8.2.2菱形（第2课时 菱形的判定）（课件）-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年苏科版数学八年级下册

八年级苏科版数学下册 第八章 四边形 8.2.2菱形 第二课时 菱形的判定 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.掌握四边形是菱形的条件，进一步获得判定菱形的方法; 2.经历菱形的判定方法的探索过程，在活动中发展合情推理意识和主动探究的习惯。 3.创设问题情境、丰富学生的生活经验，激发学生学习数学、应用数学的兴趣和意识. 问题 菱形的四条边相等，对角线互相垂直.反过来， (1)四边相等的四边形是菱形吗？ (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? (1)如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC， ∴ □ABCD是菱形. A D C B 四条边都相等的四边形是菱形. 观察下图可以发现，在对角线互相垂直时，平行四边形看上去像是菱形. A D C B O (2)如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD. 求证：□ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC 又∵AC⊥BD， ∴BD是AC的垂直平分线 ∴AD=CD ∴ □ABCD是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 新课讲解 于是，我们得到菱形的判定定理： 四条边都相等的四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 如图，在四边形ABCD中， 如果AB=BC=CD=DA， 那么四边形ABCD是菱形. A B C D 如图，在□ABCD中， 如果AC⊥BD， 那么□ABCD是菱形. A B C D 教材P80 例题 例4 如图，直线a//b，点A，C分别在a，b上，AC的垂直平分线分别与a，b相交于点D，B，垂足为O.连接AB，CD.求证:四边形ABCD是菱形. 证明:∵AD //BC,∴∠1=∠2. ∵BD垂直平分AC，∴OA = OC. 在△AOD和△COB中， ∴△AOD≌ △COB. ∴OD = OB. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵BD⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形(菱形的判定定理). 1. 已知的对角线， 相交于点，请你添加一个 适当的条件，使 成为一个菱形.你添加的条件是____________________. （填一个即可） （答案不唯一） 解析：因为四边形 是平行四边形，所以只要添加一组邻边相等就可以， 或者使得对角线互相垂直， 故答案可以为 或或或或 等. 变式训练 8 2.如图，在中，，分别是 ， 上的点，且 . 求证：四边形 是菱形. 证明： 四边形 是平行四边形， ， .， . 又， 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 变式训练 9 问题 1.如果一个四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形吗? 2.如果一个平行四边形是轴对称图形，那么它一定是菱形吗? 不一定 不一定 教材P81 练习 课内练习 1. 如图，在△ABC中,AC=BC, D,E,F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF. 求证:四边形CFDE是菱形. D E F A B C 证明：连接CD． ∵AC＝BC，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点， ∴CD⊥AB，CF＝AC，CE＝BC， ∴FD＝AC，DE＝BC， ∴FD＝DE＝CE＝CF． ∴四边形CFDE是菱形（菱形的判定定理）． 2.用直尺和圆规作一个菱形，并说明作图的道理． 解：作法1：①作∠A； ②以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交∠A的两边于点D，B； ③分别以点D，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C； ④连接BC，DC； 则四边形ABCD为菱形． 理由如下： 由图形作法可知，AB＝AD＝DC＝BC， 所以四边形ABCD为菱形． B A D C 基础巩固题 知识点1 由边的关系判定菱形 1.【2025云南曲靖一模】如图，将矩形 进行两次对折： 第一次沿对折，使边与重合，展开；第二次沿 对 折，使边与重合，再次展开，连接，，， 得到四 边形．若，，则四边形 的面积为 ( ) B A.2 B.4 C.5 D.6 【解析】 四边形是矩形， ， ， ，，.由折叠可知， ， ， ， ， 四边形是菱形．由题意，得 ， ， 四边形的面积为 ．故选B. 2.【2025江苏南通启东模拟】如图，小红在作线段 的垂直平分线 时，分别以点，为圆心，大于线段 长度一半的长为半径画弧， 相交于点，，则直线即为所求．连接，，， ，根 据她的作图方法可知，四边形 一定是______． 菱形 【解析】 分别以和为圆心，大于线段 长度一半的长为半径 画弧，相交于点，，， 四边形 一 定是菱形，故答案为菱形． 14 知识点2 由对角线的关系判定菱形 3.如图，的对角线与相交于点，添加下列条件不能证明 是 菱形的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 A ，， 是菱形,故A不符合题意 B 四边形是平行四边形，， 是菱形，故B不符合题 意 C 四边形是平行四边形，， 是菱形，故C不符合题 意 D 四边形是平行四边形，， 是矩形，故D符合题意 15 易错点 忽略前提条件导致错误判定菱形 4.小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点 ，，. 求证：四边形 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流. 小惠 证明：， ，垂直平分 ， ， ， 四边形 是菱形 小洁 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明 若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说 法，请你补充一个条件，并证明. 【解】赞成小洁的说法，补充条件： .证明：， ， 四边形 是平行四边形.又， 平行四边形 是菱形.（补充的条件不唯一） 易错警示 要判定一个图形是菱形，先看它的前提条件.若是四边形，则证明其四条边都相等， 或者先证明它是平行四边形，再找一组邻边相等或对角线互相垂直；若是平行四边形，则需要找 一组邻边相等或对角线互相垂直.做题时不能忽略菱形的判定的前提条件. 16 能力提升题 5.如图，由两个长为8，宽为4的全等矩形叠合(不完全重合)而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是(　　) A．15 B．16 C．19 D．20 D 【点拨】如图，连接AE、CF，设▱ABCD的边BC上的高为h，EF与AC交于点O，∵将▱ABCD沿EF折叠，点C与点A重合，∴AO＝CO，AE＝CE. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE. 又∵AO＝CO，∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE，∴AF＝CE. 6.如图，将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，然后展开． 如果AC＝3，EF＝4，那么▱ABCD的边BC上的高为________. 18 7.如图，点O是▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：△ODE≌△OBF； 解：由(1)知，△ODE≌△OBF，∴DE＝BF.∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．∴DF＝BF＝BE＝DE＝15 cm.∴四边形BEDF的周长为60 cm. (2)当EF⊥BD，DE＝15 cm时，分别连接BE，DF，求四边形BEDF的周长． 19 8.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA的方向以每秒4个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB的方向以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0＜t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF. 解：能．∵在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝30°.由题意知DC＝4t，AE＝2t，∠DFC＝90°，∴DF＝2t，AD＝60－4t.∴AE＝DF.∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF.∴四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，∴60－4t＝2t，解得t＝10.∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形． (1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． (2)请直接写出当t为何值时，△DEF为直角三角形． 【点拨】①当∠DEF＝90°时，由(1)知四边形AEFD为平行四边形，∴EF∥AD.∴∠ADE＝∠DEF＝90°.∵∠A＝60°，∴∠AED＝30°.∴AD＝AE＝t.又∵AD＝60－4t，∴60－4t＝t，解得t＝12.②当∠EDF＝90°时，易得四边形EBFD为矩形，∴∠DEB＝90°.∴∠AED＝90°. ∵在Rt△AED中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.∴AD＝2AE.∴60－4t＝4t，解得t＝ .③当∠EFD＝90°时，易知此种情况不存在．综上所述，当t＝ 或12时，△DEF为直角三角形． 20 菱形的判定 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形． 矩形的判定定理：四边相等的四边形是菱形． 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 课堂小结 教科书第81页练习 第1，2题 布置作业 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，CO＝AC＝，OE＝EF＝2，∴CE＝＝， ∴S菱形AECF＝h＝×3×4，解得h＝，即▱ABCD的边BC上的高是. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB.∴∠OED＝∠OFB. ∵点O是▱ABCD对角线的交点，∴OD＝OB. 在△ODE和△OBF中，∴△ODE≌△OBF. 解：当t＝或12时，△DEF为直角三角形． $