6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 巩固练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 一、单选题 1．已知、，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 3．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在正方形中，M是的中点，若，则（   ）    A． B． C． D．1 5．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 8．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 10．已知点，向量，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为 . 四、解答题 11．已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 12．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 13．设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 14．在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求向量的坐标； (2)若为正实数，求的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 一、单选题 1．已知、，且点在线段的延长线上，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出点的坐标. 【详解】设点，则，， 因为，则，解得，即点. 故选：D. 2．已知向量，且，则实数m的值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】由向量的坐标运算公式可求得，再利用向量平行的坐标表示可求解. 【详解】 又，，解得 故选：D 3．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使,且， , , 消去k得：即，解得或， 当时，求得;当时，求得 . 因为，所以取 。 故选：B. 4．如图，在正方形中，M是的中点，若，则（   ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量线性运算的坐标形式可求，，故可得正确的选项. 【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示。设正方形边长为1，    则，则.故，，， , , ,解得， 故选：B. 5．已知平面向量，，，若，，三点共线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解题的关键是根据向量共线的坐标表示列出关于的等式，然后通过消元得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】因为A，B, C三点共线，所以与共线， 因为平面向量，，， 故可得， 整理可得， 化为关于的一元二次方程为，因为,即方程存在实数解， 故，即， 解得或，即或， 故选：. 6．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 解得，所以， 因为，所以，即的取值范围是， 故选：C. 二、多选题 7．在单位圆上的扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一个动点，若，则的取值可能是（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】BD 【分析】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，令，则， 则，再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】不妨设，以O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 则,令，则，则, 所以，，. , 因为，所以，解得, , ， ， 即。 则的取值可能是1或. 故选：BD    8．已知向量满足，且，则的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A:, 由得：显然无解，故A错误； 对于B：, 由得：解得，故B正确； 对于C：, 由得：解得，故C正确； 对于D：, 由得：解得，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 9．已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线，所以，解得． 故答案为： 10．已知点，向量，若点是线段靠近点的三等分点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，用坐标表示，根据题意列方程组求解即可. 【详解】设点，则，， 由题意知，，即， 所以，解得，所以点的坐标为， 故答案为：. 四、解答题 11．已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 因为与共线，，解得：. 12．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足. (1)求点的坐标； (2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论. 【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解； （2）利用向量共线定理即可证明. 【详解】（1）法1：设，因为，，则，， 因为，所以，即， 解得，所以； 法2： . 所以点E的坐标为。 （2）向量与向量共线，证明如下： 设，因为，， 所以，，因为，则， 即，解得，所以， 所以，，所以，故与共线. 13．设A，B，C，D为平面内的四点，且，，． (1)若A，B，C，D逆时针围成平行四边形ABCD，求D点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数k的值． 【分析】（1）结合平行四边形的性质，根据向量相等的坐标运算列式求解即可. （2）先根据向量的线性运算求得与的坐标，然后利用向量共线的坐标运算列式求解即可. 【详解】（1）法1：设，则，， 因为，所以，,解得． 所以D点的坐标为． 法2：, 所以点D的坐标为 。 （2）由题意得，， 所以 ，． 因为，所以，解得. 14．在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. (1)求向量的坐标； (2)若为正实数，求的最小值. 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）法一：设点，由中心坐标公式得： ，，即,又， 所以，. 法二：根据题意：， . 法三：线段AC的中点坐标为,, 。 （2）由已知：, 又 由（1）知：， ， ①得：4 即：代入①得： 化简整理得：， 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $