6.2.4向量的数量积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 课标要点 03 01 02 04 必备知识解读 题型解析 知识测评 05 高考模拟 课标要点 01 图解课标要点 4 必备知识解读 02 知识点1 向量的数量积 1 向量数量积的物理背景 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移 ，那么 力所做的功 ，其中 是与 的夹角. 我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量（数量）．这说明两个矢量也可 以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一 个向量，而这个运算的结果是数量． 6 2 向量的夹角 图6.2.4-1 已知两个非零向量（向量的夹角是对于非零向量而言的） , ，如图6.2.4-1所示，是平面上的任意一点，作, , 则 叫做向量与的夹角,也常用, （向量夹角的取 值范围为 ）表示. . . . . . . 7 向量夹角的特殊情形,如图6.2.4-2（1）（2）（3）所示， 图6.2.4-2 当时，向量, 共线且同向； 当时，向量,相互垂直，记作 ； 当 时，向量, 共线且反向. 8 3 两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与的数量积（或内积），记作 （【易错点】不能表示为或 ），即 （【抓重点】两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其 符号由夹角的余弦值决定）． 由数量积的定义可知， .该式常称为向量的夹角公式，用于求两向量 的夹角. 规定:零向量与任一向量的数量积为0，即 ． . . . . . . 9 4 投影与投影向量 图6.2.4-3 如图6.2.4-3（1），设， 是两个非零向量， ,，我们考虑如下的变换:过 的起 点和终点，分别作 所在直线的垂线，垂足分 别为,，得到,我们称上述变换为向量 向 向量投影,叫做向量在向量 上的投影向量. 如图6.2.4-3（2），我们可以在平面内任取一点，作,.过点 作 直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量 上的投影向量. 10 5 投影向量表达式的探究 如图6.2.4-4（1），设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，显然 与共线，于是 . 下面来探究与，， 之间的关系.分 为锐角、直角、钝角以及 ， 五种情况进行讨论.（【释疑惑】分类的依据为向量夹角的取值范围） 当 为锐角（图6.2.4-4（1））时，与方向相同， , 所以 ;#1.1.1 11 当 为直角（图6.2.4-4（2））时，，所以 ; 当 为钝角（图6.2.4-4（3））时，与 方向相反，所以 ,即 .#1.1.3 图6.2.4-4 当时，,所以 ; 当 时，,所以 . 从上面的讨论可知，对于任意的，都有 .#1.2 . . 12 知识剖析 （1）公式：在上的投影向量为 （是与 同向的单位向 量），在上的投影向量为 （是与同向的单位向量） ，它们都是向量. （2）区别：在上的投影向量（与向量共线）与在 上的投影向量 （与向量 共线）一般是不同的． （3）在上的投影向量的长度为 ，是非负实数． （4）数量积的等价理解：与的数量积等于在上的投影向量与 的数量 积.#1.3.3 . . . . 13 学思用·典例详解 图6.2.4-5 例1-1 如图6.2.4-5,等边三角形中，点,,分别是边, , 的中点，指出如下各组向量的夹角. （1）与 ; 【解析】与的夹角是 . （2）与 ; 【解析】因为,所以与的夹角等于与 的夹角（向量起点不一样， 转化求解），即 . . . 14 （3）与 . 【解析】如图6.2.4-6，延长至，使,则,则与 的夹角等 于与的夹角（所求夹角不是 ,而应是其补角）, 图6.2.4-6 即 . . . . . 15 例1-2 [教材改编P17例9]已知，，根据以下条件，分别求 . （1） ； 【解析】当 时，分两种情况讨论： （【易错点】这里易误认为两个向量平行就是同向的，从而忽略另一种情形） 若与同向，则, ， ； 若与反向，则, ， . （2） ； 【解析】当时，, ， . 16 （3）, ； 【解析】 . （4）, . 【解析】 . 17 【想一想丨归纳总结】 向量夹角与数量积的符号间的关系 两个非零向量与的夹角为锐角是的充分不必要条件，因为当与 同向时， 夹角为0，仍有 ； 两个非零向量与的夹角为钝角是的充分不必要条件，因为当与 反向时， 夹角为 ，仍有 . 18 例1-3 [教材改编P18例10]已知向量，满足,，,则向量 , 的夹角为( ) A A. B. C. D. 【解析】设向量，的夹角为 ，则 ， 因为,, ， 所以 , 所以向量，的夹角 . 19 例1-4 [教材改编P20 T3]在等腰中，， ，为 的中点. （1）求在 上的投影向量及其长度； 【解析】 （定义法）在上的投影向量为，其长度为 . （公式法）在 上的投影向量为 ， 其长度为 . 20 （2）求在 上的投影向量及其长度. 【解析】 （定义法） 如图6.2.4-8，过点作，交于点 . 图6.2.4-8 易知，在上的投影向量即在 上的投影向量. 又，，，所以在 上的投影向量 为，即在上的投影向量为，其长度为 . （公式法）在 上的投影向量为 ，其长度为 . 21 【解析】如图6.2.4-7，连接，因为为的中点，所以 . 图6.2.4-7 又， ，所以 . 由图可知，与的夹角为的补角，所以与的夹角为 . 22 【想一想丨归纳总结】 求投影向量的方法 （1）定义法：根据投影向量的定义,作出垂线，确定向量的投影向量； （2）公式法：根据题意确定模与夹角或模与数量积,代入公式即得. 23 知识点2 向量数量积的性质、运算律和常用结论 1 向量数量积的性质 设,是非零向量，它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则 （1） .（【解释说明】单位向量的模为1，省略不写） （2） （【应用】可用于解决与两个非零向量垂直有关的问 题）. （3）当与同向时,；当与反向时, . 特别地，或 （【解释说明】相等向量的数量积等于 向量的模的平方，因此可用于求向量的模）. （4）（依据是 ,可以用来解决有关不等式的问题）， 当且仅当向量，共线,即 时，等号成立. . . . . . . . . 24 2 向量数量积的运算律 对于向量,,和实数 ,有 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： . . . . . . . 25 辨析比较 向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别 向量的数量积 向量的数乘 实数的乘法 ,至少有一个为0或 , . （【教材链接】这回答了教材第19页 【？】内容） 或 . , 至少 有一个为0. 或或 , . 或 . 或 . 与 不一定相等，即向 量的数量积不满足结合律. . . 26 3 向量数量积的常用结论 （1） ; （2） ; （3） ; （4） ; （5） . 27 例2-5 ［多选题］下列命题正确的是( ) AD A. B.若，则对任一非零向量都有 C.若，则与中至少有一个为 D.若与是两个单位向量，则 【解析】A正确，因为的长度为0，结合数量积的公式可知 . B，C错误，当非零向量时，有 . D正确，因为,所以,,故 ． 28 例2-6 下列说法正确的是( ) A A.若，则 B. C.若，且，则 D. 【解析】对于A，若，则 ，所 以 ，故A正确；（也可利用向量加减法的几何意义，菱形的对角线 相互垂直） 对于B，,，,，可知 ， 故B错误； 对于C，，因为，所以或 ，说 明向量数量积不满足消去律，故C错误；（【另解】举反例：当，反向且都与 垂 直时满足题设，但 ） 对于D,是与共线的向量，是与 共线的向量,所以 不一定成立，说明向量数量积不满足结合律，故D错误. 29 例2-7 [教材改编P23 T11（2）](2025·广东省广州市执信中学测试) 设向量, 满足 ,,,则 ( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】 , , . , ,解得 . 30 题型解析 03 题型1 向量数量积的运算 1 向量数量积的简单计算 例8 [教材改编P23 T11（1）]已知,,与的夹角为 ,求: （1） ; 【解析】 . （2） ; 【解析】 . 32 （3） ; 【解析】 . （4） . 【解析】 . 33 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或 两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及相关公式进行化简. 34 【学会了吗丨变式题】 1.(2025·广东省汕头市期末)已知，，与的夹角为 ，则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】由 . 故选C. 35 2 平面几何图形中的向量数量积的计算 例9 (2025·江西省南昌市质检)在边长为1的正三角形中，设, , 则 ( ) A A. B. C. D. 图6.2.4-9 【解析】第一步：将,用, 表示出来 如图6.2.4-9,, , . 第二步：将转化为， 间的运算 . 36 解决平面几何图形中的向量数量积问题的基本思路 解决平面几何图形中的向量数量积问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量， 这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．对于以图形为背景的向量 数量积的题目，解题时要充分把握图形的特征. 37 【学会了吗丨变式题】 图6.2.4-10 2.(2025·山西大学附属中学开学考试)如图6.2.4-10所示，在平行四 边形中，已知，，， ， 则 ( ) B A.12 B.22 C.24 D.72 38 【解析】由，得， ， . 因为 ， 所以 ， 即 . 又，，所以 . 39 3 利用投影向量求向量数量积 例10 (2025·河南省焦作市联考)已知非零向量在向量上的投影向量为， ， 则 ( ) C A. B. C. D. 【解析】非零向量在向量上的投影向量为，又，解得 ， 故 ． 40 例11 (2025·北京四中模拟)已知正方形的边长为1，是 边上的动点，则 的值为___， 的最大值为___. 1 1 图6.2.4-11 【解析】如图6.2.4-11所示，由图可知，在 上的投影向量 为,故 . 由图可知，在上的投影向量与同向，设为 ,且 ,故 . 故的最大值为1，此时点与点 重合． 41 【学会了吗丨变式题】 图6.2.4-12 3.(2025·河北省邢台市期末)如图6.2.4-12,已知圆为 的外接 圆，，， ，则 ______. 【解析】过点作的垂线，垂足为,可知为的中点，则 在上的投影向量为,所以 ， 同理，， , 所以 . 42 4 利用向量数量积求参数 例12 (2025·天津市河北区期中)已知，是夹角为 的两个单位向量，若向量 在上的投影向量为，则实数 __． 【解析】向量在上的投影向量为 （推导过程见P26知识剖析， 选择、填空题可直接用，解答题需写出推导过程）， 则，于是 ， 所以，所以（【提示】 , ），解得 . . . . . 43 例13 (2025·江苏省宿迁市期中)已知单位向量与的夹角为，若与 垂直， 则实数 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得 , 若与垂直,则，解得 . 44 利用向量数量积求参数的基本方法 由题设条件，结合向量数量积的计算，构建关于参数的方程（组），通过解方程 （组）求参数. 45 【学会了吗丨变式题】 4.(2025·重庆市期末)已知向量，满足，，,， ， 则实数 ( ) A A. B.1 C. D. 【解析】因为，，,，所以 . 因为，所以，所以 .故选A. 46 5 利用向量数量积判断平面图形形状 例14 已知为平面内的定点，，， 是平面内不共线的三点，若 ，则 是( ) B A.以为底边的等腰三角形 B.以 为底边的等腰三角形 C.以为斜边的直角三角形 D.以 为斜边的直角三角形 47 【解析】 （通解） 设的中点为，连接 ,由 ，得 ，即，， 是的边上的中线，也是高，故是以 为底边的等腰三角形. （利用三角形的性质） （优解） 取特殊位置，不妨设点与点 重合，则有 ，化简得，即，故是以 为底边的等腰三角形.（取特殊值是选填题常用技巧） 48 利用向量数量积判断平面几何图形形状的方法 由向量的数量积，利用移项、平方等手段，可以得出向量的模与夹角等信息，从而 对几何图形的形状作出判断. 49 【学会了吗丨变式题】 5.(2025·河南省许昌市期中)若为 所在平面内一点，且满足 ，且，则 为( ) A A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 50 【解析】 , ，可得 , 由此可得中， 是等腰三角形. ， ， 结合，得， . 图D 6.2.4-1 如图D 6.2.4-1,取的中点为，连接，则 ， 与等腰的底边中线 在一条直线上， 是的垂直平分线，则， 是等腰三角形. 51 6 向量数量积中的最值（取值范围）问题 例15 (2025·江苏省扬州市第一中学月考)在中， ， ，，，，则 的最大值为( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由题可知,, . 则 （之所以选择用，表示和 ,是因为 可以利用已知条件 ，即 ） （转化为熟悉的函数知 识求解，当时，式子取得最大值） . 则 的最大值为1. . . . . . . 52 例16 (2025· 湖南省张家界市民族中学月考)半径为4的圆上有三点,, ，满足 ，点是圆内一点，则 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 图6.2.4-13 【解析】如图6.2.4-13，设与交于点 ，由 ，得,所以四边形 是平行四边形， 又,所以四边形是菱形，且 ，则 , , 由图可知, , 而 , 53 所以 （事实上，根据后面要讲到的极化恒等式， 我们可快速得到此步） , 同理， , 而 , 所以 , 所以 , 因为点是圆内一点,则 , 所以 . 即的取值范围是 . . . 54 解决向量数量积的最值（取值范围）问题的基本思路 1.将数量积化归为线段的长度，利用图形的几何性质，确定线段长度的取值范围 （或最值），即得数量积的取值范围（或最值）. 2.引入变量（利用向量共线定理或题干中已有变量），构建数量积的目标函数，通 过求函数的值域或最值求解，解题中务必要注意变量的范围. 55 【学会了吗丨变式题】 图6.2.4-14 6.(2025·上海市浦东新区期末)在中， , , ,在线段上（包括端点），则 的取值范围是 _______． 【解析】设，其中 ， 因为 ,, ， 所以， ， 则 . 56 7.(2025·江苏省南京市金陵中学月考)如图6.2.4-14所示，边长为2的正，以 的中点为圆心，为直径在点的另一侧作半圆弧，点 在圆弧上运动，则 的取值范围为( ) C A.， B. C. D.， 57 【解析】设在上的投影向量为 ， 则 . 图D 6.2.4-2 如图D 6.2.4-2,过点作,交于点 , 当点在点处时， 最小， 即的最小值为 . 过圆心作交圆弧于点，连接，过点作 垂直于 于点，过点作垂直于的延长线于点 ， 此时， 最大， 即的最大值为 . 故的取值范围为 . 58 题型2 向量中的夹角问题 1 求两向量的夹角 例17 (2025·北京市朝阳区期末)若两个非零向量,满足 ，则 向量与 的夹角是___. 【解析】由可得 ，（该结论十分常用，可两边平方后化简， 也可以结合向量加减法的几何意义：菱形的对角线相互垂直） 由，两边平方可得 ， 则 ， 因此, ， 由于,，故, . . . 59 【学会了吗丨变式题】 8.(2025·湖北省荆州市期末)已知非零向量，满足，且 ， 则与 的夹角大小为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以 ①， 因为，所以 ②， 联立①②可得，又向量， 为非零向量， 所以，设向量，的夹角为 ， ， 则，所以 .故选B. 60 2 求两个非零向量夹角的余弦值 例18 (2025·山西省汾阳市期中)已知，，且 ，则 向量与 的夹角的余弦值是( ) B A. B. C. D. 【解析】,,且 , , ,， . 61 求两向量夹角的注意点 求两向量的夹角 一般利用夹角公式求解.确定 时要注意 ， 当时，；当时，,；当时， . 62 【学会了吗丨变式题】 9.(2025·江苏省苏州市期末)已知向量，满足，，且 ， 则与 的夹角的余弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】，， ， ①， ②， 得，， ， ， ， ． 63 3 已知两向量夹角求相关参数的值 例19 ［多选题］(2025·陕西省咸阳市高新一中质检)已知两个向量， 满足 ,,与的夹角为，若向量与 的夹角为钝角，则 实数 可能的取值为( ) AD A. B. C. D. 【解析】设向量与的夹角为 ， 则 , 即,化简得，解得 . 64 当与的夹角为 时，也有 （易忽略向量共线这种特殊情 形），但此时夹角不是钝角. 设, , 因为， 不共线， 所以解得 故实数的取值范围是 . 故实数可能的取值为， . . . 4 求向量夹角的最值 例20 非零向量，满足，,则与 的夹角的最小值是_ _. 【解析】设与的夹角为 ,由知, .由基本不等式 知， （利用基本不等式将夹角的最值问题转化为模的范 围问题）,即 , 又,,故, . 故与的夹角的最小值是 . 名师点评 实际上，由,可得,因此 的取值范围为 . . . 66 【学会了吗丨变式题】 10.(2025·福建省厦门市期末)已知向量，满足，则, 的最 大值为( ) D A. B. C. D. 【解析】因为 ，两边平方得 ，整理得 ， , ， 当且仅当 时等号成立， 所以, . 故,的最大值为 .故选D. 67 题型3 向量中模的有关问题 1 模的计算 例21 (2025·四川省成都市期末)若平面向量,满足, ,且 ，则 等于( ) B A. B. C.2 D.8 【解析】,,且 , ,故 . 68 求向量的模的基本思路 由于 ，因此求向量的模即求向量模的平方，从而转化为向量数量积 的运算.通过求向量的模可以解决线段长度的计算问题. 69 【学会了吗丨变式题】 11.(2025·河南省平顶山市期末)已知向量和满足，，向量 在向 量上的投影向量为，则 ( ) B A.3 B. C.4 D.12 【解析】因为向量在向量上的投影向量为，所以 ，所以 ，所以，所以 ，得 ， 所以 . 70 2 与模有关的最值问题 例22 (2025·浙江省杭州市期末)已知向量，的夹角为，且 ，则 的最小值是( ) C A. B.3 C. D. 71 【解析】 （目标函数法） 因为向量，的夹角为，且 ，则 ， 可得 ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值是 . 图6.2.4-15 （数形结合法） 如图6.2.4-15， ， ， 表示 的终 点与的终点连线的长度（起点均为 ）， 因为，所以的终点在线段 所在直线 72 则，所以 . 上，就是点到直线的距离，作于点，在 中， ， ， 【学会了吗丨变式题】 12.(2025·广东省深圳大学附属中学段考)已知为坐标原点，向量,, （点,,不重合）满足， ，若 平面内一点满足，则 的取值范围是______． 74 【解析】因为，所以,,三点在以 为圆心，1为半径的圆上， 又，即，所以， 为圆的直径，所 以 . 因为，设 , , ，所以 . 因为，所以 ， 所以 . 75 题型4 向量极化恒等式的应用 母题 致经典·母题探究 命题探源 极化恒等式 ①， ②， 这两个式子具有非常重要的价值，其几何意义如下. 76 对于①：以, 对应的线段为邻边的平行四边形中，两条对角线的平方和等于两邻边 平方和的两倍； 对于②：向量, 的数量积等于以这组向量对应的线段为邻边的平行四边形的“和对 角线”与“差对角线”的平方差的 . 注：②式被称为“极化恒等式”. 用图形直观来说，如图6.2.4-16，对应的则有 图6.2.4-16 77 注意 此处是对教材第22页【练习】第3题的深挖. ③, （平行四边形中常用等式）④, 注意到平行四边形的对称性，平分线段， ,则有 ⑤， ⑥，（三角形中常用等式） 这样我们便建立了平行四边形的对角线长度与相应邻边，三角形中的边、中线与相 应边的数量积之间的联系.特别地，⑤⑥两式由于涉及中点这一平面几何中较重要的 点，常常成为高考命题的聚焦点. . . . . . . 78 例23 (全国Ⅱ卷)已知是边长为2的等边三角形,为平面 内一点,则 的最小值是( ) B A. B. C. D. 图6.2.4-17 【解析】 如图6.2.4-17,取的中点，则 , 则 , 79 要使最小,则, 的方向相反, 即点在线段 上, 则 , 即求 的最大值, 又 , 所以,当且仅当,即是 的中点时， 取等号. 故 . 80 图6.2.4-18 （利用极化恒等式求解） 如图6.2.4-18,取的中点 ， 则,则 , 在中，由⑥式，取的中点 ，则 由于点在平面内是任意的，因此当且仅当点，重合时， 取得最小值，即取得最小值 . . 81 子题 子题1 (2025·河南省安阳市调研)已知是等边三角形 所在平面内一点，且 ，，则 的最小值是( ) A A.1 B. C. D.2 图6.2.4-19 【解析】如图6.2.4-19，设中点为，连接 ,则 ，, （由极化恒等式得） . 由图可知，点的轨迹是以点 为圆心，半径为1的圆,当点 在线段上时，取最小值，所以 的最小值为2， 所以 ． . . 82 子题2 (2025·天津市南开大学附属中学开学考试)在边长为1的等边三角形中, 为 线段上的动点,且交于点,且交于点,则 的值为 ___; 的最小值为_ __. 1 图6.2.4-20 【解析】如图6.2.4-20,过作,交于点 ,易证得 ,四边形是矩形,所以, , 则 , 所以 . 83 连接,由题意知,,则 .设 ,则，,,取 的中点 （将, 化归入三角形，为极化恒等式的应用作准备） ，连接 ，则 ,所以当 时， 取得最小值,为 ， 即的最小值为 . . . . . . . 84 新考法 数学文化 图6.2.4-21 例24 (2025·广东省深圳市期中)“雪花曲线”又 称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研 究的一种分形曲线．如图6.2.4-21是“雪花曲线” 的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每 条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底 A A.24 B.6 C. D. 边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图6.2.4-21（1）中 正三角形的边长为6，则图6.2.4-21（3）中 的值为( ) 85 【解析】如图6.2.4-22，设,,则, ， 图 6.2.4-22 ]= . 86 例25 新情境 欧拉线(2025·河南省郑州市金水区月考)瑞士数学家欧拉被誉为“数学之 王”，欧拉在1765年发表了令人惊叹的欧拉线定理：三角形的重心、垂心和外心共线， 这条直线被称为欧拉线．已知，，，为 所在平面上的点，满足 ，， ， ,,分别为的内角，，的对边 ，则欧拉线一定过 ( ) B A.，， B.，， C.，， D.，， 【解析】因为，，，为 所在平面上的点， 则由，可知点为 的外心. 设边的中点为，则 ， 又， ， 87 所以，即，，三点共线且点为靠近点 的三等分点， 故点为 的重心. 由 可知， 当时，点是 的重心，反之则不是， 由可得，即 ， 同理可得， ， 故点为 的垂心. 由欧拉线定义可知，欧拉线一定经过，， 三点． 88 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 本节是高考考查的重点和热点，高考主要考查向量的数量积的计算、求模、求夹角 和垂直关系的判断等,多以选择题或填空题出现,试题难度中等或较低. 核心素养：直观想象（借助图形，数形结合解题）、数学运算（数量积、向量的模、 向量夹角的求解）. 89 考向1 数量积的简单计算 例26 (2025·天津)中，为中点，,,,则 ______ ___（用,表示）;若，,则 _____. 【解析】 . 90 ,，即 ①， 又, , ，即，得 ②， 由①②得, , .（由②可得） ,从而 ,则 ,故 .（【关键】因为 ，所以将和 作为基向量） . . . . 91 命题 探源 方法1用基向量，表示向量与 ,并求数量积，结合题设条件构建 ，与 的关系，整体代换求数量积，体现了整体思想的应用. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 模、数量积的运算. 直观想象 结合图形，用基向 量,表示与 . 失分 探源 不能使用整体思想求数量积，导致错误. 92 变式探源 (新高考全国Ⅰ卷)已知是边长为2 的正六边形 内的一点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 93 【解析】设在上的投影向量为 , 图6.2.4-23 则 . 由图6.2.4-23可知， 当点与点重合时,,当点与点重合时,,又点 在正六边形内部，所以 ,所以 . 故当点在正六边形内部运动时， . 94 例27（1）(2022·全国乙卷)已知向量，满足,， ,则 ( ) C A. B. C.1 D.2 【解析】由，可得，又 , ，所以 . （2）(2022·全国甲卷)设向量,的夹角的余弦值为，且, ,则 ____. 11 【解析】 , . 95 命题 探源 本题组考查的知识点虽然简单，但却是高考中平面向量基础性要求的重点 考向，同样也可视为取材于教材第21页【例12】，都是基于向量数量积的 计算展开的. 素养 探源 素养 考查途径 数学运算 向量数量积的运算、性质的应用. 96 变式探源 (全国Ⅱ卷)已知单位向量,的夹角为 ，则在下列向量中，与 垂直的 是( ) D A. B. C. D. 【解析】 （通解） 由题意，得 . 对于A， ，故A不符合题意； 对于B， ，故B不符合题意； 对于C， ，故C不符合题意； 对于D，，所以 ，故D符合题意. 97 （优解） 根据条件,分别作出向量 与A，B，C，D四个选项对应的向量，如 图6.2.4-24所示： 图6.2.4-24 由图易知，只有选项D满足题意. 98 考向2 夹角的计算 例28（1）(2023·全国甲卷)已知向量,,满足,,且 ， 则, ( ) D A. B. C. D. 【解析】, ， 等式两边同时平方得， . 又, , ，且 , ， , . 99 （2）(全国Ⅰ卷)已知非零向量,满足，且，则与 的夹角为 ( ) B A. B. C. D. 图 6.2.4-25 【解析】 （直接进行向量的代数运算） 由，得 , ,， , ,，即, , 又,,, . 100 （数形结合，聚焦图形特征） 如图6.2.4-25，设, , 则 , , ， 又, ， 即, . 101 考向3 模的计算 例29（1）(2024· 新课标Ⅱ卷)已知向量，满足， ，且 ，则 ( ) B A. B. C. D.1 【解析】由，得，所以 . 将的两边同时平方，得 ，即 ，解得，所以 .（【方法技巧】已知向 量的和（差）的模，往往两边同时平方，由此将向量的模的问题转化为向量的数量 积问题，从而与条件中的已知向量建立联系） 102 （2）(2023· 新课标Ⅱ卷)已知向量，满足,,则 ____. 【解析】由，得，即 ①.由 ，得 ，整理得， ，结合①，得，整理得， ，所以 . 103 高考新题型专练 1.［多选题］(2025·四川省绵阳中学测试)若向量，满足 ， ，则( ) BC A. B.与的夹角为 C. D.在上的投影向量为 104 【解析】， ， ，所以 ，A错误； 设，的夹角为 ，则，由于，与的夹角为 ， 故B正确； ， 故C正确； 在上的投影向量为 ，故D错误．故选 ． 105 图6.2.4-26 2.新情境 折纸风车［多选题］(2025·山西省实验中 学开学考试)我国传统的一种手工折纸风车 （如图6.2.4-26（1））是从正方形纸片的一个直角 顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一 个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其 余三个直角制作而成的，其平面图如图6.2.4-26 （2），则下列说法正确的是( ) BCD A. B. C. D. 106 【解析】选项A，由对称性知，，而与 不重合，即A错误； 选项B，设风车的中心为 ， ，即B正确； 选项C， ，即C正确； 选项D， ， ，即D正确． 故选 ． 107 知识测评 04 建议时间：25分钟 1.(2025·天津市五区县重点校期末)已知是等边三角形，边长为4，则 ( ) A A. B.8 C. D. 【解析】因为 是等边三角形，边长为4， 所以 . 2.已知，，且，则 ( ) C A.1 B. C. D.5 【解析】因为 ， 所以 ． 109 3.(2025·辽宁省辽阳市期末)已知两个单位向量,满足，则, 夹角的余 弦值为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为,均为单位向量，所以 . 由 ， 即 ， 所以, .故选A. 110 4.(2025·广东省汕头市期末)在中，已知，， ， ，分别是，边上的中线，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】依题意 . 因为,分别是,边上的中线，则 , , 则 . 111 图6.2.4-1 5.[教材改编P24 T24][多选题]如图6.2.4-1，点，在 上，则 下列所给条件可以求出数量积 的是( ) ABD A.，， B.， C. D. 112 【解析】对于A，由向量数量积的定义式，得 ， ，故A正确； 图D 6.2.4-1 对于B，如图D 6.2.4-1，过点作于点 ，因为 ， ，则 ，由A项分析易得 ，故B正确； 对于C，因为， ，所以仅知道 不能求出 ，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，且 ，故 ，即D正确.故选 . 113 6.[多选题](2025·湖北省武汉市期末)如图6.2.4-2，在中，， ， ，，．设在上的投影向量为 ，则下列命 题正确的是( ) BD 图6.2.4-2 A. 的值为 B. 的值为 C. D. 114 【解析】在上的投影向量为,则 . , 所以 ,则 .故选 . 115 7.(2025·陕西省西安市西光中学月考)已知与为互相垂直的单位向量， ， ，且与的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ ________________． 【解析】与为互相垂直的单位向量，，，与 的夹角为 锐角， .（注意排除夹角为 的情况） ， ， ， . 当,同向共线时，设,即 , 整理得 , 所以解得 故与的夹角为锐角时， 的取值范围是 . . . 116 8.(2025·北京市海淀区期末)已知向量,，，，, . （1）求 ； 【答案】因为，，, ， 所以 . （2）若与垂直，求实数 的值； 【答案】因为与垂直，所以，所以 ，所以 . （3）若，求的最小值及相应的 值. 【答案】,所以当时，有最小值 . 117 高考模拟 05 建议时间：25分钟 9.(2025·江苏省徐州市期末)在梯形中，，， ， ，若在上的投影向量为，则 ( ) C A. B. C. D. 119 【解析】依题意，设，则 ， 因为在上的投影向量为，所以，又 ，所以 ， 所以，即 ， 因为，， ，所以，解得 ， 所以 .故选C. 120 图6.2.4-3 10.(2025·天津市静海区第一中学月考)如图6.2.4-3，在平面 四边形中，，， ， ，，，若点为边 上的动点， 则 的最小值为( ) B A.1 B. C. D.2 121 【解析】连接,因为,,, , 则 , 则可得,过作交于点 ， 所以四边形为矩形，, , 易知，则, , 设, , 则 . 故当时，取得最小值,为 . 122 11.[多选题](2025·江苏省南京市田家炳高级中学测试)正六角星是我们生活中比较常 见的图形，很多吊饰品中都出现了正六角星图案.正六角星可由两个正三角形一上一 下连锁组成（如图6.2.4-4（1））．如图6.2.4-4（2）所示的正六角星的中心为 ， ，， 是该正六角星的顶点，则( ) AC 图6.2.4-4 A.向量，夹角的余弦值是 B.若，则 C.若，则 D.若非零向量，则 取最小 值时， 123 【解析】由题意可知 ，则 ,故A正确； 图D 6.2.4-2 如图D 6.2.4-2，由题意可知， 则 ，故B错误; 因为，所以 ， 因为 ，所以 则 ，故C正确; ，当时， 取得 最小值，此时，故D错误．故选 ． 124 12.(2025·山东省济宁市期中)如图 6.2.4-5放置的边长为1的正方形中，, 分别 在轴、轴的非负半轴上滑动，则 的最大值是___. 2 图6.2.4-5 125 【解析】如图D 6.2.4-3所示，取的中点，的中点 ，则 . 图D 6.2.4-3 连接,，,则有,当，, 三点共线时等号 成立，因此的最大值为，故的最大值为 . 126 13.(2025·江苏省四市十一校联考)在四边形中，，，是 上的 点，且，是的中点，是与的交点，设， . （1）若四边形为矩形，用向量，表示，，，并求出 ， ， ； 127 【答案】 ， . 图D 6.2.4-4 如图D 6.2.4-4，延长与相交于点，则 ， 所以，则 ， ①， 又由得 ，即 ②， 128 由①②可得，则 ， 故 ， 综上， . ， ， . 129 （2）若四边形为平行四边形，且 ，求 的余弦值； 【答案】由（1）得， ， 所以 ， ， ， 所以 . 130 （3）在（1）的条件下，求在 上的投影向量. 【答案】由（1）得 ， 故在上的投影向量为 . 131 14.(2025·天津市第二南开学校月考)如图6.2.4-6，在中，点，在边 上， 且，点,分别在线段,上，且,，直线 交于点，且，则__．若直线交于点且 是边长为2的 等边三角形，则 __． 图6.2.4-6 132 【解析】由，可得为 的中点， 则 ， 因为,，且 ， 可得，即 ， 又,,三点共线，可得，解得，即 . 设，因为点为的中点，可得 ，所以 ，即 . 133 又,,三点共线，可得，解得，即，所以点为 的中 点，,即,所以 . 设 ， 由 ， 可得，即 ， 又,,三点共线，可得，解得 ， 134 即，所以 ， 又由 ，且 是边长为2的等边三角形， 可得 . 135 谢谢观看 人教A版数学必修第二册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 136 $