6.4.1 平面几何中的向量方法、6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 第六章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 4 必备知识解读 02 知识点1 平面几何中的向量方法 1 向量在平面几何中常见的应用 （1）证明线线平行或点共线问题，常用向量共线定理： ． （2）证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（或线段） 是否垂直等，常用向量垂直的条件： . （3）求夹角问题，利用夹角公式： , . （4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：| 或 . 6 2 向量法解决平面几何问题的“三步曲” 这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，把条件翻译成向量 关系式（用基底或坐标表示各向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量 关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论. 7 学思用·典例详解 图6.4.1-1 例1-1 如图6.4.1-1，已知，，是 的三条高，且交 于点，于，于.求证： . 点拨 要证明 ，由向量共线定理知，只需证明 . 【解析】,,， , 设,则 . 由,,易得, . 于是 ， ,即 . 8 点评 在初中学习平面几何时，大家证明此题要用到平行的判定，这里用到向量的 线性运算及向量共线定理.利用向量的运算证明一些几何问题，比利用平面几何的 “从图形的一个性质推出另一性质”简单多了. 9 知识点2 向量在物理中的应用 向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加 速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题.具体 操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来 解释物理现象. 1 力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的 作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量．用向量方法解决 力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上． 10 2 速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠 加是向量的线性运算． 3 向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实 质是向量的数量积. （1）力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即， .功 是一个实数，它可正，可负，也可为零. （2）动量涉及物体的质量，物体运动的速度 ，因此动量的计算是向量的数 乘运算． 11 学思用·典例详解 例2-2 某物体做斜抛运动，初速度，与水平方向成 角，不计空气 阻力，则该物体在水平方向上的速度是___ . 5 图6.4.1-2 【解析】如图6.4.1-2所示，该物体在水平方向上的速度为 . 12 例2-3 [教材改编P41 T3](2025·重庆市渝北中学校期中)已知两个力， 的夹角为 ，它们的合力大小为，合力与的夹角为 ，那么 的大小为( ) A A. B. C. D. 【解析】如图6.4.1-3，由于 ， 的大小为 ． 图6.4.1-3 13 题型解析 03 题型1 用向量方法解决平面几何中的平行问题 例4 已知在直角梯形中，，，过点作 于 ，为 的中点，用向量的方法证明： （1） ； （2），， 三点共线． 15 【解析】 由已知得四边形为正方形，设, . （1）,,, ,即 . （2）连接,,, , , 又与有公共点，,, 三点共线. 16 如图6.4.1-4，以为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴建立平面 直角坐标系，连接, . 图6.4.1-4 （在建立平面直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上， 使更多的线与轴、 轴平行） 令，则， ． ，且 , 四边形 为正方形， 可求得各点的坐标分别为，，， ． 17 （1） , , ,,即 . （2）为的中点， , , . , . 又与有公共点，，， 三点共线． 18 题型2 用向量方法解决平面几何中的垂直问题 图6.4.1-5 例5 如图6.4.1-5所示，在正方形中，，分别是， 的中点，求证： . 【解析】 （选取基底,，证明 ） 设 , ，则, , 又, , 所以 . 故，即 . 19 图6.4.1-6 （建系，利用坐标法求 ） 建立如图6.4.1-6所示 的平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则， , , , 则， . 因为 , 所以，即 . 20 向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）基底法：选取适当的基底（原则：模已知，夹角已知）,将向量用基底表示， 并进行相关运算. （2）坐标法：建立恰当的平面直角坐标系,实现向量的坐标化,将几何问题中的长度、 垂直、平行等问题转化为代数运算. 21 题型3 用向量方法求线段的长度或证明线段相等 例6 如图6.4.1-7所示，四边形是正方形，是对角线上的一点，， 分别 在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明： . 22 【解析】易知点，， 都不在端点处，建立如图6.4.1-8所示的平面直角坐标系， 设正方形的边长为1，，则，， ， ， , , , , ， . 23 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·山东省临沂市模拟)在平行四边形中，， ， ，为边上一点，若，则线段 的长为( ) A A. B. C.3 D. 24 【解析】 （基底法） 如图D 6.4.1-1，因为 为 边上一点，所以设（过 可作 ,交于点 ,则 ）. 因为 ， 所以 , 即，解得 ， 所以 . , 即线段的长为 . . . 25 （坐标法） 如图D 6.4.1-2，以点为坐标原点，直线为轴，过点 垂直 于的直线为 轴，建立平面直角坐标系. 因为，， ， 所以,, . 因为为边上一点，所以设 , 则,，又,所以,则 ,解得 ，所以 , 则, ， 即线段的长为 . 26 题型4 用向量方法解决物理中的相关问题 例7 (2025· 全国一卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测 出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船 行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、 方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图6.4. 所示 （线段长度代表速度大小,单位: ）,则该时刻的真风为( ) 27 级数 名称 风速大小（单位： ） 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【解析】真风风速对应的向量 视风风速对应的 向量-船行风风速对应的向量 视风风速对应的 向量船速对应的向量，如图6.4. 所 示， . √ 28 名师点评 本题体现了高考以现实生活为背景命题的特点，本题设置了帆船比赛的情 境，引入了视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概念，考查向量的相关 知识，考查学生应用数学知识和方法解决问题的能力. 29 例8 如图6.4.所示，一个物体受到同一平面内三个力，， 的作用，沿北 偏东 的方向移动了，其中，方向为北偏东 ； ，方向 为北偏东 ； ，方向为北偏西 ，求合力 所做的功． 30 【解析】以为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，如图6.4. 所示，则，， ，所以 . 又位移 , 故合力 所做的功为 . 即合力所做的功为 . 名师点评 平面向量在力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题 意把相关量用有向线段表示，再利用向量方法来计算.本例中建立平面直角坐标系， 把向量作正交分解，这种方法在力学中应用非常广泛. 31 【学会了吗丨变式题】 2.(2025·四川省仪陇中学校开学考试)在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个 人共提一个行李包.假设行李包所受重力为 ，作用在行李包上的两个拉力分别为 ，，且，与的夹角为 ，则下列结论中正确的是( ) C A. 越小越费力， 越大越省力 B. 的范围为， C.当时， D.当时， 32 【解析】如图D 6.4. ,根据题意依次分析选项： 对于A,由于,且，则有 ,即，又 为定值，故 越小越省力， 越大越费力，A错误； （【注意】因为,所以和 一定是关于图中虚线对称的，否则左右受力不 平衡） 图D 6.4.1-3 对于B,因为,所以，即， ,B错误； （也可以理解为和的夹角不能是 ，否则竖直方向没有力和 重力 平衡） 对于C,当时,有 ,则 ,C正确； 对于D,当时，有,则 ,D错误. 33 知识测评 04 建议时间：20分钟 1.(2025·甘肃省白银市期末)已知三个力，， 同时作 用于某质点上，若对该质点再施加一个力 ，该质点恰好达到平衡状态 （合力为零），则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意，作用在该质点上的三个力，， 的 合力为 ． 想要该质点恰好达到平衡状态，只需 . 35 2.(2025·陕西省榆林市期中)一物体在力的作用下，由点移动到点 ，若 ，则 对物体所做的功为( ) A A. B.11 C. D.1 【解析】由题意可得，又，所以 对物体所做的功为 . 36 3.甲、乙两人提起重量为的物体，两人用力方向的夹角为 ，用力大小分别为 ，，则 的值为( ) A A. B. C. D. 图D 6.4.1-1 【解析】如图D 6.4.1-1，依题意设甲的拉力为,乙的拉力为 ,物 体的重力为,则,, , , , 即 , 即 , 解得 . 37 图6.4.1-1 4.新情境 体育锻炼 (2025·江苏省南通市如东县第一高级中学检 测)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做 引体向上运动，处于如图6.4.1-1所示的平衡状态，若两只胳膊的 夹角为 ，每只胳膊的拉力大小均为 ，则该学生的体重 （单位：）约为（参考数据：重力加速度大小 ， ）( ) A A.64 B.70 C.76 D.60 【解析】设两只胳膊的拉力分别为,，则,, , , , . 38 图6.4.1-2 5.[多选题](2025·广东省广州市期中)如图6.4.1-2所示，小船被 绳子拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么 小船匀速靠岸过程中( ) AC A.船受到的拉力不断增大 B.船受到的拉力不断减小 C.船受到的浮力不断减小 D.船受到的浮力保持不变 【解析】设水的阻力为，船受到的拉力为，与水平方向的夹角为 ， 则，故，因为 不断增大，所以 不断减小，故 不断 增大．因为 不断增大，且 加上浮力等于船的重力，所以船受到的 浮力不断减小．故选 . 39 6.(2025·四川省成都市树德中学模拟)如图6.4.1-3，无弹性细绳， 一端分别固定 在，处，在同样的细绳 的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求 最高的是____.（三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或 ） 图6.4.1-3 40 【解析】设,,三条绳受的力分别为,,，则，, 合力为 ， ， 图D 6.4.1-2 如图D 6.4.1-2，在平行四边形中， , ,，即,，故细绳 受 力最大，即对 绳的耐力性要求最高． 41 7.（1）在梯形中,,,分别是,的中点, 证明: . 【答案】如图D 6.4.1-3所示,设且 ，则 图D 6.4.1-3 , 所以与共线，又与无公共点，所以 . 42 图6.4.1-4 （2）如图6.4.1-4所示，若是 内的一点，且 ,求证： . 【答案】设,,,, , 则, ， 即 . 由已知可得 , 所以，即 . 因为,所以 ， 所以,即 . 43 高考模拟 05 建议时间：30分钟 8.(2025·山西省大同市阳高县第四中学校月考)在河水的流速大小为 的情况下， 当航程最短时，一艘小船以 的实际航速大小驶向对岸，则小船在静水中的速 度大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】以表示水流速度，表示船在静水中的速度， 表示船行速度，由题意 知,, , , , . 故小船在静水中的速度大小为 . 45 9.(2025·四川省眉山市期中)在内，使的值最小的点 是 的( ) D A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 【解析】 设,, , 则, , . 为常数， 当，即，即点为的重心时， 最小. 46 设为平面内任意一点，连接,,, , 令,,,,则 . 同理可得, . . 是常数， 当时，最小，此时点为 的重心. 47 10.[多选题]一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为，水平拉力 的大小为 ，另一力 未知，则( ) ACD A.当该物体处于平衡状态时， B.当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为0 C.当物体所受合力为时， D.当时， 48 【解析】对于A，当该物体处于平衡状态时， ，选 项A正确； 对于B，当与方向相反，且 时，物体所受合力大小为 ，选项B错误； 对于C，当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以 ,选项C正确； 对于D，当时，因为与的合力大小为 ，所以 （当与,合力方向相同时，,当 与 ,合力方向相反时， ），选项D正确． . . 49 11.[多选题](2025·安徽省黄山市模拟)如图6.4.1-5，一条河两岸平行，河的宽度 ，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度 的大小为 ，水流速度的大小为，设和 的夹角为 ，则下列说法正确的为( ) AC 图6.4.1-5 A.当船的航行时间最短时， B.当船的航行距离最短时， C.当 时，船的航行时间为6分钟 D.当时，船的航行距离为 50 【解析】对于A，当船的航行时间最短时，船头方向始终垂直于河岸，此时 ， 故A正确. 图D 6.4.1-4 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图D 6.4.1-4，则，所以 ，故B错误. 对于C，当 时，船垂直河岸方向的分速度 ， 船的航行时间 ，即6分钟，故C正确. 51 对于D，将船的速度和水流速度合成，则 . 当时， ， 所以 . 又船垂直河岸方向的分速度 ，所以船的航行时 间 ， 所以船的航行距离为 ，故D错误. 故选 . 52 12.如图6.4.1-6，在矩形中，,,,垂足为,则 _ ___. 图6.4.1-6 53 图D 6.4.1-5 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴、 轴建 立平面直角坐标系（如图 所示），则 ， ，，，,设 ， 则点的坐标为 , 故 . 因为，所以，即,解得 ， 所以， . 故，则 ， 即 . 54 图6.4.1-7 13.如图6.4.1-7，已知某河流河水自西向东流速大小为 ，设某人在静水中游泳的速度为 ，在流水 中实际速度为 ． 图D 6.4.1-6 【答案】如图D 6.4.1-6，设,, , 则由题意知, , 根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形. 55 （1）若此人朝正南方向游去，且 ，求他实际前进方向与水流方向的夹 角 和 的大小； 图D 6.4.1-7 【答案】由此人朝正南方向游去得四边形 为矩形，且 ，如图D 6.4.1-7所示， 则在直角三角形中， . 因为,且,所以 . 故他实际前进方向与水流方向的夹角 为,的大小为 . 56 （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且 ，求他游泳的方向与水流 方向的夹角 和 的大小． 图D 6.4.1-8 【答案】由题意知,且, ,如 图D 6.4.1-8所示， 则在直角三角形中， . 因为,,所以 ,则 . 故他游泳的方向与水流方向的夹角 为，的大小为 . 57 14.(2025·湖北省武汉市华师一附中期中)如图6.4.1-8，在梯形中， ， ,，，分别为，的中点，且，是线段 上的一个动点． 图6.4.1-8 58 （1）求 ； 图D 6.4.1-9 【答案】如图D 6.4.1-9，建立以为原点，为 轴正半 轴，为轴正半轴的平面直角坐标系，则 ， . 设，则，， ， ， ， 由 ， 得，即 ， 又，， . 59 （2）求 ； 【答案】由（1）知，，， ， ， 又为锐角， . （3）求 的取值范围． 【答案】设 ， ， ， ， ， ， 又， . 60 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 61 $