第23章一次函数 单元练习-2025-2026学年八年级下册数学人教版

第23章 一次函数 一、单选题 1．一次函数的图象经过点，，则以下判断正确的是（　　　） A． B． C． D．无法确定 2．对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 3．将直线y＝4x＋3向下平移5个单位后，所得直线的表达式是（    ） A．y＝4（x＋5）x＋3 B．y＝4（x﹣5）x＋3 C．y＝4x＋8 D．y＝4x﹣2 4．一次函数的图像经过（    ） A．第一、第二、第三象限 B．第二、第三、第四象限 C．第一、第三、第四象限 D．第一、第二、第四象限 5．一次函数的图像如图所示，当时，x的取值范围是（              ）    A． B． C． D． 6．已知在函数的图象上有点和点，且，则下列数值中能成为的值的是（   ） A． B．0 C．2 D．3 7．将长为，宽为的长方形白纸按如图的方法粘合起来，粘合部分的宽为，设张白纸粘合后的总长度为，当时，的值为（    ）    A． B． C． D． 8．若一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线与轴交于点A，以OA为斜边在轴上方作等腰直角三角形OAB，将直线沿轴向左平移，当点B落在平移后的直线上时，则直线平移的距离是（　　）      A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 10．拖拉机开始工作时，油箱中有油升，如果每小时耗油升，那么油箱中的剩余油量（升）和工作时间（时）之间的函数关系式是 ，自变量x必须满足 ． 11．已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 12．一次函数的图像过点，将函数的图像向上平移3个单位长度，所得函数的表达式为 ． 13．直线与坐标轴围成的三角形面积为8，则 ． 14．已知点在一次函数的图象上，则代数式的值等于 ． 15．已知关于，的方程组的解是，则函数和的图象交点坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线：上的一个动点，若，则点的坐标是 ． 三、解答题 17．直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关于y轴对称，点D与点B关于x轴对称． (1)求点C坐标： (2)求直线CD对应的函数解析式． 18．已知一次函数（a为常数）． (1)若，则这个函数图象不经过第________象限； (2)若这个函数的图象经过原点，求a的值． 19．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)设图象与轴和轴交点分别是，，求的面积． 20．设有三个变量、、，其中是的正比例函数，是的正比例函数 （1）求证：是的正比例函数； （2）如果，时，求出关于的函数关系式． 21．如图，直线与轴交于点，与轴交于点 ，与直线 交于点，点的横坐标为． (1)直接写出值：_______． (2)当取何值时，？ (3)在轴上有一点，过点作轴的垂线，与直线 交于点，与直线交于点，若 ，求的值． 22．小明和小亮的家分别位于新华书店的东西两边，他们相约同时出发到新华书店购买书籍．小明骑车小亮步行，小明、小亮到新华书店的距离、与时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)小明距离新华书店______米，小明骑车到新华书店的速度是_______； (2)小亮步行到新华书店的速度是_____； (3)图中点表示的实际意义是：_____； (4)求小亮到新华书店的距离与时间之间的函数关系式． 23．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，过点作，且这样得到的点称为点关于点的“伴随点”． (1)如图1，当点的坐标为时，请在图中画出点关于点的“伴随点”，并写出“伴随点”的坐标：______________； (2)在下列各点中：①，②，③，能成为点关于点的“伴随点”的是____________(填序号)； (3)若点坐标为，直接写出点关于点的“伴随点”的坐标_____(用表示)． 24．某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答：    (1)该市自来水收费时，每户使用不超过5吨时，每吨收费多少元？超过5吨时，每吨收费多少元， (2)若该市某户居民每月交水费都不低于10元，求该户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式． (3)若某户居民某月交水费17元该户居民用水多少吨？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】根据一次函数的解析式判断出增减性，然后利用增减性求解． 【详解】解：∵一次函数中k＝30， ∴y随x的增大而增大， ∵1＜2， ∴y1＜y2， 故选：B． 【点睛】此题考查一次函数的性质，比较函数值的大小，熟知一次函数的增减性与k的关系是解题的关键． 2．D 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与系数的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】根据“上加下减“平移的规律即可求得． 【详解】解：将直线y＝4x＋3向下平移5个单位后，所得直线的表达式是y＝4x＋3﹣5，即y＝4x﹣2. 故选：D． 【点睛】考核知识点：一次函数的性质．理解一次函数性质是解题关键． 4．C 【分析】直接利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴一次函数的图像经过第一、第三、第四象限， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图像和性质，一次函数的图像经过的象限由，的符号来确定． 5．D 【分析】根据图象解题即可． 【详解】解：∵，由图象可知符合条件的x的取值范围是． 故选D． 【点睛】本题主要考查图解法求一次不等式的解集，能够通过图象得出不等式的解集是解题关键． 6．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， 又∵点，均在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：D． 7．C 【分析】根据等量关系：粘合后的长度总长度粘合的长度，就可以求出解析式，再把x的值代入解析式即可求解． 【详解】解：每张纸条的宽度是，x张应是，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有个粘合，应从总长度中减去， ， 当时， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是列函数关系式及求函数值，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系． 8．B 【分析】本题考查了已知函数经过的象限求参数范围，根据一次函数解析式判断其经过的象限．因为一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限，故，，所以一次函数的图象经过第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数（，都是常数，）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， 即一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选：B 9．C 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点、的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离． 【详解】解：， 当时，， 解得：， 即， 过作于，    ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对称点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是6， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出B′的坐标是解此题的关键． 10． ； ． 【分析】本题主要是考查根据实际问题列一次函数关系式，根据余油量原有油量用油量，时间应≥0，用油量不能超过原有油量得出，读懂题意，找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得， 时间应，用油量不能超过原有油量， ∴，解得， ∴， 故答案为：，． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 12．/ 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数图像的平移， 先将点代入一次函数求出关系式，再根据平移法则“左加右减，上加下减”，可得答案. 【详解】解：将点代入一次函数， 得， ∴一次函数的表达式为． 将函数的图像向上平移3个单位长度， ∴所得函数的表达式为. 故答案为：. 13． 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，分别取和求出函数与轴的交点，根据与坐标轴围成的三角形面积列方程并解方程即可． 【详解】解：当时， 当时，，解答， ∴函数与轴的交点分别为， 根据题意得 解得 故答案为： 14．1 【分析】本题考查的知识点是一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是熟练的掌握一次函数图像上点的坐标特征． 把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式的值 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴ ∴， 故答案为：1． 15． 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两个一次函数的交点坐标为方程组的解是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数的交点坐标为方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴函数和的图象交点坐标为， 故答案为：． 16．或 【分析】分两种情况：当点P在y轴左侧时，由条件可判定AP∥BO，容易求得P点坐标；当点P在y轴右侧时，可设P点坐标为（a，−a＋4），过AP作直线交x轴于点C，可表示出直线AP的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC＝BC，可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】解：当点P在y轴左侧时，如图1，连接AP， ∵∠PAB＝∠ABO， ∴AP∥OB， ∵A（0，8）， ∴P点纵坐标为8， 又P点在直线x＋y＝4上，把y＝8代入可求得x＝−4， ∴P点坐标为（−4，8）； 当点P在y轴右侧时，过A、P作直线交x轴于点C，如图2， 设P点坐标为（a，−a＋4），设直线AP的解析式为y＝kx＋b， 把A、P坐标代入可得， 解得， ∴直线AP的解析式为y＝x＋8， 令y＝0可得x＋8＝0，解得x＝， ∴C点坐标为（，0）， ∴AC2＝OC2＋OA2，即AC2＝（）2＋82， ∵B（−4，0）， ∴BC2＝（＋4）2＝（）2＋＋16， ∵∠PAB＝∠ABO， ∴AC＝BC， ∴AC2＝BC2，即（）2＋82＝（）2＋＋16， 解得a＝12，则−a＋4＝−8， ∴P点坐标为（12，−8）， 综上可知，P点坐标为（−4，8）或（12，−8）． 故答案为：（−4，8）或（12，−8）． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出P点的位置，由条件得到AP∥OB或AC＝BC是解题的关键． 17．(1)C(3， 0) (2)直线CD的表达式为y= 2x- 6 【分析】（1）首先根据要求令y = 0求出A点坐标，再根据点C与点A关于y轴对称可求出C点坐标； （2）令x = 0可得B点坐标，再根据点D与点B关于x轴对称求出D点坐标，然后根据C点与D点坐标利用待定系数法求出直线CD对应的函数解析式． 【详解】（1）（1） 把y= 0代入y= 2x+ 6， 得2x +6= 0， 解得x = -3， ∴A(-3，0)， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C(3， 0)； （2）（2）当x= 0时，y= 6， ∴B(0， 6)， ∵点D与点B关于x轴对称， ∴D(0，-6)， 设直线CD的表达式为y= kx + b，根据题意得 解得 ∴直线CD的表达式为y= 2x- 6． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 18．(1)二 (2)2 【分析】本题考查了一次函数的图象性质： （1）把代入，再结合一次函数的性质，即可求解； （2）根据这个函数的图象经过原点，可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴这个函数图象经过第一、三、四象限，这个函数图象不经过第二象限； 故答案为：二 （2）解：∵这个函数的图象经过原点， ∴且， ∴． 19．(1) (2) 【分析】（1）把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解； （2）根据一次函数的解析式即可求出点、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过，两点， ， 解得，， 这个一次函数的解析式为； （2）当时，， 当时，，解得， 函数图象与两坐标轴交点坐标分别为，、， ，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握． 20．（1）见解析；（2） 【分析】（1）分别设出两函数解析式，联立即可； （2）将，代入，求出即可． 【详解】解：（1）由题意，设，，，为常数， ∴ ∵，， ∴且为常数， ∴是的正比例函数； （2）当，时，代入， ∴． ∴关于的函数关系式是． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，列出解析式即可解答． 21．(1) (2) (3)m的值为或9． 【分析】本题考查待定系数法求函数的关系式、一次函数与一元一次不等式组的关系等知识，数形结合是解决问题的关键． （1）先求出E点坐标，再代入求出b的值， （2）由直线与交于点E，以及A的坐标，结合函数的图象可以直接得出，当时x的取值范围； （3）由点B的坐标，可求出的长，进而求出的长，由于点C、D分别在两条直线上，由题意得的长就是这两个点纵坐标的差，因此有两种情况，分类讨论，得出答案． 【详解】（1）解：点E在直线上，点E的横坐标为3． ∴， ∴把代入直线， ∴； （2）∵， 当时，， ∴， ∵ ∴； （3）∵， 当时，， ∴，即：， ∴ ， 如图， ∵点C在直线上，点D在直线上， ∴或， 解得：或， 即：或． 答：m的值为或9． 22．(1)540；200米/分钟； (2)80 m/min； (3)出发1.5分钟时两人距新华书店的距离相等，都是240米； (4)y2=-80x+360． 【分析】（1）根据图象用待定系数法求出小明骑车到新华书店的解析式，再求出小明到新华书店的时间，用“路程÷时间=速度“”即可； （2）根据图象用待定系数法求出小亮骑车到新华书店的解析式，再用“速度=路程÷时间”计算即可； （3）由点A（1.5，240）是两条直线的交点，即可得到实际意义； （4）根据图象用待定系数法求出小亮骑车到新华书店的解析式即可． 【详解】（1）由图象可知，小明家与新华书店的距离是540m， 小明到新华书店的距离y1（m）与时间x（min）之间的函数关系式为：y1=mx+n， 根据题意得：， 解得：， ∴y=-200x+540． 令y=0，则x=， 小明骑车的速度是540÷=200（m/min）， 故答案为：540；200 m/min． （2）设y2=kx+b， 将（1.5，240）和（4.5，0）代入y2=kx+b中， 得， 解得， ∴y2=-80x+360， 令x=0，则y2=360， ∴小亮步行到新华书店的速度是：360÷4.5=80（m/min）， 故答案为：80 m/min． （3）∵点A（1.5，240）是两条直线的交点， ∴实际意义是：出发1.5分钟时两人距新华书店的距离相等，都是240米． 故答案为：出发1.5分钟时两人距新华书店的距离相等，都是240米． （4）设y2=kx+b， 将（1.5，240）和（4.5，0）代入y2=kx+b中， 得， 解得， ∴y2=-80x+360． 【点睛】本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键． 23．(1)见详解，点、为点关于点的“伴随点”；， (2)①③ (3)， 【分析】本题考查了一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解答本题的关键． （1）根据题目要求及网格图的特点画出点关于点的“伴随点”，再写出坐标即可； （2）先证明和，利用全等三角形的对应边相等可得，，，，根据坐标的特点求出点、的函数关系式，再判断点是否为点关于点的“伴随点”； （3）由（2）中全等三角形对应边的关系可得坐标的关系，即可写出点关于点的“伴随点”的坐标． 【详解】（1）解：如图，点、为点关于点的“伴随点”， ∴、， 故答案为：，； （2）解：如图，作轴、轴， ∵， ∴ ∴，， ∵轴、轴，， ∴，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设：，， ∴， ∴，， ∴，即在函数的图象上， 设：， ∴ ∴，， ∴，即在函数的图象上， 在函数的图象上， 不在函数和函数的图象上， 在函数的图象上， 故①③能成为点关于点的“伴随点”， 故答案为：①③； （3）解：∵，， ∴由（2）可知：，， ∴，， 故答案为：，． 24．(1)不超5吨时，每吨收费2元；超过5吨时，每吨收费3.5元 (2) (3)7吨 【分析】（1）根据图象的点的意义列式计算即可； （2）根据交水费超出的水量×超过5吨时的单价，列式即可； （3）把代入（2）所求解析式，求出x值即可． 【详解】（1）解：不足5吨时：（元， 超过5吨时：（元； （2）解： 即y与x的关系式为． （3）解：， 用水量超过了5吨， ∴当时，则， 解得：， 则该户居民用水7吨． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用数形结合的方法解答． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $