7.2.1 平行线的概念 讲义2025－2026学年人教版数学七年级下册

专题7.2.1 平行线的概念三大体型(举一反三 学生版) 【题型1 平行线的概念】 1 【题型2 平行线的画法】 3 【题型3 平行线的基本事实及推论】 6 知识点1 平行线的概念 1.平行线 概念 在同一平面内,不相交的两条直线互相平行 表示方法 如图,直线a与b互相平行,记作“a∥b”,读作“a 平行于b“ 图示 a b 【题型1 平行线的概念】 【例1平行线】（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 知识点2 平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线: 步骤 内容 图示 · “落” 把三角尺的一边落在已知直线上 落d 二“靠” 用直尺漂霏三角尺的另一边 正后 C 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与 已知直线重合的那一边过已知点 11 P 担 a 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 a 【题型2 平行线的画法】 【例2平行线的画法】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 知识点3 平行线的基本事实及推论 1.基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行. 【题型3 平行线的基本事实】 【例3平行线的基本事实】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【变式3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当AB//PM，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【变式3-2】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条． 2.推论: 文字语言 符号语言 图形 如果两条直线都与第三条 直线平行,那么这两条直线 也互相平行 →平行线的传递性. 如图,如果b∥a, c∥a, 那么b∥c 【题型4 平行线的推论】 【例4平行线的推论】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 学科网（北京）股份有限公司 专题7.2.1 平行线的概念三大体型(举一反三 教师版) 【题型1 平行线的概念】 1 【题型2 平行线的画法】 3 【题型3 平行线的基本事实及推论】 6 知识点1 平行线的概念 1.平行线 概念 在同一平面内,不相交的两条直线互相平行 表示方法 如图,直线a与b互相平行,记作“a∥b”,读作“a 平行于b“ 图示 a b 【题型1 平行线的概念】 【例1平行线】（25-26六年级下·全国·课后作业）在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 【变式1-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 知识点2 平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线: 步骤 内容 图示 · “落” 把三角尺的一边落在已知直线上 落d 二“靠” 用直尺漂霏三角尺的另一边 正后 C 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与 已知直线重合的那一边过已知点 11 P 担 a 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 a 【题型2 平行线的画法】 【例2平行线的画法】（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面内用直尺和三角板过点O画已知直线a的平行线b． 【答案】见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】此题主要考查过直线外一点作已知直线的平行线．先将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿已知直线平移三角板，直到三角板的另一条直角边与O点重合，沿这条直角边过O点向已知直线作一条垂线，然后再将三角板这条直角边沿所作垂线向上平移，直到底下的直角边与O点重合，最后过O点沿三角板底下的直角边作一条直线，这就是已知直线的平行线． 【详解】解：如图所示，直线b即为所求． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行公理的应用 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的基本事实与推论，掌握过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行、平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【答案】作图见详解 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了利用直尺和三角板作平行线的方法，解题的关键是掌握用直尺和三角板作平行线的具体操作步骤，易错点是在使用工具作图时，角度把握不准确，导致所作直线不平行；利用直尺和三角板，将三角板的一边与已知直线重合，直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板到指定点，过该点沿三角板原边作直线，得到平行线． 【详解】 过点作直线平行于：把三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺平移三角板使它的边经过点，过点沿三角板的这条边画直线； 过点作直线平行于：将三角板一边与重合，用同样方法平移三角板至点，过点沿三角板边画直线． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）想一想，在方格纸中如何画平行线？在下图中，过点P分别画的平行线，并进行检验． 【答案】见解析 【知识点】用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查方格纸作平行线，掌握知识点是解题的关键． 根据方格纸作平行线的方法作图即可． 【详解】解：作图如图， ∴． 用直尺和三角板检验平行线即可，具体步骤如下： 1．固定直尺：将直尺的一条边与其中一条待检验直线（记为直线a）完全重合，并按住直尺使其固定不动． 2．贴合三角板：将三角板的一条直角边与直尺刚才重合的边紧密贴合，确保三角板的另一条直角边能与另一条待检验直线（记为直线b）接触． 3．平移与观察：按住三角板，使其沿着直尺的边平稳平移．若在平移过程中，三角板的直角边与直线b始终保持完全重合（无间隙、不分离），则直线a与直线b平行；若出现分离或无法重合，则两直线不平行． 知识点3 平行线的基本事实及推论 1.基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行. 【题型3 平行线的基本事实】 【例3平行线的基本事实】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，是平面内任一点，过点画一条直线与平行，则这样的直线（    ） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查平行公理，关键考虑点与直线的位置关系． 分点在直线上和不在直线上两种情况，根据平行公理判断． 【详解】解：分两种情况讨论： ①∵ 如果点不在直线上，则过点有且只有一条直线与平行（平行公理）； ②∵ 如果点在直线上，则过点不能画出与平行的直线（因为过点的直线要么与相交，要么是本身，而本身不视为平行）． ∴ 这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 【变式3-1】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当AB//PM，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵AB//PM， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式3-2】（18-19七年级下·全国·单元测试）如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式3-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过三角形的边的中点画平行于的直线，这样的直线能画 条． 【答案】1 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理的知识点，解题的关键是理解并运用平行公理． 根据平行公理，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，据此确定过中点作平行于的直线的条数． 【详解】解：设的中点为，因为点在直线外，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以过点画平行于的直线，这样的直线能画1条． 故答案为：1． 2.推论: 文字语言 符号语言 图形 如果两条直线都与第三条 直线平行,那么这两条直线 也互相平行 →平行线的传递性. 如图,如果b∥a, c∥a, 那么b∥c 【题型4 平行线的推论】 【例4平行线的推论】（2025七年级上·福建泉州·专题练习）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 ．也叫做平行线的传递性． 【答案】互相平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题主要考查平行线公理及推论，根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 【详解】平行线的传递性定理指出：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 故答案为：互相平行． 【变式4-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式4-2】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用直尺、三角板画平行线、平行公理的应用 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． $