精品解析：福建泉州市安溪县2025年秋季期末质量监测九年级数学试题

2025年秋季期末质量监测九年级数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 2. 如图，在中，，，，则值为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的新二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 为助力乡村建设，某铁观音茶园2023年茶叶产值为200万元，2025年茶叶产值达到242万元，设该茶园这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）． A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，在中，为上一点，连接，相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 为了让学生深入了解安溪的特色文化，某校组织研学活动，提供三个景点（文庙、清水岩、李光地故居）供九年级（1）班和（2）班各自随机选择一个景点参加研学，则两个班级恰好选择同一个景点的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 若抛物线经过点，当时，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为_________． 12. 若关于x的方程的两根分别为和5，则a的值为_________． 13. 一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_________． 14. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 15. 设，，用含的代数式表示，结果为________． 16. 如图，在中，，则的长为_________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17 计算：． 18. 解方程：． 19. 清溪中学开设三门数学选修课：幻方、数独、华容道． （1）若小安随机选择一门选修课，恰好是“数独”的概率是_________； （2）若小溪随机选择两门选修课，请用列表法或画树状图的方法，求他同时选择“幻方”和“华容道”的概率． 20. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数表达式． 21. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 22. 如图，在中，，平分，交于点D． （1）在边上求作点，使得；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若，求的长． 23. 如图1是一盏台灯的照片，图2是它的平面示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为． （1）如图2，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则的度数为_________． （2）求台灯的旋钮A到桌面的距离．（精确到，参考数据：，） 24. 如图1，在中，，点，分别在边，上(不与端点重合)，，垂足． （1）求证：； （2）若． ①当时，求的长； ②如图2，若，直接写出值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线过点． （1）求的值； （2）若抛物线与轴的两个交点为，，顶点为，是等腰直角三角形． ①求抛物线所对应的二次函数的表达式； ②假设有一电子跳蚤，从点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点，求证：为正整数)的面积是一个常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季期末质量监测九年级数学试题 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上． 第I卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，能使有意义的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，据此列不等式求出x的取值范围，再判断选项中的数是否在该范围内即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴对于，需满足， 解得， ∵选项中只有 ∴能使有意义的数是5， 故选D． 2. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题需先根据勾股定理得出的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出的值． 【详解】，，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据勾股定理解出的长是解本题的关键． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时加16即可配方. 【详解】由题得方程为，方程可变为，进行配方后可得；方程式最后可得. 故答案选C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的方式，注重考查了配方法，仔细审题，并熟悉一元二次方程的变形公式即可解题. 4. 将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，则得到的新二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得的函数图象的表达式为：． 故选：A． 5. 为助力乡村建设，某铁观音茶园2023年茶叶产值为200万元，2025年茶叶产值达到242万元，设该茶园这两年产值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据年平均增长率问题列一元二次方程，理解题意，列出方程即可． 【详解】解：∵2023年茶叶产值为200万元，年平均增长率为x， ∴2024年茶叶产值为万元， ∴2025年茶叶产值为万元， 又∵2025年茶叶产值达到242万元， ∴可列方程为， 故选：C． 6. 若关于x一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程，根据根的情况掌握根的判别式，列出不等式是解题关键． 由方程有实数根的情况可以得到关于m的不等式，从而求解． 【详解】∵   关于的一元二次方程有实数根， ∴   且，即且， 解得且， 故选：C． 7. 如图，在中，为上一点，连接，相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质．关键是先利用平行四边形的性质推出三角形相似，再结合线段比例求出相似比，最后根据相似三角形面积比与相似比的关系计算面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故选：A． 8. 为了让学生深入了解安溪的特色文化，某校组织研学活动，提供三个景点（文庙、清水岩、李光地故居）供九年级（1）班和（2）班各自随机选择一个景点参加研学，则两个班级恰好选择同一个景点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 利用画树状图法得出共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好选择同一个景点的结果有3种，再列式计算，解答即可． 【详解】解：设文庙、清水岩、李光地故居分别记为A、B、C， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两个班级恰好选择同一个景点的结果有3种， 两个班级恰好选择同一个景点的概率是， 故选：B． 9. 如图，是中位线，的角平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质．关键是通过中位线的平行关系，结合角平分线的定义推导出等腰三角形，进而计算线段长度．首先根据三角形中位线定理，确定的长度、与的平行关系及的长度；接着利用平行线的内错角相等和角平分线的定义，证明为等腰三角形，得到；最后通过减去的长度，求出的长． 【详解】解：∵是的中位线，，， ∴，，； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10. 若抛物线经过点，当时，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． 先求出抛物线的对称轴，再结合抛物线开口向上的性质（离对称轴越远，函数值越大），计算三个点到对称轴的距离并比较大小，进而得出函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为，且抛物线开口向上． ∵， ∴各点到对称轴的距离： ，，． ∵ ∴，即． ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大． ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查比例的性质，熟练掌握是解题关键． 根据已知比例关系，设参数表示变量，代入所求表达式计算． 【详解】解：由 ，设 ，（）， 则 ， ∴． 故答案为 ． 12. 若关于x的方程的两根分别为和5，则a的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，由此求解． 【详解】解：根据根与系数的关系得， 解得． 故答案为：． 13. 一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用，先设袋子中黑球的个数为，又因为一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，得，再结合解得，最后验算，即可作答． 【详解】解：设袋子中黑球的个数为， ∵一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为， ∴ 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的解， ∴袋子中黑球个数为， 故答案为：4 14. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 15. 设，，用含的代数式表示，结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】将化简后，代入a，b即可． 【详解】解：， ∵，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将化简变形，本题属于中等题型． 16. 如图，在中，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，过点B作平分交于D，则可得出，，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可得出，，设，则，代入得出，求出k的值，即可求解． 详解】解：过点B作平分交于D， 则， 又， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，运用二次根式的性质化简，以及化简绝对值，再运算乘除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19. 清溪中学开设三门数学选修课：幻方、数独、华容道． （1）若小安随机选择一门选修课，恰好是“数独”的概率是_________； （2）若小溪随机选择两门选修课，请用列表法或画树状图的方法，求他同时选择“幻方”和“华容道”的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小安随机选择一门选修课，恰好是“数独”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将幻方、数独、华容道分别记作1、2、3，列表如下： 1 2 3 1 2 3 由表知，共有6种等可能结果，其中他同时选择“幻方”和“华容道”的有2种结果， 所以他同时选择“幻方”和“华容道”的概率为． 20. 已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … （1）二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； （2）求该二次函数的表达式． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【小问1详解】 解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 21. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在两边都足够长的直角墙一角，围成一个矩形菜地作为实践基地，如图所示，为了方便出入，在边开一个宽为的门（建在处，另用其它材料）． （1）若设，则的长为_________ ；（用含x的代数式表示） （2）当矩形菜地的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的矩形菜地？ 【答案】（1） （2）当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，根据清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，得的长为，即可作答． （2）理解题意，根据围成一个面积为的矩形菜地，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵清溪中学拟用总长为的铁栅栏，在边开一个宽为的门，设， ∴， 则的长为； 【小问2详解】 解：由（1）得，则， ∵围成一个面积为的矩形菜地， ∴， 整理得， 解得． 当时，； 当时，； 答：当长和宽分别为10米和8米时，能围成一个面积为的矩形菜地． 22. 如图，在中，，平分，交于点D． （1）在边上求作点，使得；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）作图见详解； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、尺规作图——作垂线， 本题考查了尺规作图、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．关键是利用角平分线的性质和相似三角形的对应边成比例来求解． （1）根据相似三角形的“两角分别相等的两个三角形相似”，已知平分，即，要使，需满足，因此过点作的垂线，交于点即可； （2）先在中，利用勾股定理求出的长度，再根据相似三角形的对应边成比例的性质，代入已知线段的长度计算的长． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求： (作图痕迹：以为圆心，适当长为半径画弧，交于、两点；分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；作直线，交于点，保留所有作图痕迹)； 【小问2详解】 解：在中，，，， ； ， ， ． 23. 如图1是一盏台灯的照片，图2是它的平面示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为． （1）如图2，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则的度数为_________． （2）求台灯的旋钮A到桌面的距离．（精确到，参考数据：，） 【答案】（1） （2）台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． （1）过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，； （2）分别解、，求出即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， ∵， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：在中，， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 24. 如图1，在中，，点，分别在边，上(不与端点重合)，，垂足为． （1）求证：； （2）若． ①当时，求的长； ②如图2，若，直接写出的值． 【答案】（1）证明见详解； （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，同时考查了线段比例的计算和参数法在几何计算中的应用． （1）借助直角三角形两锐角互余，由推出与互余，再结合得到与互余，根据同角的余角相等即可证明角相等． （2）①过点作构造平行线，利用平行线判定与相似，结合的比例关系求出、和的长度，再结合（1）的结论，利用两个直角证明与相似，最后根据相似三角形对应边成比例计算出相关线段的长度． ②过点作，由且确定为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，设为参数，依次表示出、、、、和的长度，再在中运用勾股定理求出的长度，最后通过参数法计算与的比值，消去参数得到结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． ∵，， ∴，解得，， ∴． 由（1）得， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线过点． （1）求的值； （2）若抛物线与轴的两个交点为，，顶点为，是等腰直角三角形． ①求抛物线所对应的二次函数的表达式； ②假设有一电子跳蚤，从点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点，求证：为正整数)的面积是一个常数． 【答案】（1）； （2）①；②证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的性质以及割补法求平面图形的面积以及规律探究类问题的解题方法，关键是抓住抛物线的对称性求对称轴，结合等腰直角三角形的边角关系建立方程求参数，利用抛物线平移的性质简化面积计算，再通过割补法消去变量证明面积为常数，将不规则三角形的面积转化为规则梯形的面积和差，通过代数运算消去变量，从而证明面积为定值． （1）根据抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出抛物线的对称轴，再结合二次函数的对称轴公式进行变形，即可求出的值； （2）①由（1）把抛物线解析式化为顶点式，求出顶点坐标与抛物线和轴的交点坐标，得到线段的长度，再根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，结合顶点纵坐标的绝对值建立关于的方程，求解出的值后代入即可确定二次函数的表达式； ②为利用抛物线平移不改变图形形状和面积的性质，将原抛物线平移为最简的，设出、、的坐标，过各点作轴的垂线，用割补法将三角形的面积转化为梯形的面积和差，通过代数运算化简，消去含正整数的变量，证明面积为与无关的常数． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点、， ∴点、关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①解：由得， 代入抛物线表达式得：， ∴顶点的坐标为， 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴的交点为、，则， ∵是等腰直角三角形，且， ∴直角顶点为，此时等腰直角三角形边上的高等于斜边的一半， 即， ∵， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； ②证明：如图，将抛物线平移到来解决，不会改变题目结论， 根据题意，电子跳蚤横坐标依次增加1， ∴可设点的坐标为，的坐标为，的坐标为， 分别过点、、作轴的垂线，垂足分别为、、， 则，，， ，， ∴ ， ∴的面积是一个常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $