6.4.3 余弦定理、正弦定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第六章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍. （【作用】已知两边及其夹角求出第三边） 公式表述 , ,（【巧记】_____________________________________） . 推论 ，, . 6 知识剖析 对余弦定理的理解 1.余弦定理对任意的三角形都成立. 2.在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程 思想可以求得第四个量. 3.余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边求其内角 的问题.根据角的余弦值符号还可以判断所求角是锐角还是钝角. 4.余弦定理的常见变式：， （ ）.#1.1.1.4 . . . . . . 7 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P43例5](2025·江苏省镇江第一中学月考)在中，内角，， 的对边分别为，，，若，， ，则 ( ) B A.3 B. C. D. 【解析】因为，， ， 所以 . 8 例1-2 (2025·河南省许昌高级中学月考)在中，角，，的对边分别为 ， ，，若，则角 的值为( ) A A. B. C.或 D.或 【解析】由余弦定理的推论知 , 又 （【注意】三角形中角的范围）,故 . . . 9 知识点2 正弦定理 1 正弦定理的表示 在中，若角，，对应的边分别是，， ，则各边和它所对角的正弦 的比相等，即 （【重点关注】各边与其对角的正弦严格对应，主 要功能是实现三角形中边角关系的互化）. . . 10 1 正弦定理的常见变形 在中，由正弦定理得 （【释疑解惑】 的几何意义 是外接圆的直径），则,, ，由此可得正 弦定理的下列变形： （1）,,,,, ; （2） （等比定理）; （3） . . . . . 11 特别提醒 为外接圆的半径 的两种变形应用： （1）（边化角）,, ; （2）（角化边）,, . 12 发散探讨 我们知道，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系， 你能用正弦定理进行推导吗？ 在中，设角，所对的边分别为，，由正弦函数在区间 上的单调 性可知： （1）当,都为锐角时,若,则,由正弦定理 知 ； （2）当,中一个为锐角，另一个为钝角时,不妨设,由于 ,即 ,所以,即,由正弦定理 知 ; （3）当,中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设 ，则由斜边大于直 角边知 . 综上可知，在中，若,则.反之，若,则 也成立.#3.1.4 . . . . . . . . . . 13 例2-3 [教材改编P48 T1（2）](2025·陕西省汉中市期末)已知中， , ,，则 ( ) A A. B.或 C. D.或 【解析】由正弦定理 ， 可得，解得 . 因为，所以，所以 . 14 例2-4 [教材改编P47例7]在中， ， ， ，已知 ，则 中最小边的边长为( ) B A.2 B.4 C. D. 【解析】由题知 ， 由三角形的边角关系小角对小边，可知最小的边长为 ， 由正弦定理 ， 得 ， 即，所以 中最小的边长为4． 15 知识拓展 熟记一些特殊角的正、余弦值，可快速解题： , . （利用诱导公式可以求得 与 的正、余弦值） 例2-5 在中， ,,则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】（利用正弦定理的变形（2）） . . . 16 例2-6 在中，若，,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】利用正弦定理化简，得 （角化边）， ， ． . . 17 知识点3 解三角形 1 解三角形的概念 一般地，三角形的三个角,,和它们的对边,, 叫做三角形的元素.在三角形 中，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2 余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： （1）已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角; （2）已知三边，求三角形的三个角. 特别提醒 余弦函数在 上单调递减，此时，由 来确定 是唯一的，因此,用余弦定理求解三角形 的内角时就不必分情况讨论了. . . . . 18 3 正弦定理在解三角形中的应用 由正弦定理知，，， .上述的 每一个等式都刻画了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，都可 “知三求一”，于是正弦定理可以用来解决以下两类解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. . . . . 19 4 解三角形时的隐含条件 （1）在中，，; , ;; . （2）在中，, ； ； . （3）若为锐角三角形，则 （还可以得出 ）,即锐角三角形中任意角的正弦值都大于其余角的余弦 值，于是有 . . . 20 例3-7 ［教材改编P43例5］在中，若，， ，则 _ __. 【解析】由余弦定理得 ， 即 , 又，所以 . 所以 . 21 例3-8 [教材改编P47例8]在中，，，，则角 等于( ) C A.或 B. C. D. 【解析】由正弦定理，得 . 因为，所以 ,（利用三角形中“大边对大角”来判断角的范围，从而确定 三角形是有两解还是只有一解）则 , 故 . 点评 教材例题所求角有两个值，本题所求角只有一个值，注意体会其中不同之处. . . 22 例3-9 在中，角，均为锐角，且 ，则( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，又角， 均为锐角，则 ，所以，在中， ， 所以 ,所以 ． 23 知识点4 测量问题 1 测量距离问题的基本类型和解决方案 当的长度不可直接测量时，求 的距离有以下三种类型：#1 类型 简图 计算方法 , 间不可 达也不可视 测得,, 的大小,则由余弦定理得 . ，与点 可视但不可 达 测得,,的大小,则 ，由正弦 定理得 . 24 类型 简图 计算方法 ， 与点 ， 均可视 不可达 测得及,,, 的度数.在 中，用正弦定理求;在 中,用正弦定理 求;在中,用余弦定理求 . 说明 在测量过程中，把根据测量的需要而确定的线段叫做基线（取定的点叫 做测量基点），为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度. 一般来说，基线越长，测量的精确度越高.#1.1.1 续表 25 2 测量高度问题的基本类型和解决方案 当的高度不可直接测量时，求 的高度有以下三种类型：#1 类型 简图 计算方法 底部可达 测得, 的大小, . 底部不 可达 点与， 共线 测得及 与 的度数. 先由正弦定理求出 或 ，再解直角三角 形得 的值. 26 类型 简图 计算方法 底部不 可达 点与， 不共 线（【教材链 接】此处回答了 教材第50页 【？】） 测得及 , ， 的度数. 在 中由正弦定理 求得 ，再解直角三 角形得 的值. 续表 27 3 测量角度问题 测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位 角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念. 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角 形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.#1.1 28 知识回顾 涉及的有关术语 #1.2.1 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平角叫做方位角. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的 锐角,通常表达为北偏东（西）、南偏东 （西） 度. 北偏东 或东偏北 . ____________________ 29 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在同一铅直平面内，目标视线与水平视 线所成的角中,目标视线在水平视线上方 的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的 叫做俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角. 设坡角为 ,坡度为 ,则 . ___________________________________ 坡度 坡面的垂直高度和水平宽度 的比. 续表 30 图6.4.3-2 例4-10 如图6.4.3-2，在高速公路建设中需要确定隧道的长 度，工程技术人员已测得隧道两端的两点，到点 的距 离，且 ，则， 两点间的距离 为 ( ) A A. B. C. D. 【解析】在中，易得 ，由正弦定理 ,得 . 31 例4-11 [教材改编P49例10](2025·广东省广州市三校期中)如图6.4.3-3所示，为测量一 棵树的高度，在地面上选取，两点，从，两点测得树尖的仰角分别为 和 ,且，两点之间的距离为 ，则树的高度为( ) A 图6.4.3-3 A. B. C. D. 32 【解析】 在中，由正弦定理可得 , 则 . 设树的高度为，则 . 设树的高度为,则 , 解得 . 33 例4-12 [教材改编P50例11](2025·黑龙江省牡丹江市第二高级中学月考)甲船在湖中 岛的正南方向的处，，甲船以 的速度大小向正北方向航行，同时 乙船自岛出发，以的速度大小向北偏东 方向驶去，则行驶 时， 两船间的距离是_____ . 34 【解析】如图6.4.3-4，设行驶时，甲船到达点，乙船到达 点. 图6.4.3-4 由题意知 , ， . 在 中，由余弦定理得 . . . . ，所以 ，即两船间的距离为 . 35 变式： 其他条件不变的情况下，求两船相距最近时它们的航行时间. 提示 设经过两船相距最近，甲、乙分别行至，，①假设此时甲未行驶过 岛， 则， ，由余弦定理得 ，可 知当 时，两船相距最近. ②假设此时甲已行驶过岛，则,同理可得 ,舍去. . . 36 释疑惑 重难拓展 知识点5 余弦定理与勾股定理的关系 （1）若，根据余弦定理的推论可知，则 为 锐角. 教材深挖 本知识点是教材第43页第二个【思考】的详细解答. 同理可得：若，则 为锐角； 若，则 为锐角． 所以当，且时， 是锐角三角形．#1.1.4 37 （2）若，根据余弦定理的推论可知 ，则 是钝角三角形且 是钝角． 同理可得： 若，则是钝角三角形且 是钝角； 若，则是钝角三角形且 是钝角． （3）若，根据余弦定理的推论可知，则 是 直角三角形且 是直角． 同理可得： 若，则是直角三角形且 是直角； 若，则是直角三角形且 是直角． 综上可知，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.#1.4 38 例5-13 (2025·浙江省义乌中学月考) 在中，若 ，则 的形状是( ) C A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 【解析】在中，设角，，的对边分别是,,，由正弦定理得 ， 从而,因为 ,所以 是钝角， 故 是钝角三角形． 39 例5-14 (2025·四川省眉山市期末)已知锐角三角形的边长分别为2，4，，则实数 的 取值范围是___________. 【解析】由题意可知,三个内角的余弦值都大于0，从而 解得,所以 . 40 知识点6 对三角形解的个数的探究 【教材深挖】本知识点是对教材第47页【例8】的深挖. 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,三角形被唯一 确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、 两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.（因为互补的两角正弦值相等，所以需 关注边的大小，进而判断三角形解的个数） 41 1 从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角 形解的情况，下面以已知,和 ,解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： （1）若 ，则满足条件的三角形个数为0； （2）若 ，则满足条件的三角形个数为1； （3）若 ，则满足条件的三角形个数为1或2. 显然由可得有两个值，一个大于 ，一个小于 ， 考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于 ”等，此时需进行讨论. 42 特别提醒 三角形解的个数也可由三角形中“大边对大角”来判定.不妨设 为锐角，若 ，则，从而为锐角，有一解.若，则 ，由正弦定理得 :，即，无解； ，即 ,一 解；,即 ，两解. 43 2 从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角 形解的情况，以已知,和 ,解三角形为例加以说明. 用几何法探究步骤:①先把未知边画为水平的,作出已知角,角的另一条边为 ； ②以边的另一端点为圆心,为半径作圆;③观察圆与边 交点的个数,便可得此三 角形解的个数.解的个数见下表.#1 图形 关系式 解的个数 为锐角 ； 一解 44 图形 关系式 解的个数 为锐角 两解 无解 续表 45 图形 关系式 解的个数 为钝角或直角 一解 无解 续表 46 例6-15 不解三角形，下列说法中正确的是( ) B A.,, ,有两解 B.,, ,有一解 C.,, ,有两解 D.,, ,无解 【解析】A中 ，有一解； B中 , ，有一解； C中 ，无解； D中 ，有两解. 47 点评 （1）在中，,故 . ,,.这是已知,, 解三角形时，判断三角形解的 个数（1或2）的前提. （2）解三角形时，可以先求出 的值并与1进行比较，再结合已知条件判断三角 形解的个数. 48 例6-16 (2025·陕西省咸阳市期中)在中，,, ,那么此三角 形( ) C A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 【解析】 由正弦定理和已知条件，得, . , 此三角形无解. , , ，故此三角形无解. 作 ,,以为圆心， 为半径画圆（图略）， 该圆与 无交点，则此三角形无解. 49 例6-17 (2025·福建省莆田第四中学月考)在中， , ，若满足条件 的三角形有两个，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】因为满足条件的三角形有两个，所以 , 将 , 代入， 解得 . 50 知识点7 三角形的面积公式 1 常用的三角形的面积计算公式 （1）,,分别为边,,上的高 . （2）将,, 代入上式可得 ，即三角形的面积等于任意两边与它们夹 角的正弦值乘积的一半. 教材链接 事实上，公式（2）解答了教材第53页【习题6.4】第10题. . . 51 2 三角形的其他面积公式 （1），其中,分别为 的内切圆半径及 的周长. （2）,, . （【教材链接】此处证明了教材第53页【习题6.4】第18题） 证明 因为，所以 ，同理可证 其他两个等式. 52 （3）为外接圆的半径 . 证明 将代入 可得 ，将,, 代入 ,可得 . 53 （4）海伦公式：,其中 . （【教材链接】链接教材第54页【习题6.4】第20题和第55页【阅读与思考】） 证明 根据余弦定理的推论得 ,所以 .令 ，整 理得 . （5） （三角形面积公式的向量形式）,其中 , . （6） （三角形面积公式的向量坐标形式）,其中 , . . . . . 54 例7-18 (2025·河北省新乐市第一中学月考)已知的内角，， 所对的边分别 为,,，且, ，则 的面积为( ) C A. B. C. D. 【解析】将与联立,解得 , 则 . 55 例7-19 已知半径为4的圆的内接三角形的面积是，中角，， 所 对的边依次为，，,则 的值为( ) A A.1 B. C.2 D.4 【解析】 由三角形的面积公式,得 . 由正弦定理可知 ， ， . 易知 ， 则 . 56 例7-20 已知三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积 为 ( ) B A. B. C. D.10 【解析】 令 ， 则 . 设边，，所对的角分别为,, ，则依据余弦定理的推论可得 ，从而 ，所以三角形的面 积 . 57 知识点8 三角形中的射影定理 在中，角,,的对边分别为,,,则 , , . 证明 （用余弦定理证明） .同理可得 , . （利用三角形内角和定理与正弦定理证明） 在 中，由于 ，由正弦定理， 将角化边可得.同理可得, . 58 图6.4.3-1 （借助图形证明） 如图6.4.3-1，在中， 是边上的高，则, ，从而 .同理可得 , .（钝角三角形和直角三角形类似可证） 注意 解答题中直接使用该结论会扣步骤分，但是利用该 结论，可以快速解答选择题和填空题，节省考试时间. 59 例8-21 (2025·江苏省淮安市期末) 在中，角，，的对边分别为，，，面积为.若 ，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 （射影定理法） 由 及射影定理得 . 又 ， 所以，即 . 因为，所以 . 60 （余弦定理法） ，所以 ，解得 . 因为，所以 . （正弦定理法） 因为， ，所以 ，即 ， 所以由正弦定理得， ， 又，所以 . 因为，所以 . 61 题型解析 03 题型1 解三角形 1 已知两角和任意一边 例22 ［教材改编P48 T1（1）］在 中，根据下列条件解三角形： （1）, , ; 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有 , 代入数据得到，需熟记 解得， . . . 63 （2） , , . 【解析】由三角形内角和定理得 ,解得 . 由正弦定理，有,代入数据得 ,解得 , . 64 名师点评 已知两角和任意一边时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三角形全 等的判定定理 是一致的. 65 2 已知两边及其夹角 例23 ［教材改编P44 T1］在中，，， ，解这个 三角形. 【解析】由余弦定理得 ，（【破题点】巧妙配凑成完全平方式是解题的 关键）即 . 由正弦定理,得，解得, , 且 ，所以 ， . （【另解】此处也可以只用求出角，然后再利用三角形内角和定理得到角 ） 名师点评 已知三角形的两边及其夹角时，三角形唯一确定，这与我们初中所学的三 角形全等的判定定理 一致. . . 66 3 已知两边和其中一边的对角 例24 ［教材改编P48 T2（1）］已知 中的下列条件，解三角形： （1）,, ; 【解析】由 , 得 ， 所以 ，即 为直角三角形. 所以 ， . （2）,, ; 【解析】因为,所以 ,所以三角形无解. 67 （3）,, . 【解析】 因为 , 所以 ,所以三角形有两解. 由正弦定理得 ， 所以 或 .（【易错点】此处在求得角的正弦值后容易默认角 是 锐角，从而导致漏解） 当 时， ,此时是直角三角形，且 为斜边， ; 当 时， ,此时 为等腰三角形，由等角对等边可知， . 故 ， ,或 , , . . . 68 由余弦定理，得,解得或 . 当时，因为, ,所以 , ， 当时，因为 ,（【另辟蹊径】此处若不能发现此关系，则既可以利 用正弦定理求解角, ,也可以利用余弦定理求解） 所以 ， . 综上， ， ，或 ， ， . . . 69 思路点拨 本题的条件是两边和其中一边的对角，解这类问题时，必须进行三角形 解的个数的判断（无解，一解，两解，具体参考知识点6）. 名师点评 根据第（3）小题的解答可知，图6.4.3-5中的 都满足第（3）小题的 条件.事实上，这与我们初中所学的 不能作为三角形全等的判定定理一致. 图6.4.3-5 70 4 已知三边 例25 [教材改编P44 T2]在中，，， ，解这个三 角形. 【解析】 由余弦定理的推论，得 , ， . ,且 ， ， . 71 同方法1求得 ， 可得 ， . 由正弦定理 , 得 ， ，且 ， , . 名师点评 已知三角形的3条边时，该三角形也是唯一确定的，可以求出该三角形的3 个角，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理 一致. 72 解三角形的基本类型及一般解法#1.1 基本类型 一般解法 已知两角和 任意一边， 如，， . （1）由三角形内角和定理 得第三个角; （2）由正弦定理 可计算另两边. 73 基本类型 一般解法 已知两边及 其夹角，如 ，， . （1）根据余弦定理，求出 ； （2）根据，求出 ； （3）根据，求出 . 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样可以使计算简便，应用正 弦定理求角时，为了避开讨论（因为正弦函数在区间 上是不单 调的），应先求较小边所对的角，它必是锐角. 续表 74 基本类型 一般解法 已知两边和 其中一边的 对角，如 ，， . （1）根据正弦定理，求 ； （2）求出后，由 ，求 ； （3）根据正弦定理，求出 . 注意利用正弦定理求角时，需根据大边对大角进行三角形个数的判断, 也可以根据余弦定理，列出以边 为未知数的一元二次方程 ，解方程求边 ，然后应用正弦定理 或余弦定理，求出其他元素. 已知三边. 可以连续用余弦定理求出两角，再由 ，求出第三个角; 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，这时 可先求较小边所对的角. 续表 75 【学会了吗丨变式题】 1.在中，，， ，则 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】在中，由余弦定理可得 ,而 ,, ,整理可得,,解得 . 76 2.(2025·河北省衡水市武强中学期中)在中，,, ,则 ( ) D A.72 B. C. D.30 【解析】因为,所以 . 同理得 . 由得 . 77 3.(2025·北京市朝阳区期中)在中，,,,则___, _ ___. 【解析】根据余弦定理得 ,解 得.由,,,得，所以 . 78 4.在中，为边的中点，，，，则 为( ) B A. B. C. D. 79 图D 6.4.3-1 【解析】如图D 6.4.3-1所示，延长至点，使得 ，连 接，，可得四边形为平行四边形，则 ， （【扫清障碍】构建平行四边形，利用平行四边形的性质：对边 平行且相等，对角线互相平分，得到三角形的三边） 又，，所以在 中，由余弦定理的推论 可得 ,则 ,则 . （【学以致用】已知三角形三边，由余弦定理的推论可得三角形中的角，而所求角 与求得的角为同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，即得所求角） 80 题型2 余弦定理及其推论在特殊条件中的应用 1 聚焦条件齐次特征背景 例26（1）(2025·天津市静海区第四中学期中)若的内角,,的对边,, 满足 ，且 ，则 的值为( ) A A. B. C.1 D. 【解析】由，得 ，而 ，且 ，则 ②，由①②得 . 81 （2）在中，角，，的对边分别为,, ,若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得，，则 ,即 . 根据余弦定理的推论得 , 为的内角， . 82 （3）(2025·广东省深圳市期中)在中，角，，的对边分别为,, ，若 ,则角 的值为( ) A A.或 B.或 C. D. 【解析】由已知条件得,（【解惑】由正切函数的性质，可得 ） 即 , ,, . 为的内角，或 . . . 83 名师点评 余弦定理及其推论具有二次齐次结构特征，由于很多问题的题干条件往往 都是指向于三边满足的二次齐次恒等式，此时可借助余弦定理快速求角，如第（2） 小题中得到后可得 ，改变 前面的系数（常见的系数 为，，），会得到不同的 的值. 84 2 比例背景 例27（1）设的内角,,所对的边分别为,,,若,,则 __. 【解析】由,，可得，于是可设 ,则 ,，从而 . （2）(2025·上海市大同中学月考)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的 顶角的余弦值为__. 【解析】设顶角为，底边长为,另两边长分别为,, 周长, ，由 余弦定理的推论得 . 85 （3）(2025·四川省凉山州期末)已知的内角,,所对的边分别为，， ，且 ，则此三角形的最大角与最小角之和为( ) A A. B. C. D. 【解析】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. ， 设,, ， 则由余弦定理的推论得， ， 又 ， . ， ， 此三角形的最大角与最小角之和为 . 86 87 题型3 利用正、余弦定理实现边角互化 例28 (2025·福建省福州市期中)的内角，，的对边分别为，， ，若 ,，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】， 由余弦定理得，，整理得 ，即 . ， 由正弦定理得， ， ． 又 ， ， 又，是等边三角形， ． 88 例29 (2025·江苏省南京市期末)在中，角，，所对的边分别为,, .若 ，，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】由并结合正弦定理，可得 ，（通过正弦定理角化 边得到两边关系） ， 又 , . . . 89 解题时如何选择正、余弦定理 1.一般地，如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若遇到 的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则要考 虑两个定理都有可能用到． 2.正、余弦定理的本质是任意三角形的边与角满足的方程,它们能实现两类边角关系 的转化： （1）角的正弦齐次方程与边的齐次方程可互相转化； （2）角的余弦可转化为边的二次齐次分式. 90 【学会了吗丨变式题】 5.在中，角,,的对边分别为,,，已知 ，且 ,则 的值为___. 4 【解析】 在中，因为 ，则由正弦定理及余弦 定理的推论有，化简并整理得 . 又，所以，解得或 （舍去）. 91 由余弦定理得 . 又,，所以 ①. 又，所以 ，从而 ， 即 . 由正弦定理得 ②. 由①②解得 . , 同理,则由正弦定理得,解得 . 92 6.(2025·湖北省鄂州市第二中学月考)的内角,,的对边分别为,, .已知 ,,则 _ ___. 【解析】由正弦定理及 ，得 ，因为，所以 . 由余弦定理的推论得，（因为 ,所以 ,所以 ） 因为,所以 . . . 93 题型4 三角恒等变换背景下的解三角形 母题 致经典·母题探究 命题探源 条件中混有边角关系的问题 在解三角形问题中，有一类问题总是活跃在大家的眼前，使得众多同学“望洋兴叹”， 停滞不前，这就是解三角形与三角恒等变换的综合问题.对于此类问题，大多是边角 互化后基于三角形内角和定理 展开的，一般是通过正、余弦定理边 化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系（此时往往需要用到三角形内角 和定理替换角，达到减元的目的）， 进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解. 94 例30 已知,,分别为三个内角,,的对边, ， 则 ( ) B A. B. C. D. 给什么 得什么 题设给出三角形边角混合的恒等式，并且,, 是齐次的,因此考虑利用正 弦定理将等式中的边转化为角. 求什么 想什么 题目求的是角，观察等式结构，可利用三角形内角和定理将角替换为 和 . 差什么 找什么 此时恒等式仅含有角和角 ，再通过三角恒等变换和三角形中角的范围等 条件消去角，即得只含有角的等式，即求得角 . 95 【解析】由正弦定理及 ，可得 ,因为 ，所以 ， 于是 ， 整理可得 . 即 . 因为，所以 ,（【注意】不要随意约掉公因式，避免漏掉一些可能 情况） 所以 ， 即，于是 . 又，所以，即 . 96 母题探源 本题最早来源于2012年的高考试题，后来作为练习题在教材第54页【习题 6.4】第22题中呈现，考查了三角恒等变换、正弦定理边角互化等知识，下面给出两 道子题，巩固练习三角恒等变换背景下的解三角形问题. 97 子题 子题1 (2025· 湘豫名校联考)在中，，则 __. 【解析】 （边化角） 因为 ， 所以 ， 即 ， 由正弦定理得， ， 即 . 因为 ， 98 所以 ， 即 . 因为，所以 ， 因为，所以 ． （角化边） 由余弦定理的推论可得， , ， 因为,所以 . 子题2 (2025·山东省济南市期中)在锐角中，角，，的对边分别为，， ， 且，则 __. 100 【解析】因为 ,所以 ,整理得 , 由正弦定理得， , 故 , 由为锐角,得 . 101 题型5 三角形形状的判断 例31 (2025·广东省广州知识城中学月考)在 中，已知 ,且，试确定 的形状. 【解析】 （化角为边，利用边的关系来判断） 由正弦定理得 ,由 ，得 . 又， ， 即， . 又 ， ,, . 综上，, 为等边三角形. 102 （化边为角，利用角的关系来判断） 由， 【解惑】 得 , . 又与均为的内角， . 由 ,得 , . 根据余弦定理，上式可化为,得, , 为 等边三角形. . . 103 判断三角形形状的思路 1.转化为三角形的边来判断： （1）为直角三角形或或 ; （2）为锐角三角形且 且 ; （3）为钝角三角形或或 ； （4）按等腰或等边三角形的定义判断. 104 2.转化为角的三角函数（值）来判断： （1）若，则 , 为直角三角形； （2）若，则 为钝角三角形； （3）若且且,则 为锐角三角形； （4）若，则 , 为直角三角形； （5）若或，则, 为等腰三角形； （6）若,则或 , 为等腰三角形或直角三角形. 在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角 化边还是边化角应依具体情况决定. 105 【学会了吗丨变式题】 7.[多选题]在中，角，，的对边分别为，，，若 为非零实数 ，则下列结论正确的是( ) ABC A.当时，是直角三角形 B.当时， 是锐角三角形 C.当时，是钝角三角形 D.当时， 是钝角三角形 106 【解析】对于A，当时，，根据正弦定理不妨设 ， ，，,故 是直角三角形. 对于B，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 显然是等腰三角形,且为最大角，，说明 为锐角，故 是锐角三角形. 对于C，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 可得，说明为钝角，故 是钝角三角形. 对于D，当时，，根据正弦定理不妨设，， ， 此时 ，不能构成三角形，故结论错误． 故选 ． 107 题型6 正、余弦定理在几何图形中的应用 例32 (2025·湖北省武汉市华中师大一附中期末)已知,,分别为三个内角, , 的对边， ． （1）求角 ； 【解析】因为 ， 所以由正弦定理得 ， 又 ， 所以 ， 即 . 因为，所以 ， 所以 . 又，所以 . 108 （2）已知,，延长到点,，求 ． 图6.4.3-6 【解析】如图6.4.3-6，在 中， , 所以,所以 . 因为 ，所以 . 在 中，由余弦定理得， ， 所以 . 109 思路点拨 （1）根据正弦定理，结合三角形内角和定理及三角恒等变形求角 ； （2）在中，利用余弦定理先求，再求，即得 ，再在 中，利用余弦定理求 . 名师点评 题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未 知的关系，恰当选择三角形并利用正弦定理或余弦定理求解. 110 例33 (2025·江西省上饶市金桥学校月考)如图6.4.3-7所示,在平面四边形 中, ,,, ． 图6.4.3-7 （1）若,求 ； 【解析】在中，由正弦定理得,即 , 解得 ． 111 （2）若,求 ． 【解析】设,,在中, , . 在 中,由余弦定理的推论得 ． 又 , 所以 ,（此类题经常利用公共边创造的互余关系列式，体现了方 程思想的应用）即 ， 整理得,解得或（舍去）,即 ． . . 112 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻 找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用 公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角 的关系的方程. 113 【学会了吗丨变式题】 图6.4.3-8 8.(2025·湖南省长沙市周南中学入学考试)如图 ,在平面四 边形中,,, . （1）求 的值； 【答案】在 中,由余弦定理的推论,得 . 114 （2）若,,求 的长. 【答案】因为为四边形内角,所以 , 且,所以 , , 所以 , 在中,由正弦定理得,代入数据解得 . 115 题型7 正、余弦定理在实际问题中的应用 1 测量距离问题 例34 某基地进行对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距 的军事基 地和处测得蓝方两支精锐部队分别在处和处，且 , , , ,如图6.4.3-9所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离. 图6.4.3-9 116 给什么得 什么 长已知，根据 中的两角一边，由正弦定理及三角形内角和定 理可解三角形. 求什么想 什么 由题干分析可知，所求距离为长，可将其放在（或 中，用余弦定理求解. 差什么找 什么 余弦定理需两条边和一个角，在中，先求和 ，再由余弦定 理求 . 117 【解析】 . , , . 在中， ， 由正弦定理 , 得 . 在 中，由余弦定理得 , . 118 故蓝方这两支精锐部队间的距离为 . （【另解】先在中，由正弦定理求得，再在中，由余弦定理求得 ） 由题图可知，是等边三角形，且垂直平分，易知 . 由 ，可知 是等腰直角三角形，易得 . 名师点评 根据图形的性质可以简化步骤，因此求解涉及多个三角形的问题时，应尽 量选择已知条件较多的三角形,并恰当地利用图形的性质解题. 2 测量高度问题 图6.4.3-10 例35 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测 仪器的垂直弹射高度，如图6.4.3-10，在 处进行该仪器的垂直弹 射，观测点，两地相距,，在 地听到弹射声 音的时间比地晚.地测得该仪器在处时的俯角为 , 地 测得该仪器在最高点时的仰角为 ，求该仪器的垂直弹射高 度.（声音在空气中的传播速度记为 ） 120 【解析】由题意，设 ， 则 . 在 中，由余弦定理得 , 即，解得 . 在中，, , . 由正弦定理得 , 所以 . 故该仪器的垂直弹射高度为 . 名师点评 本题中涉及“俯角”“仰角”这样的术语，注意其反映在图形上的位置. 121 3 测量角度问题 例36 (2025·江西师大附中期中)一艘游轮航行到处时观察灯塔在的北偏东 的 方向上，距离为海里，灯塔在的北偏西 的方向上，距离为 海里， 该游轮由沿正北方向继续航行到处时再观察灯塔在其南偏东 的方向上，则 此时灯塔 位于游轮的( ) C A.正西方向 B.南偏西 方向 C.南偏西 方向 D.南偏西 方向 122 【解析】如图6.4.3-11，在中， ， 图6.4.3-11 由正弦定理得 ， 则 . 在中，因为, ，由余弦定理得 ，所以 . 由正弦定理得，解得， 故 或， 因为，故为锐角，所以 ， 此时灯塔位于游轮的南偏西 的方向上． 123 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形 （主要是三角形与四边形）问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉 及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形模型，在三角形中运用正弦定理或余弦 定理即可. 124 题型8 三角形的面积问题 1 求面积 例37 在中， ,,,则 的面积等于_____. 【解析】 （先求出已知两边的夹角，再利用三角形的面积公式 求解） 在中，根据正弦定理，得,所以 ，解得 .因为 ,所以 ，所以 ，所以 的面积 . 125 （先判断三角形的形状，再利用三角形的面积公式 底×高求解） 在 中，根据正弦定理，得 ， 所以，解得 . 因为 ,所以 ， 所以 ， 所以的面积 . 126 求三角形面积的解题思路 在应用三角形面积公式 求解时，一般是已知哪 个角就使用哪一个公式. 三角形的面积公式众多，在选用三角形面积公式时，应结合题目给出的条件，选择 最便捷的面积公式求解. 127 【学会了吗丨变式题】 9.如图6.4.3-12，在中，5，，，且 ，求 的面积． 图6.4.3-12 128 【答案】设，则 ， 在中，由余弦定理的推论可知 ， 解得，则， . 在中，由正弦定理可知 ， ， ． 的面积为 ． 129 10.(2025·浙江省名校新高考研究联盟二模)在中，设，， 的对边分别为 ，，，且， . （1）求 的值； 【答案】由三角形内角和定理可知，，得 ， 再由 ，利用正弦定理边化角得， ， 因为，所以有，则，即得 . 【另解】由射影定理可得,所以 ,即 ,所以 130 （2）若点在上，且，求 的面积． 图D 6.4.3-2 【答案】如图D 6.4.3-2，由 ，可得 ，在中，由正弦定理得 ， 即，得 ， 又 ， 所以 的面积 . 131 2 已知面积求其他量 例38 在中，内角，,所对的边分别是,,，且, . （1）若的面积等于，求, ; 【解析】由余弦定理，得 ①， 又的面积等于 ， 所以，所以 ②， 联立①②得方程组解得 132 （2）若，求 的面积. 【解析】由正弦定理及，得 ③， 联立①③得方程组 解得 所以的面积 ． 思路点拨 在分析题目的时候要注意三角形面积公式与余弦定理的特点， 与都含有 ，这正是解题的突破口. 133 【学会了吗丨变式题】 11.(2025·广东省深圳市高级中学期末)在中，角，，的对边分别为， ， ，已知的面积为，，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】由的面积为可得 . 由可得 . 因为，所以，，则 . 因为，所以， . 由余弦定理可知， ，即 . 134 3 面积的最值（取值范围）问题 例39 已知,,为的三边，且,，则 的面积的最大值为 _____． 【解析】的面积 .（利用三角形的面积公式得到面积的 表达式） 由余弦定理的推论得 . 因为，所以 ， （构建关于 的函数，利用二次函数性质求最值） 当且仅当时，取得最大值，为 , 故的面积的最大值为 . . . . . 135 例40 (2025·河南省濮阳市第一高级中学期中)如图6.4.3-13，半圆的直径为2， 为直 径延长线上一点，,为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形 .问点 在什么位置时，四边形 的面积最大？ 图6.4.3-13 136 【解析】设 .在中，由余弦定理，（四边形的面积由点 的位 置唯一确定，而点由唯一确定，因此设 是解题的关键） 得 . 四边形 的面积 . （将面积的最大值问题转化为三角函数的最大值问题） 因为 ,所以 ,（确定角的范围是求三角函数最值的前提） 所以当,即时，四边形的面积最大，最大值为 . . . . . . . 137 对于三角形中的面积最值（取值范围）问题，通常需要借助已知条件进行转化，构 建函数是常用的研究最值的方法，利用二次函数或者三角函数的有关知识进行求解， 但要注意其中变量的取值范围.另外，我们也可以借助基本不等式进行求解. 138 【学会了吗丨变式题】 12.在中，，，为三边，若，则 面积的最 大值为_ __. 【解析】由三角形面积公式可得的面积 , 可得 , 因为,所以 , 所以 , 当且仅当 时等号成立，所以当时，取得最大值,为 , 故面积的最大值为 . 139 图6.4.3-14 13.(2025·四川省内江市第六中学月考)已知在 中，内角 ，，的对边分别为，， ，满足 ． （1）求 ； 【答案】 ， ，即 ， 又， ， 又为内角，故 . ，即 , 140 （2）如图6.4.3-14，若，在外取点，且， ,求四边形 面积的最大值． 【答案】由（1）及可知， 为正三角形， 在 中，由余弦定理，有 , 而 , , 141 四边形的面积 , 又,则 , 则当,即时，取得最大值,为 . 故四边形面积的最大值为 . 142 题型9 三角形的周长问题 1 求周长 例41 (2025·河北省唐县第一中学期末)在中， . （1）求 ; 【解析】因为 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以， . 143 （2）若,且的面积为，求 的周长. 【解析】因为的面积，所以 . 由余弦定理可得，所以 ，所以 的周长为 . 144 2 与周长有关的最值（取值范围）问题 例42 (2025·山东省济南市济北中学月考)记的内角，，的对边分别为 ， ，，已知 ． （1）求角 的大小； 【解析】因为 , 所以 , 故 , 即,故,结合,故 . 145 （2）若，求 周长的取值范围． 【解析】因为,所以,即 . 由余弦定理得 , 解得,故,当且仅当 时，等号成立. 综上可知，的周长的取值范围是, . 146 求三角形周长问题的基本思路 求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到 与三边有关的关系式，解题时注意整体思想的应用. 求最值（或取值范围）时，通常需要构造目标函数，利用基本不等式或函数性质求解. 147 【学会了吗丨变式题】 14.(2025·广东省揭阳市期末)已知，，分别为三个内角，， 的对边， 且 ． 148 （1）求 ； 【答案】由正弦定理得 ， 整理得 ， 而 ， 结合两式得 ， 整理得，（若,则 ,则 ,得 ,不合题意，故 ） 故，又，故 . . . （2）若，边上的高为1，求 的周长． 【答案】由（1）得，故, ， 因为，所以,即，得 ， 根据三角形面积公式得 ， 又边上的高为1，所以,得 ， 由余弦定理得，即 ， 故，所以，所以 的周长为 . 150 15.(2025·福建省漳平第二中学月考)已知的内角,,所对的边分别是,, , . （1）求角 ； 【答案】因为 ， 故由正弦定理可得 ， 即 ， 由余弦定理的推论得 ， 又，所以 . 151 （2）若外接圆的直径为，求 周长的取值范围. 【答案】 因为外接圆的直径为 ， 所以由正弦定理得，则 ， 由余弦定理得 ， 所以 ，（【学以致用】利用基本不等式求解）所以 ，即，当且仅当 时，等号成立， 由三角形性质知,所以，所以 （取等号时， 为等边三角形） 故周长的取值范围为 . . . 152 因为外接圆的直径为 ， 由正弦定理得，则 ， ， 因为，可得 ， 所以 ，（【学以致用】利用函数的单调性求解） 所以，故周长的取值范围为 . 153 题型10 正、余弦定理与向量的综合应用 例43 (2025·江苏省无锡市天一中学月考)在中，，，分别为，， 的对 边，为的外心，且有， ，若 ，，，则 ( ) A A.1 B. C.0 D. 154 【解析】 , , 即 , ,可得,又, , , , , . 图6.4.3-15 如图6.4.3-15,为 的外心,（【知识回顾】垂直平分线的交 点为外心）为 的中垂线， 又为等腰三角形，且 , , 均为等边三角形. . . 155 若 , 则 , ,化为 ①. , ,化为 ②. 由①②解得, , . 在平行四边形中，,又, , ,（【依据】平面向量基本定理中的唯一性） . . . . . 156 【学会了吗丨变式题】 16.若在中，，其重心满足，则 的取 值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图D 6.4.3-3，设是 的中点， 图D 6.4.3-3 157 由，得 , 又,且为重心，故 ,（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） , . 设中角,,的对边分别为,, . 在 中，由余弦定理得 ①, 同理，在中，由余弦定理得 ②, 结合 , 可知 , 由,可得, , . . 所以 ③， 在中，易知，即 ， 代入③式可得 ． 17.［多选题］(2025·四川省遂宁市期末)在中，角,,的对边分别为,, ， 的面积为，且, ，下列选项正确的是( ) ACD A. B.的最大值为 C.若有两解，则的取值范围是 D.若，为的外心，则 160 【解析】因为，所以，化简得 ，又 ，所以 ，A正确； 由及余弦定理得 ， 则，当且仅当 时等号成立，所以 ，B错误； 已知,，若有两解，则解得 ， 即的取值范围是 ，C正确； 161 已知,，，由正弦定理得，因为点为 的 外心，所以在上的投影向量为，在上的投影向量为 ，由数量积 的几何意义可得, ， 所以 ，D正确. 故选 . 162 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 正、余弦定理是解决数与形的工具，是高考的“常客”.小题主要考查对这两个定理的 直接应用,涉及一些含有边角混合代数式的变形和三角形的面积计算等问题.解答题往 往考查三角恒等变换和解三角形.如果求边长或角,需要利用方程思想;如果求范围或 最值,需要利用函数思想或基本不等式.试题难度中等. 核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图 形构建等式或不等式），数学建模（借助正、余弦定理解实际问题）. 163 考向1 正、余弦定理的应用 例44（1）[教材改编P44 T2](2025· 全国二卷)在中,, , ,则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】，因为 ，所以. （【秒解】根据边的大小关系排除，因为,,所以 为最小角，所以 ，排除B,C,D,故选A） 164 （2）(2023·全国甲卷)在中， ，，， 的角 平分线交于,则 ___. 2 【解析】由余弦定理的推论得,整理得 ,得 . 又 ，所以 , 所以 . 165 （3）(全国乙卷)记的内角,,的对边分别为,,,面积为， ， ，则 _____. 【解析】由题意得，则 ，所以 ，所以 ， 则 . 166 例45 (2025·北京)在中，内角，,的对边分别为，，， , . （1）求 ; 【解析】因为，,所以 ，由正弦定理知， . 167 （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 存在, 求 边上的高. 条件 ; 条件 ； 条件的面积为 . 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件 分别解答，按第一个解答计分. 168 【解析】若选择条件 ， 由（1）知,所以 ， 又，所以为钝角， ，此时 不存在，故不能选择条件①. 若选择条件 ， 则，,此时 存在. 设边上的高为，则，即边上的高为 . 若选择条件的面积为 ， 169 因为，所以 .由余弦定理可得 ，所以 . 设边上的高为 ， 则，得，即边上的高为 . 素养探源 素养 考查途径 直观想象 三角形的边角关系. 数学运算 正、余弦定理及三角形面积公式的应用. 171 变式探源 1.(2024·新课标Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知 , . （1）求 ； 【解析】由余弦定理得 , 又 ， . , , 又 , . 172 （2）若的面积为，求 . 【解析】由（1）得 ， 由正弦定理，得（【扫清障碍】） ， . 的面积 ,解得 . . . 173 图6.4.3-16 2.(2023·全国乙卷)在中，已知 ， ， . （1）求 ; 【解析】如图6.4.3-16，由余弦定理得 ，得 . 由正弦定理 ， 得 . （【另解】根据余弦定理求，然后由同角三角函数的基本关系求 ） 174 （2）若为上一点，且 ，求 的面积. 【解析】 第1步：结合角的正切值，直接求 由，得 , 又，所以 ， 175 第2步：求 的面积 故的面积为 . 第1步：求 的面积 的面积为 ， 第2步：求与 的面积的比值 ， 第3步：求 的面积 故的面积为 . 176 考向2 边角互化下的解三角形问题 例46（1）(2024·全国甲卷)在中，内角，，所对的边分别为,, ，若 ,,则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由正弦定理得 , 因为，所以 . 由余弦定理得，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又，，所以 . 177 （2）(2023·全国乙卷)在中，内角,,的对边分别是,, ,若 ,且，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】因为 ,所以由正弦定理得 ， 则 . 在中，，则, ， （【另解】根据余弦定理化简得出关于边的关系式，即，得出 为直角） 所以 . 178 例47 (2022·全国乙卷)记的内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）证明： ； 【解析】 由 可得, ， 结合正弦定理 ， 可得 ， 即 . 由余弦定理的推论可知, , ， 代入（*）式整理得 . 179 因为 ， 所以 ， 同理有 ， 所以 ， 由正弦定理可得 . 180 （2）若，，求 的周长. 【解析】由（1）及 , 得,所以 . 因为 ， 所以，得 , 所以的周长 . 181 命题 探源 考题将三角恒等变形与解三角形融为一体，当把条件式化为 时，蕴含了三角形中射影定理的应用，即对 其变形可得 , 又，所以,所以 . 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 通过正弦定理及两角和的正弦公式逆向运用考查. 182 考向3 正、余弦定理与三角恒等变换 例48 ［多选题］(2025· 全国一卷)已知的面积为 ， ， ,则( ) ABC A. B. C. D. 183 【解析】 ， （发现所给式子中有, ，考虑利用余弦的二倍角公式化简变形） 所以 ，故A正确. 令,,,则为的外接圆半径 ,由 ,得 .（该式子包含两种情况，需要分类讨 论） 若,则角为锐角，则,即 ，则 ,所以 ,矛盾. 184 故,即，所以 ,又 ,所以 .因为 ,所以,所以 ,所以 ,所以 ，故B正确. , 所以 ，故C正确.（一般情况下，多选题各个选项之间有关联，所以 利用选项A及选项B中所得结论可以作出判断） ，故D错误.（由B选项可知， 为直角三角形，利用 勾股定理即可判断） 185 例49 (2025·天津)在中,角,,的对边分别为,,.已知 , , . （1）求 的值； 【解析】第1步：求 的值 因为,所以由正弦定理可得 ,因为 ,所以,所以,所以 . 第2步：确定角 的值 又,所以 . 186 （2）求 的值; 【解析】第1步：由余弦定理求 因为,, , 所以由 , 可得 , 化简得，又，故 . 第2步：求 的值 由,得 . 187 （3）求 的值. 【解析】第1步：由正弦定理求 由正弦定理,得 , 解得 . 第2步：由同角三角函数的基本关系求 因为，所以 为锐角， . 188 第3步：由二倍角公式求和 ， . 第4步：利用两角和的正弦公式计算 所以 . 189 例50 (2024· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,, ,已知 . （1）求 ; 【解析】 （辅助角公式） 由，得 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以，故 . 190 （同角三角函数的基本关系） 由 ， 且，消去 得， ， 解得，又，故 . 191 （2）若,，求 的周长. 【解析】由和正弦定理得， ， 又,，则，进而，得到 ，于是 ， 所以 （【注意】解答题需写出 的计算过程）, 由正弦定理 ， 可得，解得, ， 故的周长为 . . . 192 例51 (2023· 新课标Ⅰ卷)已知在中，， . （1）求 ; 【解析】在中， , 因为，所以,所以 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以，易得 , 所以 ， 又，所以 . 193 （2）设,求 边上的高. 【解析】由（1）知， ， 所以为锐角，所以 ， 所以 ， 由正弦定理 ， 得 ， 故边上的高为 . 194 考向4 代数条件下的解三角形问题 例52 (2022·新高考全国Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,，,分别以,, 为边长的三个正三角形的面积依次为,,.已知, . （1）求 的面积; 【解析】由，得，即 ， 由余弦定理可得，所以.由 ，得 或（舍去），所以，则 的面积 .（整体思想的应用） 195 （2）若,求 . 【解析】由，及正弦定理知 ，即 ，得 . 196 命题 探源 代数条件下的解三角形问题，往往是提供一个含有边角或者是转化后含有 边角的代数方程，在这个方程的基础上利用正、余弦定理和三角形内角和 定理将其转化为一个新的方程，落脚点往往是方程思想和整体代换思想的 应用. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 正、余弦定理的变形应用以及利用面积公式求解. 197 变式探源 (全国Ⅱ卷)的内角，，的对边分别为,, ，已知 . （1）求 ; 【解析】由题设及 , 得 , 故 , 上式两边平方，整理得1,解得 （舍去）或 . 198 （2）若,的面积为2,求 . 【解析】由得 ， 故 . 又,故 . 由余弦定理及 ,得 , 所以 . 199 考向5 几何条件下的解三角形问题 例53 (2023· 新课标Ⅱ卷)记的内角,,的对边分别为,,,已知 面积为 ,为的中点，且 . （1）若，求 ; 200 【解析】第1步：由三角形面积公式求 因为为 的中点，所以 , （【小技巧】三角形的中线平分三角形的面积） 解得，所以， ． 第2步：由余弦定理求 因为，所以 ． 在中，由余弦定理，得 , 所以 ． 201 第3步：求, 在中，由正弦定理，得 ， 所以 ， 所以 . （【另解】利用三角形面积求,在中，由余弦定理求得，在 中，利用 余弦定理求得,在中，由余弦定理的推论求得 ,由同角三角函数基本关系 求得 ） 第4步：由同角三角函数的基本关系求结果 所以 ． 202 （2）若，求, . 【解析】第1步：由余弦定理求 因为为的中点，所以 ． 因为 ， 所以 ， 则在与中，由余弦定理的推论，得 ， 得 ， 所以，所以，所以 . 203 第2步：由余弦定理及三角形面积公式求 在中，由余弦定理的推论，得 , 所以 ， 解得 . 第3步：结合已知条件建立方程组求结果 则由解得 ． 204 命题 探源 几何条件下的解三角形问题，往往都是在三角形中利用正、余弦定理分别构 建方程，再通过关联的角（互余或互补）或者公共边来求解. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 正、余弦定理的应用，解关于边或角的代数方程. 直观想象 画出草图，通过图形能够从公共边挖掘两个三角形的内在联系. 205 变式探源 (新高考全国Ⅰ卷)记的内角,,的对边分别为,,.已知,点 在边上, （1）证明: ; 【解析】因为 ， 所以由正弦定理得 ， 又，所以 , 又，所以 . 206 （2）若,求 . 【解析】因为 ，如图6.4.3-17， 图6.4.3-17 在中， ①, 在中， ②. 207 由①②得，整理得 ． 又，所以 ， 解得或 . 当, 时， （舍去）． 当,时， ． 所以 ． 208 考向6 运动变化下的解三角形问题 例54 (2022·新高考全国Ⅰ卷)记的内角，，的对边分别为,, ,已知 . （1）若,求 ； 【解析】因为 ， 所以，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 因为，所以 . 209 （2）求 的最小值. 【解析】由（1）得,则 ,所以 ， 所以 ， 且 , 所以, ， 所以，解得 . . . 210 由正弦定理得 ，当且仅当 时取等号， 所以的最小值为 . 211 命题 探源 所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形只能 局部可解，进而导致边或者角有范围或最值产生.对于这类问题要善于从函 数的视角来看待或者从不等式工具特征角度来看待.高考重视对局部可解三 角形的研究，重视从运动变化视角来考查. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 利用三角恒等交换求解，利用正弦定理及借助基本不 等式求最值. 212 变式探源 (2022·全国甲卷)已知中，点在边上, , , .当取得最小值时， ________. 图6.4.3-18 213 【解析】设,则 .根据题意作出大致图形，如图6.4.3-18. 在 中，由余弦定理得 . 在 中，由余弦定理得 , 则 , （当且仅当 ， 即时等号成立）,， 当 取得最 小值时， . 214 考向7 解三角形的实际应用 图6.4.3-19 例55 (全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗 玛峰最新高程为 单位： ,三角高程测量法是珠峰高 程测量方法之一.如图6.4.3-19是三角高程测量法的一个示意图， 现有，，三点，且，,在同一水平面上的投影， ， 满足 , .由点测得 点的仰角为 ，与的差为100;由点测得点的仰角为 ，则 ，两点到水平面的高度差约为 ( ) B A.346 B.373 C.446 D.473 215 图6.4.3-20 【解析】如图6.4.3-20所示，根据题意过作，交 于，过作，交于 ， 则, . 在中， , 则 . 又在点处测得点的仰角为 ， 所以 , 所以高度差 . 216 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·湖南省郴州市期末)如图6.4.3-21，在中，，为 边上的中点， ， ，且 ，则( ) BC 图6.4.3-21 A.外接圆的半径为 B. C. 的最大值为3 D.的最大值为 217 【解析】对于A，根据正弦定理可得，解得 ，所以 外接圆的半径为 ，A错误. 对于B，在中，，所以.在 中， ，所以 . 因为, ， 所以 ，B正确. 对于C，根据余弦定理得 . 可得 ， 218 所以，当且仅当时等号成立，此时 的最大值为3, C正确. 对于D，因为 ， 所以 . 因为，所以 . 所以 ， 因为,所以当时，有最小值，为，所以 的最小值 为，D错误.故选 . 2.［多选题］(2025·广东省湛江市期末)在锐角中，角，， 对应的边分别为 ，，，且 .则下列说法正确的是( ) ACD A. B.角的范围是 C.若的平分线交于，，，则 D.的取值范围是 220 【解析】对于A，由正弦定理有 ， 所以，又， ，所以 ，即 ，故A正确； 对于B，可得 ，故B错误； 图D 6.4.3-4 对于C，如图D 6.4.3-4所示，由题意得 ，则 ， ， 因为，所以,所以 （可过点作 垂线，构造直角三角形）， . . 221 且,即，则 ， 所以 ， 而，且，则，所以 ，故C正确； 对于D，由，设，则，且 （“飘带”函数）在 上单调递增，则值域为，故D正确.故选 . . . 222 3.新考法 结构不良(2025·山东省淄博市期中)在条件 ， ， 中任选一个，补充在下列问题中， 然后解答补充完整的题目． 已知,,分别为锐角的三个内角，，的对边， ，而且________； （1）求角 的大小； 【答案】选取条件①：，由正弦定理得 ， 为锐角，，，又为锐角，故 . 选取条件②： ，由正弦定理得 ， 223 为锐角，， ， 又为锐角，解得 . 选取条件③：,由正弦定理得 ，即 ， ，为锐角，， ， 又为锐角，故 . 224 （2）求 周长的最大值． 【答案】由（1）得，，由余弦定理的推论得 ， 即 , ，解得，当且仅当 时等号 成立，此时为等边三角形，符合题意，故周长的最大值为 ． 225 知识测评 04 建议时间：35分钟 1.(2025·广东省清远市四校联考)的内角,,的对边分别为,, ，已知 , ,，则 ( ) D A.1 B. C.3 D.1或3 【解析】由余弦定理，可得 ，整理 可得，解得或 .经检验都符合题意. 227 2.(2025·河北省衡水市期末)已知的内角,,的对边分别为,,,, ， 若有两解，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】如图D 6.4.3-1所示，在中，,，则 有两解的充要条 件为，即 . 图D 6.4.3-1 228 3.(2025·江苏省南京市期中)在中，其内角，，的对边分别为，， ，若 ，则 的形状是( ) B A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【解析】因为 ， 所以由余弦定理知，，整理得 ，即 的形状是直角三角形. 229 4.(2025·辽宁省锦州市期末)在中， ，是边上一点， ， ，，则 的长为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，在中，，， ， 由余弦定理得， ， ， . 在 中，由正弦定理得， . 230 图6.4.3-1 5.(2025·陕西省韩城市期末)司马迁是我国西汉伟大的史学家、文 学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内.某学习小组开展数学建模 活动，欲测量司马迁雕像的高度.如图6.4.3-1，选取与司马迁雕像 底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在 ， ，处测得雕像顶端的仰角分别为，，， 米， 则司马迁雕像高度（ 长度）为( ) A A.米 B.米 C.米 D. 米 231 【解析】设，由题设有,, ， 又， ， 所以，则，解得 .所以雕像高度为 米. 232 6.[多选题](2025·河南省漯河市期中)在中，角，，的对边分别为，， ， 若 ，则以下结论正确的是( ) AB A. B. C. D. 233 【解析】因为，所以 ，故A正确. 由余弦定理的推论得 ，由正弦定理得 ，所以 ， 即，所以或 . 因为 ，若 ，则，所以，又 ，所 以，此时，，也满足 ，故B正确. 由B选项可知，当，时， ，故C错误. 由B选项可知，故 ， 即，故D错误．故选 ． 234 7.(2025·四川省广安市入学考试)已知的内角，，的对边分别为，， ， 已知， . （1）求 ； 【答案】由 ， 得 ， 即，因为，所以 ， 故，又，故 . （2）若的面积为，求 . 【答案】由， ， 故 ， 解得 . 235 8.(2025·甘肃省天水市甘谷县第六中学月考)如图6.4.3-2，在平面四边形 中， ，，，，且 ． 图6.4.3-2 （1）求 的长度； 【答案】在中，由余弦定理,可得 ， 即,解得 . 236 （2）求 的面积． 【答案】因为,所以 . 由正弦定理得 , 即,解得,所以 . 因为,所以 , 又,所以 的面积 . 237 高考模拟 05 建议时间：40分钟 9.(2025·四川省成都市期末)如图6.4.3-3，为了测量两山顶, 间的距离，飞机沿水平 方向在,两点进行测量，,,,在同一个铅垂平面内，在点测得在 的南偏东 的方向上，在的南偏东 的方向上，在点测得在的南偏西 的方向 上，在的南偏东 的方向上，且，则 ( ) C 图6.4.3-3 A. B. C. D. 239 图D 6.4.3-2 【解析】由题意作出如图D 6.4.3-2所示的示意图， , , , , ， 所以 , ， 所以 ， 在中， ， 在中，, , 在中， ，解 得 . 240 10.(2025·云南省曲靖市期末)在中，,，则 的最小值 为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意, ，可得,.因为,, 为 三角形内角，所以 解得 ， 由正弦定理得 ， 所以 . 241 又，且，所以 ， 所以 . 令，则，则，当 时取等号，所 以当时，取得最小值，为 . 242 11.[多选题](2025·江苏省淮安市期中)在中，内角，，所对的边分别为 ， ，，， ，则( ) BCD A.为锐角三角形 B.当时， C.周长的最大值为3 D.面积的最大值为 243 【解析】由，可得 ，化简 可得 . 因为，所以，可得，， 的大小不确定，可能为直角或钝 角，A错误. 当时，， ，B正确. 由，可得 ，变形可得 ，解得，当且仅当 时取等号，所以 的周长 ，C正确. 由，可得，当且仅当 时取等号，所以 的面积，D正确．故选 ． 244 12.(2025·重庆市第八中学期末)在中，角，，所对的边分别为，， ， 若边上的高为，当取得最大值时， _ ___. 【解析】设边上的高为，则 ， 则三角形的面积，得 . 在中，由正弦定理得 ， 245 又 ， 所以 ， 令，则，则 ， 所以当时，取得最大值，此时 ，所以 . 246 13.(2025·湖南省衡阳市第一中学期末)在中，角,,所对的边分别为,, ， 且满足 . （1）求 的值； 【答案】因为 ， 所以由正弦定理得 ， 由，得 ，因为 ，所以，所以 . 247 （2）当与边上的中线长均为2时，求 的周长； 【答案】在中，由余弦定理 ，可得 ①， 图D 6.4.3-3 如图D 6.4.3-3，设的中点为，则 ， 则 ，即 ②， 得 ， 由得,所以 ，即 ， 所以，即的周长为 . 248 （3）当内切圆半径为1时，求 面积的最小值. 【答案】由（1）得 ， 由内切圆半径为1，得 ， 即，由余弦定理得 ， 所以，化简得 ， 因为，所以 ， 解得或 ， 又的面积大于其内切圆面积，即 ， 得，所以 ， 当且仅当时，的面积取到最小值，最小值为 . 249 14.新考法结构不良在； ； 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上， 并加以解答． 三角形的内角，，的对边分别为，， ，且满足____． 250 （1）求角 的大小； 【答案】选择条件①, 由及正弦定理，可得 ,因为 ，所以 , 因为 ,所以 . 选择条件②， 由 及正弦定理, 可得 , 即 , 即 . 251 在三角形中， , 所以,即 , 因为 ,所以,所以 , 因为 ,所以 . 选择条件③， 由 及正弦定理, 可得,所以 . 由余弦定理的推论,得 , 因为 ,所以 . 252 （2）若三角形为锐角三角形，且，求三角形 周长的取值范围． 【答案】由正弦定理,得 , 从而 , , 所以 , 由于三角形 为锐角三角形， 所以, , 又,所以,所以 , 从而 , 故三角形周长的取值范围是 . 253 15.(2025·安徽省宿州市期末)在中，角，，所对的边分别为，， ，已 知，为边上一点，且 ． （1）求角 的大小； 【答案】由 及正弦定理， 可得 ， 又 ，代入上式， 所以 ， 因为中，，所以 ， 所以 ， 故，因为，所以 ． 254 （2）若，且，求 的值； 【答案】因为 ， 所以 ， 由（1）知， ， 所以 ， 由已知，所以，即 ，又 ，联立两式解得, ， 由余弦定理，可得，即 ． 255 （3）若为角平分线，求 的最小值． 【答案】若为角平分线，则, . 在中，由正弦定理，得 ， 即 ， 所以， . 所以 ， 256 即 . 又，所以， ， 从而 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以的最小值为 ． 257 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 258 $