. （24-25高一·全国·课后作业）如图，已知向量，，求作下列向量：小试牛刀3 (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】利用平行四边形法则求解即可. 【详解】（1）由题意可知，和分别如下图所示： 将和的起点相接，并以两向量为边作平行四边形，如下图所示： 则平行四边形的对角线所形成的向量为. （2）由题意可知，和分别如下图所示： 将和的起点相连，并以两向量为边作平行四边形，如下图所示： 则平行四边形的对角线所形成的向量为. 【题型2：向量数乘运算的直接计算与化简】 【练方法】 知识梳理 1.核心运算律（为实数，为向量） 结合律： 分配律1： 分配律2： 2.常用结论 （相反向量） ， 若且，则 3.运算优先级：先数乘，后加减，有括号先算括号内的向量运算 解题思路 1.直接计算类：代入已知向量的模和方向，按数乘定义计算模，确定方向，最终表示为向量形式 2.化简类 步骤1：利用分配律展开括号，将数乘分配到每个向量上 步骤2：利用结合律合并同类系数（如） 步骤3：消去零向量，合并相反向量，得到最简向量表达式 （24-25高一·全国·随堂练习）求下列未知向.经典例题1例题 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量数乘运算求解. 【详解】（1）由得， 所以. （2）由得， 所以. （3）由得， 所以. （24-25高一·全国·课堂例题）计算：经典例题2例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式. （23-24高一·湖南·课后作业）化简：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （24-25高一·江苏·课后作业）计算4()﹣3() .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据向量的加减的几何意义即可求出． 【详解】4()﹣3()(4﹣3)(4+3﹣1)， 故答案为： （24-25高一下·福建宁德·期中）设向量满足，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【题型3：向量数乘运算的基本概念判断】 【练方法】 知识梳理 1.核心概念辨析 数乘结果的属性：数乘的结果是向量，而非数量 共线性：与必共线（） 等价性：若（为实数，），则 2.易错边界 零向量的数乘：无论为何值， 系数为零：，与的模和方向无关 解题思路 1.属性判断：紧扣“数乘结果是向量”，排除“数乘为数量”的错误表述 2.共线判断：验证是否存在实数，使得一个向量等于另一个向量的倍（注意非零向量前提） 3.模与方向判断：根据的符号判断方向，根据判断模的伸缩比例，逐一验证选项 【多选题】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量为非零向量，是非零实数，则下列说法错误的是（    ）.经典例题1例题 A．与方向相反 B．与方向相同 C． D． 【答案】ACD 【分析】由向量数乘概念可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，与方向相同，故A错误； 对于B，当时，，则与方向相同，故B正确； 对于C，当且，即时， ，故C错误； 对于D，表示的模，为实数，表示一个向量，两者不相等，故D错误. 故选：ACD 【多选题】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知是不重合的三点，则下列结论正确的是（   ）经典例题2例题 A． B．与共线的单位向量是 C．若，则共线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】A根据相反向量的定义判断；B利用向量的单位化可判断；C由共线定理可判断；D利用向量的减法运算可得即可判断. 【详解】由相反向量的定义可知A正确； 与共线的单位向量是，故B错误； 由向量共线定理可知，共线，又有公共点，则共线，则C正确； 由可得，所以，D正确. 故选：ACD. 【多选题】（24-25高三下·广东肇庆·月考）下列叙述命题错误的是（    ）小试牛刀1 A．若，则与的方向不一定相同 B．若，则 C． D．若非零向量与方向相同或相反，则与，中之一向量的方向相同 【答案】BCD 【分析】当与中至少有一个为零向量时可判断A；当时可判断B；由向量的加法为向量判断C；当时判断D. 【详解】对于A，当与中有一个为零向量时，与方向不一定相同，故A正确； 对于B，当时，，但与不一定相等，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，与，方向不一定相同，故D错误. 故选：BCD 【多选题】（24-25高一下·甘肃平凉·月考）下列说法中不正确的是（    ）小试牛刀2 A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 【答案】ABC 【分析】根据向量数乘以及共线的相关概念，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，，此时其方向是任意，故A错误； 对于B，当时，不存在，故B错误； 对于C，由题意可作图如下： 显然，但的夹角为，故C错误； 对于D，根据向量数乘的相关概念，故D正确. 故选：ABC. 【多选题】（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ）小试牛刀3 A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C. 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 【B·能力提升题型】 【题型1：几何图形中的向量表示】 【练方法】 知识梳理 1.核心关联：数乘运算可表示几何图形中的分线段、平行线对应的向量 2.常用结论 线段中点：若为中点，则， 定比分点：若，则 平行线：若，则（为实数） 3.表示原则：以图形的顶点为向量起点，利用数乘表示分线段向量，结合向量加减法整合表达式 解题思路 1.定位目标向量：明确需表示的向量及其起点、终点 2.找数乘关系：结合图形中的中点、定比分点、平行线等性质，确定目标向量与已知向量的数乘系数 3.整合表达式：利用向量加减法，将数乘向量与已知向量结合，得到目标向量的最终表达式 （25-26高一上·山西忻州·期末）如图，在中，，，若，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. （2026·江苏镇江·模拟预测）在中，，，若，，则（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量线性运算求解即可. 【详解】设交于， 因为，，    所以，， 则, 故选：A （25-26高二上·贵州遵义·期末）在平行四边形中，，，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到即为的中点，，从而得到. 【详解】，故， 即为的中点，所以与相交于点， 又，，所以，， 故. 故选：B （24-25高一下·辽宁朝阳·月考）如图，在中，，E是CD的中点.设，.则 .小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. （24-25高一下·山东潍坊·期中）在四边形中，，设.若，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】作出草图，过作，又，可得四边形是平行四边形． ，根据．可得 ，又，可得，据此即可得出结果． 【详解】如图所示，过作，又． ∴四边形是平行四边形． ， 又， ， 又，则. 故选：B．    【题型2：向量共线（平行）判定与应用】 【练方法】 知识梳理 1.共线定理：向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 2.核心推论 若且，则（单位向量共线） 若且不共线，则 3.应用场景：判定两向量是否平行、利用共线求参数值、证明向量平行 解题思路 1.判定共线 步骤1：排除零向量（零向量与任意向量共线） 步骤2：对非零向量，尝试求解实数，验证是否成立 2.求参数值 步骤1：根据共线定理列出等式，将向量用坐标或已知表达式表示 步骤2：根据向量相等的条件（横、纵坐标分别相等），列方程组求解和目标参数 3.证明平行：将待证平行的两个向量表示为已知向量的数乘形式，证明存在实数满足共线条件 （24-25高一上·上海·课后作业）已知，在中，，，求证：，且.经典例题1例题 【答案】证明见解析 【分析】利用向量数乘及向量之间共线的概念即得. 【详解】证明：因为， 所以， 故，且. （24-25高一下·湖北武汉·期中）已知是两个不共线的向量，向量.若 ，则 .经典例题2例题 【答案】-2 【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 （2025高一·全国·专题练习）在五边形中，点分别是的中点，点和分别是和的中点，求证：且．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】法一：由向量的加法和数乘运算得到，证明结论； 法二：设为平面上任意一点，由向量的减法和数乘运算得到，证明结论； 法三：连结，取的中点，连结，由向量的加法和数乘运算得到，证明结论. 【详解】法一：因为， 所以，即， 所以且． 法二：设为平面上任意一点， ， 所以且． 法三：如图，连结，取的中点，连结． ， 则且． （24-25高一下·重庆·月考）设，是两个不共线的向量，已知，，.小试牛刀2 (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)9. 【分析】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【详解】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. （24-25高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．小试牛刀3    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，根据三点共线可得，利用“1”的代换可求的最小值. （2）根据向量的线性运算可得，故可证. 【详解】（1）由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. （2）    由，则，即， ， 所以，又三点不共线，所以． 【题型3：三点共线的证明】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：三点共线的充要条件是存在实数，使得（或） 2.等价表述 存在实数，使得（为平面内任意一点） 若与有公共起点且共线，则三点共线 3.证明核心：将三点对应的向量转化为共线向量的判定问题 解题思路 1.方法一（向量共线法） 步骤1：计算和（或和） 步骤2：证明存在实数，使得 步骤3：结合公共点，得出三点共线的结论 2.方法二（系数和法） 步骤1：将表示为和的线性组合 步骤2：证明，即可推出三点共线 （2026高三·全国·专题练习）已知任意两个不共线向量，且，，，求证：A，B，C三点共线．经典例题1例题 【答案】证明过程见解析 【分析】运用平面向量共线定理进行证明即可. 【详解】因为，， 所以， 因此A，B，C三点共线. （25-26高一上·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.经典例题2例题      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. （2025高一·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点是的中点，点在上，，求证：三点共线.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】证法1：利用三点共线判定定理，列出的关系式，判断其系数之和是否为1； 证法2：连结且与相交于点，利用几何关系可证明和为同一点. 【详解】证法1：因为，所以三点共线． 证法2：连结且与相交于点， 因为，所以． 又因为是的中点且， 所以，即， 又因为， 所以和为同一点，所以三点共线． （24-25高一下·广东韶关·月考）已知两个非零向量与不共线，且．小试牛刀2 (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)三点共线，证明见解析 【分析】（1）对于向量的线性运算，依据向量的数乘和加减运算法则进行；（2）判断三点共线则是通过证明两个向量共线且有公共点来实现. 【详解】（1）由题意得， . （2）A，B，C三点共线． 理由如下：因为， ， 所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线. （24-25高一下·河南·月考）在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题．小试牛刀3 (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，，，，，． (3)证明见解析 【分析】利用数形结合，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】（1） 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故． （2） 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． （3） 证明：设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 故E，M，F三点共线. 【C·拓展培优题型】 【题型1：与三角形“心”的综合问题】 【练方法】 知识梳理 1.三角形“心”的向量数乘特征 重心：；若为重心，则 外心：（外接圆半径） 内心：（为的三边） 2.核心工具：向量数乘的运算律、共线定理、三角形“心”的定义 解题思路 1.重心问题：利用重心的数乘特征，结合数乘运算律化简向量式，求解参数或证明结论 2.内心问题：结合角平分线的数乘关系（如），利用数乘运算整合向量，关联边长关系求解 3.外心问题：利用外心的模相等性质，结合数乘的模的计算公式，联立几何条件求解参数或证明共线、垂直关系 （24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ）经典例题1例题 A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 【多选题】（24-25高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式成立的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答. 【详解】如图，为的重心，D为BC的中点， 因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确； ，则，B正确； ，C正确. ，D不正确； 故选：BC 【多选题】（2024·辽宁·二模）的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（    ）小试牛刀1 A．三点共线 B． C． D．点在的内部 【答案】AC 【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断． 【详解】 ， 因为点为的重心， 所以，所以， 所以三点共线，故A正确，B错误； ， 因为， 所以，即，故C正确； 因为， 所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误； 故选：AC． （24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．小试牛刀2    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    （2023高一·全国·单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则 .小试牛刀3 【答案】4 【分析】由向量的平行四边形法则，由向量共线，是的重心，可得，代入可得. 【详解】 因为的中点，所以， 因是的重心，所以，所以 ， 故， 故答案为：4 【题型2：综合证明与探索性问题】 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且，则P在内部，外部，还是哪条边上？经典例题1例题 【答案】P在边上 【分析】根据给定条件，利用向量减法，结合共线向量的意义即可得解. 【详解】在中，，则有， 因此，即且方向相反，又共起点，所以P在边上． （24-25高一上·上海·课堂例题）如图所示，两射线与交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内（不含边界）的有（    ）经典例题2例题 ①；②；③；④. A．①② B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F，则由共线定理得，，然后逐个验证即可. 【详解】依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接交于点F， 则有，其中，. 因为， 所以①，满足条件； ②，满足条件； ③，不满足条件； ④，不满足条件. 故选：A. （23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：小试牛刀1    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断. 【详解】若，则点是的重心，则有， 所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确， 由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误. 故选：A 【多选题】（23-24高三上·安徽·月考）已知，若点满足，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．点一定在内部 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，再根据面积关系判断C、D，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确； 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 所以，故D错误； 故选：ABC （24-25高一下·山东枣庄·月考）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可. 【详解】A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G是重心，所以，所以， 同理,所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确. 故选：ABD    课后针对训练 【A·基础达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京房山·期末）在平行四边形中，为边的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 4．（25-26高三上·山东·期中）已知向量不共线，，则 是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可. 【详解】因为向量不共线，可知均非零向量， 由，可知，则，满足充分性； 若，则，即，所以，解得， 满足必要性， 所以是“”的充要条件. 故选：C 5．（25-26高二上·湖南邵阳·开学考试）已知在平行四边形中，，，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法计算，再由平行四边形对边相等得解. 【详解】因为在平行四边形中， 所以， 又因为， 所以. 故选：D 6．（24-25高一下·广东佛山·期末）已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理即可求解. 【详解】向量，是两个不共线的向量，， ，存在唯一实数使得，即， ，. 故选：A. 7．（2025·湖南邵阳·三模）设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 二、多选题 8．（24-25高一上·河北·月考）如图，平行四边形的对角线，交于点O，且，点F是上靠近点D的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图形中的几何性质，利用向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则，所以，易知，所以， 由点F是上靠近点D的四等分点，则， . 故选：AC. 三、填空题 9．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 10．（2025高三·全国·专题练习）已知的三个顶点及所在平面内一点满足，与的面积分别为，则 . 【答案】 【分析】只需得出即可得解. 【详解】在中插入分点，得，即，进而可知. 故答案为：. 11．（24-25高一下·内蒙古呼伦贝尔·月考）在中，为上的一点，满足．若为上的一点，满足（，），则与的关系为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算及三点共线的性质即可求解. 【详解】，所以， ， 因为三点共线， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上·北京·月考）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 . 【答案】3 【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值. 【详解】已知，根据向量的减法法则， 则.因为，又，所以，移项可得. 由于，那么，所以. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一下·全国·课后作业）设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可； （2）由共线向量定理求出参数即可. 【详解】（1）证明：， 而， 与共线，且有公共点， ，B，C三点共线． （2）与共线， 存在实数，使得，即． 与不共线，，解得， ． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）如图，已知的两边、的中点分别为M、N，在延长线上取点P，使，在的延长线上取点Q，使.试用向量方法证明：F、A、Q三点共线.    【答案】证明见解析 【分析】根据给定的条件，利用向量加法计算得，即可推理得出结论. 【详解】依题意，， ， 因此，而有公共点，所以P、A、Q三点共线. 【B·能力题型检测】 一、单选题 1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）如图，在中，是上靠近点的四等分点，是上一点，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量共线定理的推论即可求解. 【详解】因为是上靠近点的四等分点， 所以， 则， 因为三点共线，则， 解得. 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁·开学考试）若，，分别表示，的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到，所以三点共线，根据面积关系得到. 【详解】如图，设分别是的中点． 因为，所以， 即，所以三点共线， 又，故， 为的中位线，故，故， 又，， 所以． 故选：D 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即， 又向量不共线，所以，整理，得， 由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故选：B． 4．（24-25高一上·湖北宜昌·期末）已知是平面上不共线的三点，是的重心(三条中线的交点)，边的中点为.动点满足，则点一定为的（    ） A．线段的中点 B．线段靠近的四等分点 C．重心 D．线段靠近的三等分点 【答案】D 【分析】根据重心的性质，结合平面向量的线性运算化简求解即可. 【详解】由是的重心，得，， 则， 所以点为的线段靠近的三等分点. 故选：D 5．（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【详解】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 6．（24-25高一下·安徽六安·期末）已知为内一点，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，的中点，连接，，利用题中条件，化简得到与的关系，即可得到结果. 【详解】如图，设,分别为，的中点，连接，，则， ， , 故点在上， ， ， ， 到的距离等于到的距离的， 为， 故选：. 二、多选题 7．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）设为内一点，已知，分别为中点，则下列说法正确的是（   ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】BD 【分析】由，可得，即可判断A；得出的关系，即可判断B；将的面积转化为的面积即可判断CD. 【详解】由， 得，故A错误； 对于B，因为分别为中点， 所以， 则， 所以，所以， 又为公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C，由，得， 则， ， 所以，故C错误； 对于D，由C得，故D正确. 故选：BD. 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可. 【详解】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确； 故选：AD. 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知 是平面内的两个单位向量，且，则的值可能为（　　） A． B． C． D．1 【答案】CD 【分析】设，可得，，将转化为，结合图形即可求出最小值，进而求解. 【详解】 如图，设，则，设，易知在直线上，由可得， ，，又，则， 过作，易知，又，故， 结合选项，可能取值为或. 故选：CD. 三、填空题 10．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】利用向量加减法的平行四边形法则作图，由题意转化为求的最小值即可得解. 【详解】设，则，如图， ，，， 即， ，，， 即， ， 设， 则， 由在直线上，可知当时，最小， 此时， 故的最小值为. 故答案为： 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点、在内，，则 . 【答案】 【分析】解法一：由平面向量的线性运算得出，再由已知条件得出，代入可得出、的关系，即可得解； 解法二：根据奔驰定理可得，，可推导出，由此可得出，即可得解. 【详解】解法一：因为， 则， 所以，， 又因为，即，即， 从而可知， 因此，； 解法二：由奔驰定理得， ，    又因为， 则，， 所以，，所以，， 又因为，，所以，. 故答案为：. 12．（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若为的垂心，，则＝ ， ． 【答案】 / 【分析】依题意可得，设为的中点，为的中点，则，即可得到三角形面积之比，从而得到，，设，，表示出、，根据求出，即可得解. 【详解】因为，所以， 设为的中点，为的中点，则，， 所以， 所以为的中位线，且，所以为的中点，所以， 又，，所以，所以， 所以， 同理可得， 所以，， 又为的垂心，， 设，，则，， 所以，即，所以，则 所以，所以， 故答案为：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $