第二章 不等式与不等式组单元测试卷（巩固提升）-2025-2026学年北师大版八年级下学期数学

第2章 不等式与不等式组单元测试卷（巩固提升） (北师大版) 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 2．已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】本题考查不等式性质与正负数大小比较．结合各选项中a、b的正负条件，通过举反例或正负数性质判断推理是否恒成立． 【详解】解：A、取，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； B、∵，∴，又∵，正数大于负数，∴，故该选项符合题意； C、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； D、取，，满足，且，∵，，∴，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．如果分式有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，因此只需令分母不等于零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 解得， 故选：C． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来即可；本题主要考查解不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握是解题关键． 【详解】解： 不等式的解集在数轴上表示： 故选：C． 5．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集，依题意，结合每个选项的的解集进行判断，即可作答． 【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意； B、包括，故该选项不符合题意； C、包括，故该选项不符合题意； D、包括，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：不等式去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 不等式最小整数解为， 把代入方程得：，即， 整理得：， 解得：． 故选：． 7．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：由图象知，，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 当时，图象位于x轴的上方，则有，D选项错误， 故选：B． 8．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 9．表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和不等式组的关系，解题的关键是熟练掌握数形结合的数学思想． 表示出一次函数解析式，通过图形确定每个不等式，然后整理成不等式组即可． 【详解】解：由得，；由得，； 图中阴影部分由三条直线相交所构成， 位于和的下方，的上方， ∴， 整理得， ∴表示该区域的不等式组为， 故选：C． 10．下表是某的两种计费方案的说明．若嘉琪的爸爸和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有（    ） 包厢计费方案： 包厢每间每小时200元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱2小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设他们在同一间包厢里欢唱的人数有人，根据选择包厢计费方案会比选择人数计费方案便宜建立不等式，解不等式，结合为正整数，由此即可得． 【详解】解：设他们在同一间包厢里欢唱的人数有人， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有5人， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质和二次根式的加减运算法则，掌握非负数的性质和二次根式的加减运算法则是解本题的关键． 根据非负数的性质求出，代入式子再利用二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 又， ， ， ． 故答案为：． 12．公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式． 【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即． 故答案为：． 13．已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 14．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据程序图分为奇数和偶数两种情况求出的最小值，通过比较找出最小的值． 【详解】解：当为偶数时， 可得：， 解得：， 是正整数， ； 当为奇数时， 可得：， 解得：， 为正整数， ， 输入的最小正整数是． 故答案为：． 15．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 16．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解答此题的关键． （1）（2）（3）先去括号，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集； （4）先去分母，再移项、合并同类项，系数化为，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （2）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （3）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． （4）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得． 18．解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 19．某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 20．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)的取值范围为或或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据时间等于路程除以速度求解即可； （2）求出，分点在上运动和点在上运动两种情况，分别列式即可； （3）分点在上，点在上，点在上，三种情况讨论，分别根据三角形的面积公式列式即可； （4）分，，三种情况讨论，分别根据列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵，以的速度沿运动， ∴点运动到点的时间为， 故答案为：； （2）解：∵，为的中点， ∴， ∴点运动到点的时间为， 点运动到点的时间为， ∴当点在上运动时，， 当点在上运动时，， 综上，； （3）解：当点在上时，即， 根据题意，得； 当点在上时，即， 根据题意，得， 当点在上时，即， 根据题意，得， ∴； （4）解：当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 当时， 根据题意，得， 解得； 综上，的取值范围为或或． 21．某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【答案】(1)通道的最大宽度为米 (2)最多购买平方米种彩砖 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． （1）根据题意列不等式，解不等式即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 答：通道的最大宽度为4米． （2）解：当通道宽度为4米时， 展览区的长为（米）， 展览区的宽为（米）， 展览区的总面积为（平方米）， 设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖， 由题意得，， 解得，， 答：最多购买平方米种彩砖． 22．如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，与不等式的关系． （1）联立直线，直线的函数表达式，解方程组求解交点坐标； （2）求得直线与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，再由得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （2）解：在直线中，令，解得， 由图象可知：若，x的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∵， ∴， 解得：或． 23．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①方程的解为； ②的解是； ③的解， 不等式的解集为， ∴不等式的“智惠方程”是②， 故答案为：②； （2）解：解方程​，得． 解，得． 解，得． ∴不等式组的解集为． 根据“智惠方程”的定义， ∴，得， ∵有3个整数解，即1，2，3， ∴，解得​， 综上，的取值范围是  ． 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 不等式与不等式组单元测试卷（巩固提升） (北师大版) 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．已知，下列推理一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．如果分式有意义，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式的解集中，不包括的是(    ) A． B． C． D． 6．已知：不等式的最小整数解是方程的解，则的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若一次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 8．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 9．表示图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（    ） A． B． C． D． 10．下表是某的两种计费方案的说明．若嘉琪的爸爸和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务生计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们在同一间包厢里欢唱的人数至少有（    ） 包厢计费方案： 包厢每间每小时200元，每人须另付入场费30元 人数计费方案： 每人欢唱2小时180元，接着续唱每人每小时30元 A．4人 B．5人 C．6人 D．7人 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算： ． 12．公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为 ． 13．已知为非零实数，若的解集为，则 ． 14．如图，要使输出值大于，则输入的最小正整数是 ． 15．把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 16．我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解下列不等式： (1)． (2)． (3)． (4)． 18．解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 19．某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 20．如图，在中，，，．为的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，到达点后再以的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，的面积为． (1)当______时，点运动到点； (2)当点在边上运动时，的长度为多少厘米．（用含的代数式表示）； (3)在点的运动过程中，请用含的代数式表示； (4)当时，请直接写出的取值范围． 21．某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 22．如图，已知直线：，直线：，与相交于点P，，分别与y轴相交于点A，B． (1)求点P的坐标． (2)结合图象，直接写出当时，x的取值范围． (3)点为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交和于点E，F，当时，求m的值． 23．定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号） (2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围． 24．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $