精品解析：广西贵港市平南县2025年秋季期八年级期末教学质量检测数学试题

2025年秋季期八年级期末教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合要求的，错选、多选或未选均不得分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 14 D. 3. 下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 3，3，6 C. 4，5，6 D. 6，7， 4. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，，那么的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 6. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 三角形的内角和为 8. 在野外测绘中，工作人员发现一块三角形地标石碑为等边，边长为．为测量其边长，工作人员过点作于点，测得，则该等边三角形地标的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 11. 古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 或2 D. 3或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 14. 在中，，，则的度数等于________． 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 16. 如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分解因式：． 18. （1）化简： （2）解方程：． 19. 如图，已知，点E是上一点． （1）尺规作图：在上找一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 20. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 文明，是城市的灵魂，每一份文明的积累，都将让平南更有温度、更有魅力，为了创建文明城市，我县某小区购进型号和型号两种分类垃圾桶，购买型号垃圾桶花费元，购买型号垃圾桶花费元，且购买型号垃圾桶数量是购买型号垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型号垃圾桶比购买一个型号垃圾桶多花元． （1）求购买一个型号垃圾桶，一个型号垃圾桶各需多少元？ （2）该小区决定再次购进、两种型号垃圾桶共个，恰逢商场对这两种型号垃圾桶的售价进行调整，型号垃圾桶售价比第一次购买时提高了，型号垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，若该小区物业此次购买、两种型号垃圾桶的总费用不超过元，那么该小区物业此次最多可购买多少个型号垃圾桶？ 22. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． （1）施工人员测量的是点________与点________之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． （3）若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 23. 情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜边）分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“”定理．我们将斜边重合的两个直角三角形称为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形． 实践操作： 如图①，是的平分线，以所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点B，交于点C； 第二步：分别过点B，C作的垂线与交于点A，则． 问题解决： （1）如图②，在中，，，分别是，的平分线；交于点F，则的度数等于________． （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 探究发现： （3）如图③，在中，若不是直角，（1）中的其他条件不变，试问（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期八年级期末教学质量检测 数学试题 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将班级、姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合要求的，错选、多选或未选均不得分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键知识点为：分式有意义的充要条件是分母不等于零． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，解得； 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. 14 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 3. 下列长度(单位：)的3根小木棒首尾顺次相接能搭成三角形的是（ ） A. 1，2，5 B. 3，3，6 C. 4，5，6 D. 6，7， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查构成三角形的条件，核心知识点是“三角形任意两边之和大于第三边”，判断三根线段能否组成三角形，只需验证较短两边的长度之和是否大于最长边的长度，此方法可简化判断过程． 【详解】解：对于选项A，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 对于选项B，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能搭成三角形； 对于选项C，，满足三角形三边关系，能搭成三角形； 对于选项D，，不满足三角形三边关系，不能搭成三角形； 故选：C． 4. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 5. 如果，，那么的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 6. 如图，在中，，D是边上的一点，，，则点D到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边的距离相等．根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 故选：B． 7. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 全等三角形的对应边相等 B. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 C. 有一个角是的三角形是等边三角形 D. 三角形的内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定，判断真假命题．根据全等三角形的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定定理、三角形内角和定理，逐项判断命题真假即可． 【详解】解：A、全等三角形的对应边相等，符合定义，为真命题，该选项不符合题意； B、有两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题，该选项不符合题意； C、仅一个内角为，其余两角可能不为，如和，故不一定是等边三角形，原命题为假命题，该选项符合题意； D、三角形的内角和为，为真命题，该选项不符合题意； 故选：C． 8. 在野外测绘中，工作人员发现一块三角形地标石碑为等边，边长为．为测量其边长，工作人员过点作于点，测得，则该等边三角形地标的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的三线合一性质及勾股定理的应用．关键是利用等边三角形“三线合一”的性质得到直角三角形，再通过勾股定理建立方程求解边长． 【详解】解：如图，∵是等边三角形，边长为，， ∴，且为直角三角形． 在中，，解得(舍去负值)； 故选：A． 9. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 10. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 11. 古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置（如图），则水的深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，“水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形”是解决此题的关键，设荷花入水部分长，则荷花的高，因荷花偏离原位置，那么水深与水平距离组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设荷花入水部分长，则荷花的高， 根据题意得， 解得， 故选：B ． 12. 如图，等边三角形的边长是，动点M，N分别从A，C两点同时出发，沿，边匀速运动，M，N的运动速度分别是，，当点N到达点B时，M，N两点均停止运动．当是直角三角形时，点M的运动时间的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 或2 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和判定． 设t秒后，是直角三角形，表示，，可得．分两种情况：若时，根据，列出方程，求出解；同理可得若时，根据，可得方程，求出解即可． 【详解】解：设t秒后，是直角三角形， 则，， ∴． 若时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即N到达B点时； 同理可得若时，如图， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得：当或时，是直角三角形． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 故答案为：． 14. 在中，，，则的度数等于________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余，即可求得答案． 【详解】根据直角三角形两锐角互余，可得 ． 故答案为： 15. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑥组勾股数为________ 【答案】13，84，85 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察勾股数序列，每组第一个数为奇数，且第n组第一个数为；设第二个数为x，第三个数为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：由题意得，第⑥组第一个数为，设第二个数为x，则第三个数为， 由勾股定理得， 解得，则， 故第⑥组勾股数为13,84,85． 故答案为：13，84，85． 16. 如图，等腰中，，是等边三角形，点P是的角平分线上一个动点，连接，则的最小值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，连接，证明，即可得到，得，再根据当，，在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为12．添加辅助线，构造，再利用两点之间线段最短找到最短位置是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）分解因式：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和因式分解，涉及零指数幂、负整数指数幂和绝对值的运算，关键是掌握各运算法则：任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，负数的绝对值是它的相反数；因式分解需遵循“先提公因式，再用公式”的步骤，且要分解到不能再分解为止． （1）先分别计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，再依次进行加减运算； （2）先提取多项式各项的公因式，再对余下的二次多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18. （1）化简： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，解分式方程，熟练掌握分式混合运算法则，解分式方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据分式混合运算法则，进行计算即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的根． 19. 如图，已知，点E是上一点． （1）尺规作图：在上找一点F，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接．若，，且平分，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点F即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用． （1）根据作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）先由三角形内角和定理求出的度数，证明，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 20. 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）22 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21. 文明，是城市的灵魂，每一份文明的积累，都将让平南更有温度、更有魅力，为了创建文明城市，我县某小区购进型号和型号两种分类垃圾桶，购买型号垃圾桶花费元，购买型号垃圾桶花费元，且购买型号垃圾桶数量是购买型号垃圾桶数量的2倍，已知购买一个型号垃圾桶比购买一个型号垃圾桶多花元． （1）求购买一个型号垃圾桶，一个型号垃圾桶各需多少元？ （2）该小区决定再次购进、两种型号垃圾桶共个，恰逢商场对这两种型号垃圾桶的售价进行调整，型号垃圾桶售价比第一次购买时提高了，型号垃圾桶按第一次购买时售价的9折出售，若该小区物业此次购买、两种型号垃圾桶的总费用不超过元，那么该小区物业此次最多可购买多少个型号垃圾桶？ 【答案】（1）购买一个型号垃圾桶需元，一个型号垃圾桶需元； （2）最多可购买个型号垃圾桶． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，关键是找准等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解． （1）设未知数，利用“购买型号垃圾桶数量是购买型号垃圾桶数量的2倍”这一核心数量关系建立分式方程求解，注意分式方程必须进行检验，确保解符合实际意义； （2）设购买型号垃圾桶的数量，结合售价调整后的单价，根据“总费用不超过元”的限制条件建立一元一次不等式，求解得出最多可购买的型号垃圾桶数量． 【小问1详解】 解：设购买一个型号垃圾桶需元，则购买一个型号垃圾桶需元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：购买一个型号垃圾桶需元，一个型号垃圾桶需元． 【小问2详解】 解：设该小区此次购买个型号垃圾桶，则购买个型号垃圾桶， 调整后型号垃圾桶的单价为元， 型号垃圾桶的单价为元， 根据总费用不超过元，得， 解得； 答：该小区物业此次最多可购买个型号垃圾桶． 22. 综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，乐乐和冬冬合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 乐乐设计的绿化地及浇灌点方案如下： 如图，，，，，在CD上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 冬冬设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作CD的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照乐乐设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离为，就可以快速确定的度数． （1）施工人员测量的是点________与点________之间的距离． （2）若绿化地建造每平方米的费用为120元，求建造绿化地的费用． （3）若，，，管道铺设费用为65元/米，请比较冬冬设计的两种铺设管道方案中，哪一种方案所需的费用最少． 【答案】（1）A，C （2） （3）铺设管道所需的最少费用为910元． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【小问1详解】 解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵，，， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为， ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为910元． 23. 情境阅读： 在我国北宋时期，著名数学家贾宪在其所著的《黄帝九章算法细草》（九卷）中提出：勾（直角边）、弦（斜边）分别相等的两个直角三角形全等，即我们今天所说的“”定理．我们将斜边重合的两个直角三角形称为“共同体三角形”，用尺规按照下面的操作方法可以画出这种类型的全等直角三角形． 实践操作： 如图①，是的平分线，以所在直线为对称轴画一对全等的直角三角形，其步骤如下： 第一步：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交于点B，交于点C； 第二步：分别过点B，C作的垂线与交于点A，则． 问题解决： （1）如图②，在中，，，分别是，的平分线；交于点F，则的度数等于________． （2）在（1）的条件下，请判断与之间的数量关系，并说明理由． 探究发现： （3）如图③，在中，若不是直角，（1）中的其他条件不变，试问（2）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下： 如图②，在上截取，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：成立，理由如下： 如图③，在上截取，连接， 同（2）可证明， ∴，， ∵分别是，的平分线， ∴ ∴ ∴， 同（2）可证明， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先由直角三角形的性质求出，再由外角以及角平分线的定义即可求解； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）在上截取，连接，同（2）可证明，然后根据角平分线以及三角形内角和定理可求，再同（2）可证明，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是，的平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $